\overrightarrow{PT}=\overrightarrow{PD}+\overrightarrow{DT}=\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{TD}=-\frac{k}{k+1}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{2}\overrightarrow{CT}=\frac{1-k}{2\left(k+1\right)}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{2}\overrightarrow{CT}