\displaystyle $\begin{align}
|\mathbb{E} X - \mathbb{E} Y|
& = \left| \sum_{\omega \in \Omega} (X(\omega) - Y(\omega)) \mathbb{P}(\omega) \right|
\leq \sum_{\omega \in \Omega} |X(\omega) - Y(\omega)| \mathbb{P}(\omega) \\
& = \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \sum_{\substack{\omega \in \Omega \\ |X(\omega) - Y(\omega)| \leq M}} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! |X(\omega) - Y(\omega)| \mathbb{P}(\omega) + \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \sum_{\substack{\omega \in \Omega \\ |X(\omega) - Y(\omega)| > M}} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! |X(\omega) - Y(\omega)| \mathbb{P}(\omega) \\
& \leq \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \sum_{\substack{\omega \in \Omega \\ |X(\omega) - Y(\omega)| \leq M}} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! M \mathbb{P}(\omega) + \sum_{\omega \in \Omega} |X(\omega) - Y(\omega)| \mathbb{P}(|X - Y| > M) \\
& = M \mathbb{P}(|X - Y| \leq M) = M
\end{align}$