Forum@DeGiorgi :: Pogledajte temu

vjezbe

through

FAQ

[^/[Print]\]

Forum@DeGiorgi -> Diferencijalni račun i integrali funkcija više varijabli

#1: vjezbe Autor/ica: Gost,

Postano: 20:25 pon, 21. 11. 2011
—
jel bi mogo netko skenirati vjezbe od proslog tjedna (M-Ž) i staviti ovdje?

#2: Autor/ica: Gost,

Postano: 15:52 sub, 3. 12. 2011
—
da ne otvaram novu temu... kako stojimo s blicevima na vježbama i predavanjima, tj. jesmo li pisali šta ovaj tjedan?

#3: Autor/ica: kikzmyster,

Postano: 19:56 ned, 4. 12. 2011
—
pisali smo blic na predavanju (prof. Tambaca)

#4: zadatak Autor/ica: Gost,

Postano: 17:40 uto, 3. 1. 2012
—
Moze, molim vas pomoc oko zadatka u skripti iz vjezbi, str. 44, 14.14 i 14.15. Konkretno, pitanje je za odredjivanje karaktera stacionarnih tocaka.

#5: Autor/ica: sz,

Postano: 9:54 sri, 4. 1. 2012
—
14.14. Stacionarne točke odredimo normalno (kod rješavanja sustava pametno prvo zbrojiti dvije jednadžbe), dobije se [tex](0, 0), (\sqrt{2},-\sqrt{2}),(-\sqrt{2}, \sqrt{2})[/tex]. Za [tex](\sqrt{2},-\sqrt{2}),(-\sqrt{2}, \sqrt{2})[/tex] odmah se vidi da su lokalni minimumi jer su Hesseove matrice pozitivno definitne, a matrica od [tex](0, 0)[/tex] je negativno semidefinitna pa tu ima još malo posla: gledanjem ponašanja fje u npr. [tex](x, x)[/tex] i [tex](x, 0)[/tex] lako se vidi da se ne radi o lokalnom ekstremu.

14.15. Ova fja izgleda ružno, pa je prvo možemo probati ljepše zapisati: nakon grupiranja po potencijama od x vidi se da je to zapravo [dtex]f(x,y)=x^2-3x(y-1)^2+2(y-1)^4=(x-(y-1)^2)(x-2(y-1)^2).[/dtex]
Tražimo stacionarne točke, tj. rješavamo sustav:
[dtex]2x-3(y-1)^2=0[/dtex]
[dtex](y-1)(-3x+4(y-1)^2)=0[/dtex]
čije je jedino rješenje [tex](0, 1)[/tex].
Naravno, Hesseova matrica ne olakšava stvari - pozitivno je semidefinitna pa gledamo ponašanje fje u okolini [tex](0, 1)[/tex]. Fju je lako natjerati da bude > 0 (npr. f(x, 1) > 0) za x blizu 0.
Ako fju hoćemo natjerati da bude < 0, iz njena oblika uočimo da bi bilo super naći neke točke (x, y) blizu (0, 1) takve da je [tex]x-(y-1)^2 > 0[/tex] i [tex]x-2(y-1)^2 < 0[/tex], tj. [tex]1 < \frac{x}{(y-1)^2} < 2[/tex], npr. neka je [tex]\frac{x}{(y-1)^2}=\frac{3}{2}[/tex]. OK točke će biti [tex](\frac{3}{2}(y-1)^2,y)\to (0, 1)[/tex] kad [tex]y\to 1[/tex]. U njima je f < 0 pa (0, 1) nije lokalni ekstrem.

#6: Autor/ica: satja,

Postano: 21:29 sri, 4. 1. 2012
—
Volio bih vidjeti primjer zadatka u kojem je Hesseova matrica pozitivno (ili negativno) semidefinitna, a da se ipak radi o lokalnom ekstremu, i kako u tom slučaju dokazati da se radi o ekstremu.

#7: Autor/ica: sz,

Postano: 22:06 sri, 4. 1. 2012
—
Ovo je stvarno jednostavan primjer, ali odgovara opisu: [tex]f(x,y):=(x-1)^4+(y+2)^4[/tex]. (1, -2) je jedina stacionarna točka, Hesseova matrica je semidefinitna, a radi se o ekstremu, što je očito iz oblika fje f, a i inače bi se išlo dokazivati pješke - preciznije, trebalo bi se nekako pokazati da postoji otvorena okolina stac. točke t. d. u svim točkama te okoline fja postiže vrijednosti [tex]\leq[/tex] (ili [tex]\geq[/tex]) od vrijednosti fje u promatranoj točki.

