Forum@DeGiorgi :: Pogledajte temu - SKRIPTA

SKRIPTA - predavanja 2010./2011.

through

[^/[Print]\]

Forum@DeGiorgi -> Mjera i integral

#1: SKRIPTA - predavanja 2010./2011. Autor/ica: JANKRI, Lokacija: Zagreb

Postano: 21:35 ned, 8. 5. 2011
—
Evo ga, unutra je sve što je do sada obrađeno na predavanjima.
Siguran sam da ima ne-mali broj grešaka, trudio sam se da ih ne bude, ali uvijek se zalome! Very Happy

Sve je pisano prema mojim bilješkama s predavanja koja drži prof. dr. sc. Hrvoje Šikić, za već spomenute greške ja sam odgovorna osoba. Volio bih da kad koju uočite javite ovdje, u pm ili na mail (ivan . krijan na student . math . hr) pa da bude ispravljena.

Nadam se da će ovo svima biti od koristi! Smile

Kako nama, tako i budućim generacijama!

Zadnja promjena: JANKRI; 22:18 pon, 26. 11. 2012; ukupno mijenjano 9 put/a.

SKRIPTA.pdf

Description:

Download

Filename:

SKRIPTA.pdf

Filesize:

524.61 KB

Downloaded:

413 Time(s)

#2: Autor/ica: tomitza,

Postano: 21:39 ned, 8. 5. 2011
—
LAJK! karma++

Bravo golube!

#3: Autor/ica: jejo,

Postano: 21:39 ned, 8. 5. 2011
—
joooooj, falaaa puno puno Smile

))

#4: Autor/ica: branimirb,

Postano: 21:28 pon, 9. 5. 2011
—
Yay!

#5: Autor/ica: Milojko, Lokacija: Hilbertov hotel

Postano: 21:33 uto, 17. 5. 2011
—
U prvoj liniji dokaza Leme 6.8. fali znak integrala

Added after 7 minutes:

E da, ne rekoh, fala, baš si carčina. I sam sam imao ideju ovak što napraviti, ali malo sam bio lijen i učit i tipkat Embarassed

#6: Autor/ica: JANKRI, Lokacija: Zagreb

Postano: 12:38 čet, 19. 5. 2011
—
Zahvaljujem, Milojko! Smile

#7: Autor/ica: bozidarsevo, Lokacija: Samobor

Postano: 14:39 čet, 19. 5. 2011
—
Jankri, budu dodana predavanja kasnija?

hvala najveća!

#8: Autor/ica: JANKRI, Lokacija: Zagreb

Postano: 14:53 čet, 19. 5. 2011
—
Upravo se tipkaju 10. i 11., nisam mogao ovih dana, ali mislim da će do ponedjeljka (Dakle, do zadnjeg predavanja.) biti natipkano sve do sada obrađeno... Smile

#9: Autor/ica: bozidarsevo, Lokacija: Samobor

Postano: 15:42 čet, 19. 5. 2011
—
svaka čast! ima da ti odma petardu u indeks napiše

#10: Autor/ica: JANKRI, Lokacija: Zagreb

Postano: 13:14 pet, 20. 5. 2011
—
Dodano je 10. poglavlje!

#11: Autor/ica: JANKRI, Lokacija: Zagreb

Postano: 18:22 pet, 20. 5. 2011
—
Dodano i 11!

#12: Autor/ica: JANKRI, Lokacija: Zagreb

Postano: 0:50 sri, 25. 5. 2011
—
Evo ga, sve je gore, "uživajte" Razz

i sretno!

Naravno, javljajte mi greške koje uočite! Smile

#13: Autor/ica: ToMeK,

Postano: 0:53 sri, 25. 5. 2011
—
lajk Smile

#14: Autor/ica: i v a n č i c a,

Postano: 15:03 sri, 25. 5. 2011
—
jel u ovoj skripti isto sve napisano kao što je obrađeno na predavanju?

