\Leftrightarrow \frac{e^x+e^{-x}}{2}>\frac{e^y+e^{-y}}{2}\qquad /\cdot 2 \newline
\Leftrightarrow e^x+e^{-x}>e^y+e^{-y} \newline
\Leftrightarrow e^x-e^y>\frac{1}{e^y}-\frac{1}{e^{x}} \qquad / \cdot e^{x+y} \qquad \qquad (e^{x+y}>0) \newline
\Leftrightarrow (e^x-e^y)e^{x+y}>e^x-e^y \qquad /:(e^x-e^y) \qquad\qquad(e^x-e^y>0) \newline
\Leftrightarrow e^{x+y}>1