#8: Autor/ica: Gost,

Postano: 9:38 čet, 5. 1. 2012
—
imam jedno malo glupo pitanje, al buni me to..odredim stacionarne tocke i uvrstim u hesseovu matricu i sad za minore dobim npr. 0 i 6..i jel mogu odmah nesto iz tog zakljuciti il ne? i sto kad dobim 0 i 0? hvala

#9: Autor/ica: sz,

Postano: 11:40 čet, 5. 1. 2012
—
Ako dobiješ 0 i 6 (baš tim redom), to je niz sedlastog tipa pa odmah možeš zaključiti da se ne radi o lokalnom ekstremu.

Ako dobijemo 0 i 0, iz toga možemo zaključiti da matrica nije ni pozitivno ni negativno definitna. Pogledamo niz minora one permutirane matrice - ako je on sedlastog tipa, matrica je indefinitna pa nemamo lokalni ekstrem (ali ovaj slučaj se nikad neće dogoditi; razmisli kako takva matrica mora izgledati da zaključiš zašto); inače je matrica semidefinitna (to se uvijek dogodi) pa idemo pješke...

#10: Autor/ica: Gost,

Postano: 12:16 čet, 5. 1. 2012
—

sz (napisa):

Ako dobiješ 0 i 6 (baš tim redom), to je niz sedlastog tipa pa odmah možeš zaključiti da se ne radi o lokalnom ekstremu.

zasto je bitno da je bas tim redom 0 i 6?

#11: Autor/ica: ceps,

Postano: 12:54 čet, 5. 1. 2012
—
Jer bi za 6, 0 to bila poz. semidefinitna matrica, za koju nam taj teorem o ekstremima ništa ne govori. Moramo ručno provjeravati. Very Happy

Pogledaj tu: http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/difraf/dif/vjezbe9a.pdf
i tu: http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/difraf/dif/p_o16.pdf

#12: Autor/ica: rain,

Postano: 17:49 čet, 5. 1. 2012
—
može pomoć za zadatke od 1.7. do 1.11. hvala! Smile

http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/difraf/dif/vjezbe9b.pdf

#13: Autor/ica: sz,

Postano: 1:36 pet, 6. 1. 2012
—
1.7. Lokalni ekstremi: jedina stac. točka je (-1,0,0), ali Hesseova matrica je indefinitna pa nema lokalnih ekstrema.
Uvjetni ekstremi: skup S je ravnina, a funkcija [tex]f(x,y,z)=(x+1)^2+3y^2-2z^2[/tex] izgleda prilično sposobno za divljanje po ravninama. Stvarno, kad [tex]t\to +\infty[/tex], [tex]f(\frac{3}{2}t+\frac{11}{2},t,0)\to +\infty[/tex], a [tex]f(t,0,11-2t)\to -\infty[/tex]. Dakle, f nema globalnih ekstrema na S.

1.8. Prvo iskoristimo [tex]z=2-x[/tex] i problem se svodi na određivanje ekstrema fje [tex]g(x,y)=x^2+2y^2-(x-2)^2=2y^2+4(x-1)[/tex] na krugu [tex]x^2+y^2\leq 1[/tex]. Kako je g neprekidna, na kompaktnom krugu se ekstremi negdje moraju postizati. Budući da nema stac. točaka, to se događa na rubu, tj. na kružnici [tex]x^2+y^2=1[/tex]. Sad možemo iskoristiti taj uvjet i problem se svodi na određivanje ekstrema fje [tex]h(x)=2(1-x^2)+4(x-1)=-2(x-1)^2[/tex] na [tex][-1,1][/tex]. Tu su ekstremi -1 i 1. Sad se samo vratimo po iskorištenim uvjetima da bi dobili točke [tex](-1,0,3)[/tex] i [tex](1,0,1)[/tex].

