\lim_{x\to c}\frac{(g\circ f)(x)-(g\circ f)(c)}{x-c}=\lim_{x\to c}\left\{\frac{g[f(x)]-g[f(c)]}{x-c}\cdot\frac{f(x)-f(c)}{f(x)-f(c)}\right\}=\lim_{x\to c}\left\{\frac{g[f(x)]-g[f(c)]}{f(x)-f(c)}\cdot\frac{f(x)-f(c)}{x-c}\right\}=\lim_{x\to c}\frac{g[f(x)]-g[f(c)]}{f(x)-f(c)}\cdot\lim_{x\to c}\frac{f(x)-f(c)}{x-c}=\lim_{y\to d}\frac{g(y)-g(d)}{y-d}\cdot\lim_{x\to c}\frac{f(x)-f(c)}{x-c}=g'(d)\cdot f'(c)