Forum@DeGiorgi :: Pogledajte temu

Integral?

through

FAQ

[^/[Print]\]

Forum@DeGiorgi -> Matematička analiza 1 i 2

#1: Integral? Autor/ica: jeca_m,

Postano: 21:54 sri, 8. 2. 2012
—
Cao. Moze li neko da mi pomogne oko ovog integrala?

#2: Autor/ica: goranm,

Postano: 14:15 pet, 10. 2. 2012
—
Neka je [tex]I_n=\int_0^{2\pi}e^{-nx}\sin^nx\,\textrm{d}x[/tex].

Nakon što se [tex]I_n[/tex] dva puta parcijalno integrira (u oba slučaja se za [tex]\mathrm{d}v[/tex] uzme [tex]e^{-nx}\,\mathrm{d}x[/tex], a za [tex]u[/tex] da bude preostali dio podintegralne funkcije), dolazi se do izraza
[dtex]I_n=\frac{n-1}{2n}\int_0^{2\pi}e^{-nx}\sin^{n-2}x \,\textrm{d}x.[/dtex]
Sada opet dva puta parijalno integriramo da dobijemo otprilike izgled općeg rješenja. Ovaj put je
[dtex]I_n=\frac{n-1}{2n}\frac{(n-2)(n-3)}{n^2+(n-2)^2}\int_0^{2\pi}e^{-nx}\sin^{n-4}x\,\textrm{d}x.[/dtex]
Idući će biti

[dtex]I_n=\frac{n-1}{2n}\frac{(n-2)(n-3)}{n^2+(n-2)^2}\frac{(n-4)(n-5)}{n^2+(n-4)^2}\int_0^{2\pi}e^{-nx}\sin^{n-6}x\,\textrm{d}x.[/dtex]

Ovisno o parnosti broja n, integral će ti završiti ili s [tex]\int_0^{2\pi}e^{-nx}\sin x\,\textrm{d}x[/tex] ili s [tex]\int_0^{2\pi}e^{-nx}\sin^2x\,\textrm{d}x[/tex] što se opet dvostrukom parcijalnom integracijom lako računa. To ostavljam tebi da dovršiš. Smile

#3: Autor/ica: jeca_m,

Postano: 17:37 pet, 10. 2. 2012
—
Hvala ti puno! Da, sada je stvarno lako dovrsiti Smile

Pozz

#4: Autor/ica: Zenon, Lokacija: [tex]\pm\infty[/tex]

Postano: 23:35 pon, 23. 4. 2012
—
Nisam imao integriranje u srednjoj, zbog čega bih do kraja semestra mogao imati poprilično banalna pitanja, pa molim bez ( previše ) smjeha Razz

Odredi [tex]\int \cos5x \cos 3x d\!x[/tex]. Jedina ideja koju imam je pretvorba umnoška u zbroj. Je li to i bila ideja ovakvog tipa zadatka, ili ima neki način da se integrira direktno?
Općenito, čim vidim neki složeniji trigonometrijski izraz, ideja je da si olakšam korištenjem određenih trigonometrijskih identiteta?

Unaprijed hvala! Thank you

#5: Autor/ica: Phoenix,

Postano: 0:12 uto, 24. 4. 2012
—
Ako ne možeš "pogoditi" primitivnu funkciju, onda pokušavaš izraz svesti na neki kojoj znaš primitivnu funkciju. Konkretno, ovdje ne znaš integral (pretpostavljam jer pitaš Razz

), ali ako to napišeš kao zbroj trigonometrijskih funkcija, dalje znaš riješiti. Smile

Ponekad možda možeš razmišljati i kako je netko mogao postaviti takav zadatak pa naslutiti ideju. Recimo, tu imaš produkt trigonometrijskih funkcija... To možeš možda dobiti ako imaš zbroj takvih funkcija, pa deriviranjem opet dobiješ takav zbroj, ali ovog puta možda to možeš zbrojiti preko identiteta i dobiti produkt... Vrijedi isprobati, sada radi obrnutim redoslijedom "obrnute" radnje. Very Happy