1.9. Prvo, f je neprekidna pa na kompaktnoj jediničnoj sferi sigurno postiže minimum i maksimum. [tex]f(x)=\sum_{i=1}^n(x_i^2-x_i+(n+1-i)(n-i))[/tex], tražimo ekstreme na skupu [tex]x_1^2+\ldots+x_n^2=1[/tex]. Sad dolaze klasični uvjetni ekstremi, bitno je izvući da svi [tex]x_i[/tex]-evi moraju biti jednaki, što daje samo dva kandidata za ekstreme: [tex](\frac{1}{\sqrt{n}},\ldots,\frac{1}{\sqrt{n}})[/tex] i [tex](-\frac{1}{\sqrt{n}},\ldots,-\frac{1}{\sqrt{n}})[/tex]. U onom prvom vrijednost fje je manja pa je on globalni minimum, a drugi je globalni maksimum.

1.10. Uz uvjet [tex]R(R+s)=12[/tex] maksimiziramo [tex]V(R,s)=R^2 \pi s[/tex]. Sad možemo na uvjetne ekstreme ili iz uvjeta izraziti s, uvrstiti ga u formulu za V i svesti problem na analizu ponašanja fje jedne varijable: [tex]\pi(12R-R^3)[/tex]. Rješenje je R=2, s=4, mislim.

1.11. Uz uvjet [tex]x^2+y^2+z^=1[/tex] maksimiziramo fju [tex]V(x,y,z)=xyz[/tex] (x, y, z > 0). Može pomoću uvjetnih ekstrema, a možemo i problem svesti na 2 varijable: [tex]g(x,y)=xy(1-x^2-y^2)[/tex] i iskoristiti G-K nejednakost:
[dtex]xy(1-x^2-y^2)\leq \frac{x^2+y^2}{2}(1-(x^2+y^2))=\{t=x^2+y^2\}=\frac{t(1-t)}{2}\leq\frac{1}{8}.[/dtex]

Jednakosti vrijede akko je [tex]x=y, t=\frac{1}{2}[/tex], tj. [tex]x=y=z=\frac{1}{2}.[/tex]

#14: Autor/ica: satja,

Postano: 11:47 pet, 6. 1. 2012
—

sz (napisa):

1.7. Lokalni ekstremi: jedina stac. točka je (-1,0,0), ali Hesseova matrica je indefinitna pa nema lokalnih ekstrema.

Meni se čini da zadatak traži lokalne ekstreme od [tex]f[/tex] na [tex]S[/tex], a ne na [tex]R^3[/tex]. U tom slučaju bismo pomoću gradijenata dobili da je točka [tex](3, -2, -1)[/tex] jedini kandidat, ali da to i nije lokalni ekstrem na [tex]S[/tex] jer, za malene pozitivne [tex]t[/tex], imamo [tex]f(3+t, -2, -1-2t) < f(3, -2, -1) < f(3+3t, -2+2t, -1)[/tex].

#15: Autor/ica: sz,

Postano: 14:48 pet, 6. 1. 2012
—
Mda, sad se i meni čini da se na to zapravo mislilo. Ehm?

Samo da napomenem da onda, čim zaključimo da nema lokalnih ekstrema, znamo i da nema globalnih ekstrema pa ništa dalje nije potrebno računati.

P.S.: Pazite, činjenica da ne postoje globalni ekstremi općenito ne mora značiti da je fja neograničena, primjer je fja arctg x.

#16: Autor/ica: babybodom, Lokacija: zagreb

Postano: 16:05 pet, 6. 1. 2012
—
molio bi nekoga tko zna rijesiti zadatak
1.5. za DZ. s vjezbi Racunski zadaci
http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/difraf/dif/vjezbe7.pdf
ako ikako moze napisat barem pocetak, raspisati sto i kako
cisto da vidim kako stvari funkcioniraju s kartezijevim produktom!
hvala!

#17: Autor/ica: ceps,

Postano: 16:15 pet, 6. 1. 2012
—
http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/difraf/dif/2009-10/kolokvij2.pdf

Jel može tko pokazati 1. pod b)
Hvala!

#18: Autor/ica: Gost,

Postano: 17:34 pet, 6. 1. 2012
—

ceps (napisa):

http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/difraf/dif/2009-10/kolokvij2.pdf

Jel može tko pokazati 1. pod b)
Hvala!

