\displaystyle|a_0z^n|=|a_0||z^n|>\frac{M|z|^n}{|z|-1}>\frac{M(|z|^n-1)}{|z|-1}=M(|z|^{n-1}+\cdots+|z|+1)\geq\\
\geq|a_1||z|^{n-1}+\cdots+|a_{n-1}||z|+|a_n|=|a_1z^{n-1}|+\cdots+|a_{n-1}z|+|a_0|\geq\\
\geq|a_1z^{n-1}+\cdots+a_{n-1}z+a_1|