\eqalign{
f(z)&={1\over z}{1\over z-1}{1\over z+1}\cr
&={1\over y+1}{1\over y}{1\over y+2}\cr
&={1\over y+1}{1\over y}{1\over 2\left({1\over 2}y+1\right)}\cr
&={1\over 2}{1\over y}\left({\sum\limits_{n\geq0}(-y)^n}\right)\left({\sum\limits_{n\geq0}\left({-y\over 2}\right)^n}\right)\cr
&={1\over 2}{1\over y}+\cdots\cr
}