#15: Autor/ica: Milojko, Lokacija: Hilbertov hotel

Postano: 18:30 sri, 25. 5. 2011
—

i v a n č i c a (napisa):

jel u ovoj skripti isto sve napisano kao što je obrađeno na predavanju?

ajd molim te pročitaj prvu rečenicu na ovom topicu pa onda razmisli kolko ovo pitanje ima smisla.
Da, jankri je sve natipkao što je prof Šikić odradio, i svaka mu čast. Trebali bi mu bocu viskija donijet u znak zahvalnosti Smile

#16: Autor/ica: JANKRI, Lokacija: Zagreb

Postano: 20:06 sri, 25. 5. 2011
—
Milojko, samo da znaš, ja se sad radujem spomenutoj tekućini! Razz

#17: Autor/ica: Milojko, Lokacija: Hilbertov hotel

Postano: 21:47 sri, 25. 5. 2011
—

JANKRI (napisa):

Milojko, samo da znaš, ja se sad radujem spomenutoj tekućini! Razz

Ako sve položim, idemo skupa se naderat (dobro, ja ću više, mene malo jače vata Smile

)

#18: Autor/ica: Gost,

Postano: 22:15 pon, 30. 5. 2011
—
Jel u napomeni 10.4/c triba pisat da obrat u teoremu 10.2 (b) ne vrijedi. ?

#19: Autor/ica: Gino, Lokacija: Pula

Postano: 22:21 pon, 30. 5. 2011
—
da

#20: Autor/ica: Gost,

Postano: 10:41 pon, 20. 6. 2011
—
jel netko zna na kojoj strani u skripti se nalazi 5. zadatak odnosno teorem koji smo dobili za dokazat na prvom kolokviju?

#21: Autor/ica: ivstojic,

Postano: 15:27 pon, 20. 6. 2011
—
Jedan smjer (<=) je iz teorema 5.13. na stranici 33, tvrdnja za limes niza izmjerivih funkcija, a drugi smjer (=>) je teorem 5.15 na stranici 34.

#22: Autor/ica: Gost,

Postano: 22:36 čet, 23. 6. 2011
—
cini mi se da je greška u dokazu korolara 4.4. kad se definira niz disjunktnih skupova Bn : B1=A1, B(n+1)=A(n+1)\Bn, jer to nije disjunktan niz?[/list]

#23: Autor/ica: ddduuu,

Postano: 19:56 pet, 24. 6. 2011
—
iman 2 pitanja:

1) Npomena (3.4) za sigma-subaditivnost na prstenu, jel prebrojiva unija koju gledamo MORA biti iz R da bi vrijedila subaditivnost ili samo Ai-evi moraju biti iz R? ( u uvjetu nije to navedeno)

vezano uz to:
2) Korolar 3.16...

E smo definirali kao podskup unije En. Zanima me jesmo li mogli tu primjenit sigma subaditivnost i dobit da je mjera E manja od sume..
ili smo MORALI radit disjunktne skupove?
Ako smo morali, zatso?

#24: Autor/ica: JANKRI, Lokacija: Zagreb

Postano: 14:21 sub, 25. 6. 2011
—

ddduuu (napisa):

iman 2 pitanja:

1) Npomena (3.4) za sigma-subaditivnost na prstenu, jel prebrojiva unija koju gledamo MORA biti iz R da bi vrijedila subaditivnost ili samo Ai-evi moraju biti iz R? ( u uvjetu nije to navedeno)

Ne, jedino što MORA biti iz R je A i svaki od A_i-ova...

ddduuu (napisa):

vezano uz to:
2) Korolar 3.16...

E smo definirali kao podskup unije En. Zanima me jesmo li mogli tu primjenit sigma subaditivnost i dobit da je mjera E manja od sume..
ili smo MORALI radit disjunktne skupove?
Ako smo morali, zatso?

Mogla se ovdje direktno primijeniti subaditivnost.

#25: Autor/ica: Gost,

Postano: 17:03 pon, 21. 5. 2012
—
u 9. poglavlju, Lp-prostori, kod dokaza tm 9.2. piše da je jasno da je g o f = 1(f^-1(B)).
Zašto je to tako? Molim pomoć!

#26: Autor/ica: vjekovac,

Postano: 18:39 pon, 21. 5. 2012
—

Anonymous (napisa):

u 9. poglavlju, Lp-prostori, kod dokaza tm 9.2. piše da je jasno da je g o f = 1(f^-1(B)).
Zašto je to tako? Molim pomoć!

