\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0_-} \frac{|x|-|0|}{x-0}=\lim_{x \rightarrow 0_-} \frac{-x}{x}=-1 \\
\lim_{x \rightarrow 0_+} \frac{|x|-|0|}{x-0}=\lim_{x \rightarrow 0_+} \frac{x}{x}=1