\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{e^{sin(x)}-e^{sin(2x)}}{e^x-e^{2x}}=\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{e^{sin(x)}}{e^x}\frac{1-e^{sin(2x)-sin(x)}}{1-e^x}=\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{e^{sin(x)}}{e^x}\frac{e^{sin(2x)-sin(x)}-1}{e^x-1}=\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{e^{sin(x)}}{e^x}\frac{\frac{e^{sin(2x)-sin(x)}-1}{sin(2x)-sin(x)}}{\frac{e^x-1}{x}}\frac{sin(2x)-sin(x)}{x}=