Ako je [tex]g=\chi_B[/tex] karakteristicna funkcija skupa B, pogledajmo sto je [tex]g\circ f[/tex].
Funkcija [tex]g\circ f[/tex] poprima samo vrijednosti iz skupa {0,1}, jer to vrijedi vec za funkciju g. Pogledajmo za koje [tex]x\in X[/tex] je [tex](g\circ f)(x)=1[/tex].
[dtex](g\circ f)(x)=1 \quad\Leftrightarrow\quad g(f(x))=1 \quad\Leftrightarrow\quad f(x)\in B \quad\Leftrightarrow\quad x\in f^{-1}(B)[/dtex]
Dakle, [tex](g\circ f)(x)=1[/tex] za [tex]x\in f^{-1}(B)[/tex] te [tex](g\circ f)(x)=0[/tex] za ostale x. To upravo znaci [tex]g\circ f = \chi_{f^{-1}(B)}[/tex].

#27: Autor/ica: Gost,

Postano: 16:47 ned, 1. 7. 2012
—
Jedno malo pojašnjenje gradiva, ako može pomoć. Kako pokazati da ako fn konvergira u L beskonačno, konvergira i u Lp(iz predavanja mi nije jasno - veza uniformne konvergencije ss i konv u L besk) , te zašto u prstenu generiranom poluprstenom možemo svesti skup na Ei-ove koji nisu dosjunktni. Hvala!

#28: Autor/ica: nuala,

Postano: 22:33 sri, 4. 7. 2012
—
Jel može netko please raspisati teorem 5.15?Zasto se lako vidi da je f1<=f2... i da fn(x) tezi ka f(x)?

#29: Autor/ica: vjekovac,

Postano: 19:37 sri, 18. 7. 2012
—

Anonymous (napisa):

Kako pokazati da ako fn konvergira u L beskonačno, konvergira i u Lp

To vrijedi na prostoru konačne mjere. Primijetimo da [tex]|f_n-f|\leq\|f_n-f\|_\infty[/tex] vrijedi [tex]\mu[/tex]-g.s. pa je
[dtex]\|f_n-f\|_p^p=\int|f_n-f|^p d\mu\leq\int\|f_n-f\|_\infty^p d\mu\leq \mu(X)\|f_n-f\|_\infty^p[/dtex]
tj. [tex]\|f_n-f\|_p\leq\mu(X)^{1/p}\|f_n-f\|_\infty[/tex], odakle slijedi tvrdnja.

Anonymous (napisa):

zašto u prstenu generiranom poluprstenom možemo svesti skup na Ei-ove koji nisu dosjunktni. Hvala!

Ne razumijem baš pitanje. Uvijek možete uniju konačno mnogo elemenata prstena prikazati kao disjunktnu uniju konačno mnogo elemenata tog prstena. To se lako pokazuje matematičkom indukcijom.

nuala (napisa):

Jel može netko please raspisati teorem 5.15?Zasto se lako vidi da je f1⇐f2... i da fn(x) tezi ka f(x)?

Fiksiramo [tex]x\in X[/tex] takav da je [tex]f(x)<+\infty[/tex] i gledajmo n dovoljno velike da bude [tex]n 2^n>f(x)[/tex]. Broj [tex]f_n(x)[/tex] je najveći razlomak s nazivnikom iz [tex]\{2^0,2^1,2^2,\ldots,2^n\}[/tex] koji je [tex]\leq f(x)[/tex]. Jasno je da [tex]f_n(x)[/tex] rastu i konvergiraju prema [tex]f(x)[/tex] jer povećanjem nazivnika možemo bliže odozdo aproksimirati [tex]f(x)[/tex]. Slučaj [tex]f(x)=+\infty[/tex] je još lakši jer je tada [tex]f_n(x)=n[/tex].
U ovom dokazu puno pomažu lijepa slika grafova funkcija i gornja interpretacija konstrukcije od [tex]f_n[/tex]. Može se to dokazati i čisto po formuli, ali onda izgleda komplicirano, a zapravo nije.

#30: Autor/ica: mathh5,

Postano: 9:15 čet, 27. 9. 2012
—
Molim za objašnjenje primjera 1.6. Kako dobijemo onaj skup sa presjecima? Unaprijed hvala!