(Nije da je ovo neka službena metoda, ali tako sam znao shvatiti kako se rješavaju neki zadaci; recimo, kako ide metoda parcijalne integracije. A to ionako obično uočim tek kada riješim zadatak i vidim što sam napisao. Razz

)
Ako ipak želiš nešto direktno, uvijek se možeš igrati s dokazom preko definicije integrala. Ali to ti stvarno ne bih savjetovao jer obično to zna biti jako ružno, jako teško, a ponekad i nemoguće za rješavanje (u nekim humanim i razumnim granicama). Ako želiš, radi to na svoju odgovornost. Wink

#6: Autor/ica: goranm,

Postano: 3:40 uto, 24. 4. 2012
—
Integriranje je linearni funkcional iz vektorskog prostora svih integrabilnih funkcija* u R, tako da kad god imaš priliku umnožak dvije funkcije pretvoriti u sumu, linearnost će ti omogućiti da taj umnožak rastaviš na dva (uglavnom jednostavnija) integrala.

*:preciznije, svih integrabilnih funkcija definiranih na segmentu [a,b], ali trenutno nebitno za samu tehniku integriranja jer i linearnost i homogenost su očuvani u slučaju nepravih integrala.

#7: Autor/ica: Zenon, Lokacija: [tex]\pm\infty[/tex]

Postano: 9:42 uto, 24. 4. 2012
—
Hvala obojici mojih vjernih analitičkih instruktora! Happy

#8: Autor/ica: malalodacha,

Postano: 0:49 čet, 26. 4. 2012
—
http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/analiza/files/ch2_2.pdf može zadatak 2.23 pod b) netko riješit?

#9: Autor/ica: goranm,

Postano: 5:13 čet, 26. 4. 2012
—
Neka je [tex]\text{I}=\int_1^{16}\arctan{\sqrt{\sqrt{x}-1}}.[/tex] Prvi korak je parcijalna integracija uz [tex]u=\arctan{\sqrt{\sqrt{x}-1}}[/tex] te [tex]\text{d}v=\text{d}x.[/tex] Tada je [dtex]\text{I}=16\frac{\pi}{3}-\frac{1}{4}\int_1^{16}\frac{\text{d}x}{\sqrt{\sqrt{x}-1}}.[/dtex]

Nastavljamo supstitucijom uz [tex]u=\sqrt{\sqrt{x}-1}.[/tex] Tada je [dtex]\text{d}u=\frac{1}{4\sqrt{\sqrt{x}-1}}\frac 1 {\sqrt{x}}\text d x,[/dtex]
a kako je [tex]u^2=\sqrt{x}-1,[/tex] onda je
[dtex]\text I=16\frac{\pi}{3}-\int_0^{\sqrt{3}}(u^2+1)\text d u=16\frac{\pi}{3}-2\sqrt 3.[/dtex]

#10: Autor/ica: Zenon, Lokacija: [tex]\pm\infty[/tex]

Postano: 23:10 pet, 27. 4. 2012
—
Metodom supstitucije trebam riješiti [tex]\int \sin^2 x d\!x[/tex].
Jedino što mi pada na pamet je zapisati [tex]\sin^2 x[/tex] kao [tex]\frac 12-\frac 12 \cos 2x[/tex], pa onda uvesti supstituciju [tex]t=2x[/tex], ali za tim stvarno nema potrebe jer je lako ovo na pamet, tako da ne vidim ideju ovog zadatka.
Molim pomoć.
Unaprijed hvala! Thank you

#11: Autor/ica: goranm,

Postano: 5:33 sub, 28. 4. 2012
—
Čini mi se da to i je ideja.

Za utjehu metodom supstitucije riješi [tex]\int \sin {2x}\text dx[/tex], ali tako da ne koristiš supstituciju u=2x.