Prvo uvrstiš n=3 i promatraš tu funkciju.
Moraš odrediti parcijalne derivacije za (x,y)!=(0,0),i onda naći parcijalne derivacije za (x,y)=(0,0) (to po definiciji). I onda gledaš što se događa s parcijalnim derivacijama kada (x,y) teži k (0,0), neće ti odgovarati sa parcijalnom derivacijom baš u točki (0,0).. iz čega slijedi da parcijalne nisu neprekidne,pa funkcija nije diferencijabilna.

#19: Autor/ica: fejky,

Postano: 18:14 pet, 6. 1. 2012
—
Ako parcijalne dervacije imaju prekid, f-ja moze biti diferencijalibna. Ja bi izracunao parcijalne derivacije [tex]\partial_xf(0,0)=2, \partial_yf(0,0)=3[/tex] iz toga dobijemo jedini kandidat.
Pa treba pokazati da [tex]\frac {f((0,0)+h)-f(0,0)-L(0,0)(h)}{||h||} \neq 0, h \to 0[/tex]. Gdje je L taj kandidat (2,3). Dovoljno je pokazati da jedan niz koji konvergira prema [tex](0,0)[/tex] ne tezi prema nula. Uzmimo [tex](\frac 1 n , \frac 1 n )[/tex] kada [tex]n \to \infty [/tex]. Kada uvrstimo gore dobivamo [tex]
\frac{
\frac { 2 \frac 1 n + 3 \frac 1 n}
{ \frac{1}{n^2} + \frac {1}{n^2} }
- 2 \frac 1 n - 3 \frac 1 n
}
{||\frac{1}{n}|| }
= \frac{ \frac 5 2 \frac 1 n - 5 \frac 1 n}{ || \frac 1 n ||} = - \frac{ \frac 5 2 \frac 1 n}{|| \frac 1 n ||}
[/tex] a to znamo da je kada [tex]n \to \infty \neq 0[/tex]. Tako bi barem ja. Neka netko provjeri jer nisam siguran da je dobro Very Happy

#20: Autor/ica: sz,

Postano: 1:32 sub, 7. 1. 2012
—

babybodom (napisa):

molio bi nekoga tko zna rijesiti zadatak
1.5. za DZ. s vjezbi Racunski zadaci
http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/difraf/dif/vjezbe7.pdf
ako ikako moze napisat barem pocetak, raspisati sto i kako
cisto da vidim kako stvari funkcioniraju s kartezijevim produktom!
hvala!

Fju [tex]f:\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n[/tex] gledamo kao [tex]f:\mathbb{R}^{2n}\to\mathbb{R}^n[/tex], tj. [tex]f(x,y)[/tex] je jednostavno [tex]f(x_1,...,x_n,y_1,...,y_n)[/tex]. I sad raspišemo parcijalne derivacije i dobijemo
[dtex]Df(x,y)=e^{(y|a)}\begin{pmatrix}1 & & & a_1x_1 & \ldots & a_nx_1\\ & \ddots & & \vdots & & \vdots\\&&1&a_1x_n&\ldots&a_nx_n\end{pmatrix}.[/dtex]
Uvrštavanjem se dobije
[dtex]Df(0,a)(1,\ldots,1)=e^{||a||^2}\begin{pmatrix}1\\\vdots\\1\end{pmatrix}.[/dtex]

#21: Autor/ica: minnie m.,

Postano: 13:10 sub, 7. 1. 2012
—
Može kratko objašnjenje 1.9. iz iste cjeline(Racunski zadaci)??

#22: Autor/ica: ceps,

Postano: 14:23 sub, 7. 1. 2012
—
@minnie

1) Prirodna domena:

Mislim da nemam tu što puno objašnjavat, kad neki od ovih uvjeta ne bi bio ispunjen, imali bi dijeljenje sa nulom.
2) Parcijalne derivacije:

P. derivacije po y i z idu analogno, i posve se jasno vidi da su neprekidne na prirodnoj domeni.

Kad imaš sve derivacije izračunate, lagano je uvrstiti (x,x,x).

Pitaj ako ti još što nije jasno. Very Happy

#23: Autor/ica: babybodom, Lokacija: zagreb

Postano: 15:45 sub, 7. 1. 2012
—
hvala na rjesenju Smile

Forum@DeGiorgi -> Diferencijalni račun i integrali funkcija više varijabli

output generated using printer-friendly topic mod. Vremenska zona: GMT + 01:00.

Stranica 1 / 1.