#31: Autor/ica: grizly,

Postano: 0:47 pet, 28. 9. 2012
—
Intervale dobiješ na ovaj način: jedinica na n-tom mjestu dodaje zbroju 2^(-n) (recimo x1=1 ti prestavlja 1/2, iako baš sam zapis (1, 0, 0, ...) nije ono što gledamo, ali čisto radi ilustracije). Sada x1=1 točno znači da ti je ukupna vrijednost veća od 1/2, tj. da je x iz <1/2, 1]. uvjet x2=0 ti ništa ne govori o tome kakav je x1, pa onda imaš uniju obzirom na to kakav je x1: ako je on 0, onda je tvoj broj točno između 0 i 1/4, a ako je 1, onda je između 1/2 i 3/4 (pogledaj potencije od 1/2; uvjet x2=0 znači da u ukupnoj sumi nemaš člana 1/4). Sada pokušaj istim načinom razmišljanja vidjeti zašto u x3=0 dobijemo uniju ova tri skupa (jasno ti je da za xn uvijek dobijemo n disjunktnih poluotvorenih intervala). nadam se da sam barem malo pomogla Smile

#32: Autor/ica: mathh5,

Postano: 19:42 pon, 22. 10. 2012
—
Nažalost, i dalje ne kužim.
Da li bi mi mogao netko to računski napisati. Kako točno dolazimo do toga da ako je x2=0 da imamo [0 , 1/4] ∩ <1/2 , 3/4] ?

#33: Autor/ica: grizly,

Postano: 20:04 pon, 22. 10. 2012
—
Nije presjek nego unija, ajde probaj pogledati na početku primjera taj dijadski zapis, s tim da uvrstiš x2=0 pa pogledaj čemu ti suma može biti jednaka obzirom na x1 koji može biti 1 ili 0. Ili pak gledaj vjerojatnost ako ti je lakše. Stvarno ne znam kako da ti bolje to objasnim...

#34: Autor/ica: mathh5,

Postano: 12:32 uto, 23. 10. 2012
—
Da, ali kako bi to zapisali matematički?
x=x1 * 1/2 + x2 * 1/4 + x3 * 1/8
Ako je x2=0, imamo dva slučaja
1. x1=0
2. x2=1

znaći imamo x=0 * 1/2 + 0 * 1/4 + x3 * 1/8
ili x=1 * 1/2 + 0 * 1/4 + x3 * 1/8

Pa onda opet ne kužim od kuda dolazimo do tih skupova.

#35: Autor/ica: JANKRI, Lokacija: Zagreb

Postano: 17:55 uto, 23. 10. 2012
—
slučaj

, kako ne može biti (Radi dogovora, kojim smo postigli da imamo jedinstvenost zapisa.)

, dobijemo da u ovom slučaju pogađamo sve brojeve iz

.

slučaj

, rastavljamo ga na dva slučaja, ovisno o tome koliko je

:
- ako je

, vidimo da pogađamo sve brojeve iz skupa

- ako je

, vidimo da pogađamo sve brojeve iz skupa (Opet imajući na umu da ne mogu svi iza

biti 0.)

.
Dakle, u ovom slučaju pogađamo sve brojeve iz

.

slučaj

, rastavljamo ga na 4 slučaja:
-

, dobijemo skup

, primijetimo da smo ovaj skup dobili iz prethodnog tako da smo ga translatirali za

i imali na umu da ako imamo barem jednu jedinicu u nizu, da onda nakon nje ne mogu biti samo nule. Ovo fali u pdf! Ispraviti ću to! Very Happy

, dobijemo skup

Dakle, u ovom slučaju pogađamo skup

.

Konačno, moramo imati

, dakle, treba nam presjek ova tri dobivena skupa, a to je

.

Alternativno, a i puuuuno brže! Very Happy

Možemo pristupiti ovako:

Želimo odrediti brojeve koji u svom zapisu imaju

. Lako odredimo brojeve koji u svom zapisu imaju

, to su, jasno, svi oni (i samo oni) iz skupa

. No, mi želimo da je

, stoga, svi brojevi koje mi želimo su za

veći od ovih koje smo dobili. Dakle, samo naš skup translatiramo za

i pri tome pazimo da moramo izbaciti

, jer ne možemo imati situaciju da je

. Konačno, dobivamo skup

#36: Autor/ica: Zenon, Lokacija: [tex]\pm\infty[/tex]

Postano: 23:41 uto, 23. 10. 2012
—
Skripta mi je nahvaljena, a i vidim da stvarno odlično predočava prirodnost i fluidnost profesorovih predavanja. Svaka pohvala!