#12: Autor/ica: Zenon, Lokacija: [tex]\pm\infty[/tex]

Postano: 10:13 sub, 28. 4. 2012
—

goranm (napisa):

Za utjehu metodom supstitucije riješi [tex]\int \sin {2x}\text dx[/tex], ali tako da ne koristiš supstituciju u=2x.

A to je isto lako napamet, ali ajde, neka je supstitucija [tex]u=-\cos 2x[/tex] Razz

Hvala na alternativi Very Happy

#13: Autor/ica: goranm,

Postano: 12:40 ned, 29. 4. 2012
—

Zenon (napisa):

A to je isto lako napamet, ali ajde, neka je supstitucija [tex]u=-\cos 2x[/tex] Razz

Ali tu ćeš opet koristiti supstituciju u=2x da bi izračunao [tex]\int \cos {2x}\text d x[/tex]. Wink

#14: Autor/ica: Zenon, Lokacija: [tex]\pm\infty[/tex]

Postano: 13:02 ned, 29. 4. 2012
—
[dtex]\int \sin 2x d\!x=\begin{bmatrix}t=-\cos 2x\\ d\!t=2\sin 2x d\!x\end{bmatrix}=\frac 12\int d\!t=\frac 12 t+C=-\frac 12 \cos 2x +C[/dtex]

#15: Autor/ica: goranm,

Postano: 13:21 ned, 29. 4. 2012
—
dja, to se događa kad istovremeno računam integrale i jedem ćevape. moje isprike, oj Zenone od integriranja!

#16: Autor/ica: Zenon, Lokacija: [tex]\pm\infty[/tex]

Postano: 13:28 ned, 29. 4. 2012
—

goranm (napisa):

oj Zenone od integriranja!

goranm (napisa):

jedem ćevape

Dobar tek! Very Happy

#17: Autor/ica: Zenon, Lokacija: [tex]\pm\infty[/tex]

Postano: 1:42 uto, 1. 5. 2012
—
Ispod lekcije Neodređeni i određeni integral nalazi se zadatak [tex]\displaystyle\int\frac{d\!x}{1+\sin x}[/tex], znači, nikakva metoda supstitucije i parcijalne integracije, samo ovako odoka treba pogoditi, eventualno koristeći se tablicom derivacija.
Molio bih pomoć oko ovoga.
Unaprijed hvala Very Happy

#18: Autor/ica: vjekovac,

Postano: 18:08 uto, 1. 5. 2012
—

Zenon (napisa):

Ispod lekcije Neodređeni i određeni integral nalazi se zadatak [tex]\displaystyle\int\frac{d\!x}{1+\sin x}[/tex], znači, nikakva metoda supstitucije i parcijalne integracije, samo ovako odoka treba pogoditi, eventualno koristeći se tablicom derivacija.

Najprije pretvorite [tex]\sin x[/tex] u [tex]\cos(x-\frac{\pi}{2})[/tex] pa prijeđite na polovišni kut [tex]\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4}[/tex]. Dobit ćete tablični integral. Rješenje koje ispadne je [tex]\mathrm{tg}\big(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4}\big)+C[/tex].

#19: Autor/ica: Zenon, Lokacija: [tex]\pm\infty[/tex]

Postano: 13:23 sri, 2. 5. 2012
—
Shvatio sam, puno hvala! Thank you

#20: Autor/ica: student_92,

Postano: 17:03 sri, 2. 5. 2012
—
Pozdrav, molio bih pomoc oko [dtex]\int_0^1\frac {x^3} {x^6+2x^3+1}dx[/dtex]

#21: Autor/ica: Zenon, Lokacija: [tex]\pm\infty[/tex]

Postano: 18:54 sri, 2. 5. 2012
—
Ako iskoristiš [tex]x^6+2x^3+1=(x^3+1)^2[/tex] možeš brute force-om ići na parcijalni razlomke (nakon što brojnik napišeš kao [tex]x^3+1-1[/tex] i skratiš), trebalo bi te sigurno dovesti do rješenja. Probat ću neki drugi dan i na neki drugi način pa ako vidim štogod, javim. Very Happy

#22: Autor/ica: student_92,

Postano: 0:59 čet, 3. 5. 2012
—
Ok, hvala.

