2L &= (x-x_1)(y-y_1) \\
&= a \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \alpha + \frac{1}{2} \sin \alpha - \sin \alpha \right) a \left( \cos \alpha - \frac{1}{2} \cos \alpha + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \alpha \right) \\
&= a^2 \left(\frac{\sqrt{3}}{2} \cos \alpha - \frac{1}{2} \sin \alpha \right) \left(\frac{1}{2} \cos \alpha + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \alpha \right) \\
&= \cdots \\
&= a^2 \left( \frac{\sqrt{3}}{2} ({\cos}^2 \alpha - {\sin}^2 \alpha) + \frac{1}{2} \cos \alpha \sin \alpha \right)