#37: Autor/ica: vjekovac,

Postano: 19:29 sri, 28. 11. 2012
—
Kolega Ivan Krijan je načinio dopunjenu i ispravljenu verziju skripte. I ovim putem mu se zahvaljujem u ime nastavnog osoblja! Zadnja verzija je stavljena i na web stranicu kolegija:
http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/mii/mii_predavanja.pdf

#38: Autor/ica: Gost,

Postano: 11:39 čet, 11. 4. 2013
—
Moze li mi netko objasniti zasto u Korolaru 4.4. (iii) se jednakost ne dokaze direktno preko neprekidnosti mjera na rastuce unije dogadjaja umjesto "rastavljanjem" na uniju disjunktnih dogadjaja?

#39: Autor/ica: dodinho,

Postano: 12:15 čet, 11. 4. 2013
—
@ gost

Da, puno je lakse, brze i prakticnije direktno preko nepr. mjere na rastuce unije. hm, i jedno i drugo je dobro tako da je samo pitanje kojim ces putem.
vjerojatno su na predavanju htjeli pokazati 'osebujnost' dokaza, nemam pojma...

#40: Autor/ica: Cobs, Lokacija: Geto

Postano: 12:49 čet, 11. 4. 2013
—
A kaj veli ta definicija na koju se pozivaš? (Ima u skripti nešto, ali eto da ne bi ja nekaj krivo rekao, može oznaka iz skripte ako je ima tamo) Meni se čini da se nemre direkt iz definicije. Pitam Very Happy

#41: Autor/ica: Gost,

Postano: 13:00 čet, 11. 4. 2013
—
Pitam jer mozda postoji neka kvaka zasto se ne moze iskorititi.

@Cobs Napomena 3.4. b) (ii) ... svojstvo neprekidnosti na rastuce unije za sigma aditivne funkcije, to pitas pretpostavljam?

#42: Autor/ica: Cobs, Lokacija: Geto

Postano: 15:15 čet, 11. 4. 2013
—
Ne možeš to iskoristiti (mslim možeš, ali ti to ništa ne pomaže), jer trebaš dokazat da ako uzmeš proizvoljnu rastuću uniju, da ona mora biti dio skupa D, a kako bi bilo dio skupa D mora vrijediti: u(RastućaUnija) = v(RastućaUnija) za što se ne može koristiti ta definicija.
Da ne duljim, jasno je što definicija kaže, ali to nam ništa ne govori o jednakosti funkcija u i v na rastućoj uniji.
(Skupovi An niza jesu iz D, za cijelu uniju baš i ne znamo)

#43: Autor/ica: Gost,

Postano: 16:10 čet, 11. 4. 2013
—
Evo da objasnim:
Neka su m i n te mjere, te D = { A iz F: m(A) = n(A) }. Zelimo pokazati da je D zatvoren na rastuce unije, pa uzmemno niz (An) iz D.

Sada je:
m(U An) = (m je mjera na F, neprekidnost) = lim m(An) = ( An je iz D, pa je m(An) = n(An) ) = lim n(An) = (n je mjera na F, neprekidnost) = n (U An)
Dakle jednake su, pa je i unija iz D.

#44: Autor/ica: Phoenix,

Postano: 19:10 čet, 11. 4. 2013
—
Iskreno, meni se tvoja ideja čini u redu. Napomena [tex]3.4[/tex] [tex](b)[/tex] kaže da je dovoljan uvjet [tex]\sigma[/tex]-aditivnost na prstenu i da je promatrana prebrojiva unija unutar istog prstena. Prvo svojstvo je zadovoljeno činjenicom da promatramo mjere (a definicija kaže da su one [tex]\sigma[/tex]-aditivne), a drugo činjenicom da promatraš mjere na [tex]\sigma[/tex] algebri pa automatski sadrži promatranu prebrojivu uniju (pa usput time vrijedi i da se preslikavanja promatraju na prstenima).
Nadam se da nisam nešto krivo shvatio, no vjerujem da si u pravu. Smile

Još bih nadodao da, tko planira naučiti dokaz iz skripte, pripazi na pogrešnu definiciju niza skupova [tex](B_n)_{n \in \mathbb{N}}[/tex]. Naime, mora vrijediti [tex]B_{n+1}=A_{n+1} \backslash A_n[/tex]. Tako ostatak dokaza, premda se raspiše na isti način i duljina dokaza se u principu ne promijeni, ne mora ići po indukciji.

#45: Autor/ica: Cobs, Lokacija: Geto

Postano: 17:02 pet, 12. 4. 2013
—
Nisam to vidio Very Happy

Meni se isto čini u redu.