#23: Autor/ica: quark,

Postano: 17:32 pon, 7. 5. 2012
—
Može pomoć?

Hvala unaprijed

Edit: Evo, riješih ga, ne treba Very Happy

Rješenje je [tex]\frac{\pi}{4}[/tex] ako ikoga zanima Very Happy

Zadnja promjena: quark; 18:05 pon, 7. 5. 2012; ukupno mijenjano 2 put/a.

#24: Autor/ica: Studoš,

Postano: 17:41 pon, 7. 5. 2012
—
jel mi može netko riješit 2.19. pod d) http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/analiza/files/ch2_2.pdf

#25: Autor/ica: quark,

Postano: 17:58 pon, 7. 5. 2012
—

Studoš (napisa):

jel mi može netko riješit 2.19. pod d) http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/analiza/files/ch2_2.pdf

Parcijalno deriviraj - primijeti da ti je [tex](\cos^{2}(x))^{-1}[/tex] derivacija od [tex]\tan(x)[/tex]

#26: Autor/ica: spam,

Postano: 16:23 uto, 8. 5. 2012
—
http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/analiza/files/ch2_1.pdf

trebao bih pomoć oko 2.8. pod a), ne znam šta trebam izlućit u brojnik (koje granice integrala) jer ne vidim za koje ξ je f(ξ) definirana

hvala!

#27: Autor/ica: anamarie,

Postano: 17:07 uto, 8. 5. 2012
—

spam (napisa):

http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/analiza/files/ch2_1.pdf

trebao bih pomoć oko 2.8. pod a), ne znam šta trebam izlućit u brojnik (koje granice integrala) jer ne vidim za koje ξ je f(ξ) definirana

hvala!

možeš dodati u ovaj limes još
[tex] \frac {2n} {n^2} [/tex] (neće se limes promijeniti) i izvučeš van [tex] \frac{1}{n} [/tex]
pa imaš funkciju f:[0,2] →R f(x)=x s obzirom na n-tu ekvidistantnu subdiviziju segmenta [0,2]:

[tex]x_0=0<x_1=\frac{1}{n}<....<x_n=\frac{2n}{n} [/tex]

#28: Autor/ica: dalmatinčica,

Postano: 20:24 uto, 8. 5. 2012
—
http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/analiza/files/ch2_6.pdf
kako izračunati 2.59 c) ???

#29: Autor/ica: Zenon, Lokacija: [tex]\pm\infty[/tex]

Postano: 21:03 uto, 8. 5. 2012
—

anamarie (napisa):

spam (napisa):

Asistent Kovač je ponudio ovo rješenje:
[dtex]\lim_{n\to\infty}\left[\frac{1}{n^2}+\frac{2}{n^2}+\ldots +\frac{2n-1}{n^2}\right]=\lim_{n\to\infty}\frac{1+2+\dots +2n-1}{n^2}=\{\text{suma aritmetickog niza}\}=\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{(2n-1)\cdot 2n}{2}}{n^2}=\lim_{n\to\infty}2-\frac 1n=2[/dtex]

+ anamarie tvoja ideja nije dobra jer, ako promatramo funkciju na segmentu [tex][a,b][/tex], vani nam mora biti [tex]\frac{b-a}{n}[/tex], što bi u tvom slučaju bilo [tex]\frac 2n[/tex], a ti si izvukla [tex]\frac 1n[/tex].
Piše u materijalima da je integralna suma oblika [tex]\displaystyle \frac{b-a}{n}\sum_{i=1}^n f(\xi _{n,i})[/tex].

