\displaystyle P(A \backslash A_n) \to 0 , P(A_n \backslash A) \to 0 
\Leftrightarrow P(A)-P(A \cap A_n) \to 0 , P(A_n) - P(A \cap A_n) \to 0 

\Leftrightarrow P(A \cap A_n) \to P(A) , P(A \cap A_n) \to P(A_n) 

\Leftrightarrow P(A)=limP(A)=limP(A \cap A_n), limP(A \cap A_n)=limP(A_n)