#46: Autor/ica: JANKRI, Lokacija: Zagreb

Postano: 22:22 ned, 2. 3. 2014
—
Pozdrav svima!

Stiže novija i dosta bolja verzija skripte, za sad su u njoj samo prva tri poglevlja, ali kroz iduća tri tjedna će doći i sva ostala, a do tada su vam dovoljna prva tri! Very Happy

Biti će vam to objavljeno i ovdje.

Također, moram napisati da veliki dio zasluga za ovu novu i bolju verziju skripte zaslužuje vaš ovogodišnji demonstrator Phoenix!

SKRIPTA.pdf

Description:

Download

Filename:

SKRIPTA.pdf

Filesize:

185.63 KB

Downloaded:

372 Time(s)

#47: Autor/ica: Phoenix,

Postano: 7:14 pon, 31. 3. 2014
—
Lijepi pozdrav svima! Smile

Na žalost, skripta iz predavanja neće dočekati novo izdanje, barem ne ove akademske godine! Sad

Odnosno, ova tri poglavlja što su do sada objavljena, bit će jedina nova promjena skripte.

Osobno, meni je žao ako ima razočaranih studenata koji su se nadali novim izdanjima preostalih poglavlja... Ipak, moram reći da kolega Krijan trenutno radi punom parom, jako je zauzet obvezama, a posebno na prvoj godini doktorskog studija.

Ja ću ipak reći: hvala kolegi Krijanu na tako dobroj volji i na objavljena prva tri poglavlja! Stvarno, svaka čast na toliko mnogo uloženog truda! Smile

Ali, nije kraj svemu! Smile

Velika moja sreća, ja sam sve svoje bilješke, ispravke, komentare, i što već ne, poslao kolegi Krijanu - LaTeXirane! Very Happy

Tako da, ostavljam vama sve svoje natipkane dokaze tvrdnji s predavanja (ostavljene nama za zadaću), kao i ispravke nekih pogreški koje sam pronašao!
Izbacio sam komentare, neke dodatne bilješke s predavanja i slično što mi se činilo da vam nije potrebno, a da bi vas bezveze zamaralo. Ipak, nisam detaljno provjeravao PDF, pa se unaprijed ispričavam ako vam se neki moji komentari i bilješke čine previše "picajzleni", ili se možda negdje obraćam u drugom licu jednine, ili je negdje možda čak ostala prisutna ikavica. Ali, evo, meni je osobno pomoglo da bolje naučim i shvatim gradivo, pa se nadam da bi i vama moglo ovo pomoći.

Svakako preporučam da i sami probate raspisati ove dokaze, možda i prije nego otvorite dokument (znat ćete o kojim je tvrdnjama riječ jer su u skripti samo iskazane, bez dokaza).
Ponekad je dobro i skicirati skupove, funkcije, možda i površine ispod grafova funkcija... Vizualizacija stvarno može pomoći! Smile

Evo, čisto za primjer, kako su, meni osobno, jedna-dvije skice otvorile oči i kako sam potpuno usvojio i upamtio dokaz teorema [tex]5.15[/tex]: LINK

Da ne duljim previše: štogod vas dodatno zanimalo oko ovoga dokumenta, slobodno pitajte! Smile

Moje bilješke - Mjera i integral.pdf

Description:

Download

Filename:

Moje bilješke - Mjera i integral.pdf

Filesize:

204.8 KB

Downloaded:

718 Time(s)

#48: Autor/ica: Gost,

Postano: 21:15 pon, 7. 4. 2014
—
Jel mi moze neko reci sto je zadnje obradeno na predavanju? tnx Smile

#49: Autor/ica: banank0,

Postano: 20:37 sub, 12. 4. 2014
—
6. poglavlje

#50: Autor/ica: Gost,

Postano: 13:06 ned, 13. 4. 2014
—

Anonymous (napisa):

Jel mi moze neko reci sto je zadnje obradeno na predavanju? tnx Smile

kod kovaca je 5.

#51: Autor/ica: Gost,

Postano: 13:49 pon, 14. 4. 2014
—
Sto zadnje s vjezbi i predavanja ulazi u kolokvij?

Forum@DeGiorgi -> Mjera i integral

output generated using printer-friendly topic mod. Vremenska zona: GMT + 01:00.

Stranica 1 / 1.