#30: Autor/ica: matkec,

Postano: 13:51 pet, 11. 5. 2012
—

student_92 (napisa):

Pozdrav, molio bih pomoc oko [dtex]\int_0^1\frac {x^3} {x^6+2x^3+1}dx[/dtex]

Kao što je rekao Zenon, može se brute-forceom, ali mislim da imam nešto što malkice skraćuje posao:[dtex]\int \frac {x^3} {x^6+2x^3+1} dx=\frac{-1}{3}\int \frac {-3 x^3} {(x^3+1)^2} dx= \begin{bmatrix}\text{ } \text{ } u=x \text{ } \text{ } \text{ } \text{ } \text{ } \text{ } \text{ } \text{ } \text{ } \text{ } \text{ } \text{ } \text{ } \text{ } \text{ } \text{ } du=dx \\ dv=\frac{-3 x^2} {(x^3+1)^2}dx \text{ } \text{ } v=\frac{1}{x^3+1}\end{bmatrix}= \frac{-1}{3}\frac{x}{x^3+1} + \frac{1}{3} \int \frac{1}{x^3+1}dx[/dtex]

Sad ovako ne trebamo računati [tex]\int \frac {1} {(x^3+1)^2} dx [/tex], ali nam svejedno ostaje onaj zadnji razlomak, koji mislim da se može integrirati preko parcijalnih razlomaka u konačno mnogo vremena. Smile

#31: Autor/ica: Zenon, Lokacija: [tex]\pm\infty[/tex]

Postano: 22:41 pet, 11. 5. 2012
—
Taman sam ja to mislio napisati, kad ono matkec mi uzeo riječi iz usta Laughing

Šalu na stranu, hvala na rješenju. Već sam zamrzio dotični integral i integriranje integrala kojeg si ti baš uspio izbjeći. Green stars

#32: Autor/ica: Zenon, Lokacija: [tex]\pm\infty[/tex]

Postano: 22:48 uto, 15. 5. 2012
—
Pozdrav svima, koliko vas ima. Evo, imam problema s čak jednim limesom pa bih molio pomoć Razz

[dtex]\lim_{n\to\infty}\frac{1^{\alpha}+2^{\alpha}+\ldots +n^{\alpha}}{n^{\alpha +1}}, \ \alpha \geq 0[/dtex]

Kao i uvijek, unaprijed se zahvaljujem!!! Happy

#33: Autor/ica: Tomislav,

Postano: 0:38 sri, 16. 5. 2012
—
Moze se rijesiti integralnim sumama (pogledaj si http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/analiza/files/ch2_1.pdf) ili koristenjem binomnog teorema npr.

#34: Autor/ica: Zenon, Lokacija: [tex]\pm\infty[/tex]

Postano: 0:48 sri, 16. 5. 2012
—
Znam da se može riješiti integralnim sumama, to i je ideja zadatka, ali ne znam kako Razz

Svejedno hvala Smile

Usput da ubacim i integral koji mi baš nije rješiv Razz

Rješenje koje Wolfram Alpha izbacuje je isuvše smješno + nema show steps Laughing

[dtex]\int \frac{d\!x}{(x^3+x+1)^3}[/dtex]

Unaprijed hvala za oba zadatka! Thank you

EDIT: Ne treba mi integralna suma, zapravo sam je već bio riješio, ali sada, kada sam je rješavao ponovo za prijateljicu, sam se malo zbunio. Svejedno hvala.

EDIT 2: Evo još jednog integrala kojeg ne uspjevam riješiti, pa bih bio jako zahvalan za pomoć: [dtex]\int \frac{x^4-1}{x(x^4-5)(x^5+5x+1)}d\!x[/dtex]

#35: Autor/ica: vjekovac,

Postano: 21:34 sri, 16. 5. 2012
—

Zenon (napisa):

Pozdrav svima, koliko vas ima. Evo, imam problema s čak jednim limesom pa bih molio pomoć Razz

[dtex]\lim_{n\to\infty}\frac{1^{\alpha}+2^{\alpha}+\ldots +n^{\alpha}}{n^{\alpha +1}}, \ \alpha \geq 0[/dtex]
Znam da se može riješiti integralnim sumama, to i je ideja zadatka, ali ne znam kako Razz

Primijetite da se razlomak može zapisati [tex]\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}f(\frac{k}{n})[/tex] za funkciju [tex]f(x)=x^\alpha[/tex]. Te integralne sume konvergiraju prema [tex]\int_{0}^{1}f(x)dx[/tex] i sad lako izračunate taj integral.

Za ove gornje integrale sam malo skeptičan da su odnekud dobro prepisani jer su korijeni faktora u nazivnicima pregrozni brojevi, no to naravno ništa ne mora značiti.

EDIT: Da možda ovaj drugi integral ne glasi [tex]\int \frac{x^4-1}{x(x^4-5)(x^5-5x+1)}d\!x[/tex]? U tom slučaju bih preporučio supstituciju [tex]t=x^5-5x[/tex].

EDIT2: Dobro, onda uzmimo da je u zadatku 2.35.(c) štamparska greška (poprilično sam siguran u to) i da treba glasiti ovako kako sam napisao.

Zadnja promjena: vjekovac; 21:52 sri, 16. 5. 2012; ukupno mijenjano 2 put/a.

#36: Autor/ica: Zenon, Lokacija: [tex]\pm\infty[/tex]

Postano: 21:46 sri, 16. 5. 2012
—
Zapravo, to ne bi bilo ništa čudno.
Prepisao sam te zadatke iz materijala sa stranice, a u tim materijalima se zna pojaviti zadatak koji je ili krivo zadan ili je zalutao i mi ga još ne znamo riješiti. Inače, oba zadatka su iz materijala "Integrali racionalnih funkcija".

Hvala! Thank you

#37: Autor/ica: Zenon, Lokacija: [tex]\pm\infty[/tex]

Postano: 18:04 uto, 22. 5. 2012
—
Molio bih pomoć oko dva integrala.
Prvi glasi [dtex]\int \ln(\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x})d\!x,[/dtex] a drugi je [dtex]\int_0 ^{2\pi}\frac{d\!x}{\sin^4 x+\cos^4 x}.[/dtex]

Unaprijed hvala! Thank you

#38: Autor/ica: Shaman,

Postano: 19:22 uto, 22. 5. 2012
—
ovaj s ln-om rijesis pomocu paricijalne integracije uzmes da ti je u=cijeli izraz a dv=dx, ako sam dobro izracunao dobio sam da je du=(1-(1-x^2)^0.5)dx a v=x pa je integral koji dobijes lagano rijesiti pomocu aditivosti i supstitucije.

ovaj sa sinusima i kosinusima nisam skroz siguran, prvo podijelis s cos^4(x), u nazivniku imas tg^4(x)+1 i stavis t=tg(x) dt=1/cos^2(x)dx pa ti u brojniku ostane 1/cos^2(x)=1+tg^(x).
Ono sto nisam siguran da vrijedi 4*integral od 0 do pi/2 = pocetnom integralu, onda bi integral kojeg dobijes bio 4*lim(integral(od 0 do B) od (1+t^2)/(t^4+1)) kada B ide u beskonacno.
nazivnik napises (t^2+1)^2-2*t^2 to sada napises kao razliku kvadrata i rastavis na parcijalne razlomke.
nakon toga nekakvim dodavanjima/oduzimanjima i nadopunjavanjem do potpunog kvadrata mozes to rijesiti.

#39: Autor/ica: quark,

Postano: 19:22 uto, 22. 5. 2012
—
U prvom integralu parcijalno integriraj:

...

U drugom koristi univerzalnu supstituciju Razz

; zezam se, iskoristi da je nazivnik jednak:

Zadnja promjena: quark; 19:24 uto, 22. 5. 2012; ukupno mijenjano 1 put.

#40: Autor/ica: Shaman,

Postano: 19:23 uto, 22. 5. 2012
—
kada B tezi u pi/2 *

#41: Autor/ica: quark,

Postano: 19:28 uto, 22. 5. 2012
—

Shaman (napisa):

ovaj sa sinusima i kosinusima nisam skroz siguran, prvo podijelis s cos^4(x), u nazivniku imas tg^4(x)+1 i stavis t=tg(x) dt=1/cos^2(x)dx pa ti u brojniku ostane 1/cos^2(x)=1+tg^(x).
Ono sto nisam siguran da vrijedi 4*integral od 0 do pi/2 = pocetnom integralu, onda bi integral kojeg dobijes bio 4*lim(integral(od 0 do B) od (1+t^2)/(t^4+1)) kada B ide u beskonacno.
nazivnik napises (t^2+1)^2-2*t^2 to sada napises kao razliku kvadrata i rastavis na parcijalne razlomke.
nakon toga nekakvim dodavanjima/oduzimanjima i nadopunjavanjem do potpunog kvadrata mozes to rijesiti.

Kako si se ti riješio tu kosinusa? Ako izlučiš u nazivniku, supstitucijom riješiš se samo [tex]\cos^2(x)[/tex], ostane ti još toliko?

#42: Autor/ica: Shaman,

Postano: 19:29 uto, 22. 5. 2012
—
1/cos^2(x)=1+tg^2(x)

#43: Autor/ica: quark,

Postano: 19:34 uto, 22. 5. 2012
—

Shaman (napisa):

1/cos^2(x)=1+tg^2(x)

Moje isprike, zanemarih da je recipročno Embarassed

#44: Autor/ica: malalodacha,

Postano: 21:33 uto, 22. 5. 2012
—
može netko riješit suma od 1 do beskonačno (4n+3) / 5^n ? traži se konačna suma tog reda

#45: Autor/ica: quark,

Postano: 22:21 uto, 22. 5. 2012
—

malalodacha (napisa):

može netko riješit suma od 1 do beskonačno (4n+3) / 5^n ? traži se konačna suma tog reda

Za početak, po D'Alembertovu kriteriju suma konvergira.
Sad želiš iskoristiti Taylorove redove i svesti sume na funkcije.
U ovom slučaju, trebaš iskoristiti sumu geometrijskog reda; rastavimo na dvije sume:

Samo, geometrijski red ide od 0 (to lagano riješiš manipulacijom n-a), ali veći problem, ova prva suma ne odgovara pa moraš izvesti formulu za:

, naravno [tex]x=\frac{1}{3}[/tex].

To pokušaj sama derivirajući gornji izraz i onda množeći x-om Wink

Spoiler [hidden; click to show]:

#46: Autor/ica: malalodacha,

Postano: 22:47 uto, 22. 5. 2012
—
dobro sam mislio dakle, i x je 1/5 Smile

Added after 3 minutes:

http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/analiza/kolokviji/ma2-1112-int.pdf može 4. zadatak iz dijela na ploči, onaj sa xcosx -sinx u brojniku? treba mi neki hint za početak, a wolfram neće

#47: Autor/ica: Shaman,

Postano: 23:19 uto, 22. 5. 2012
—

malalodacha (napisa):

dobro sam mislio dakle, i x je 1/5 Smile

u brojniku dodaj x i -x pa rastavi na 2 integrala(I=I(1)+I(2))
I(1)= integral od 1/(x-sin(x))
I(2)=integral od (x*cos(x)-x)/(x-sin(x))^2, izluci x u brojniku i parcijalno integriraj u=x v=integral od od ostatka kojeg mozes lagano supstitucijom rijesiti, dobije se da je I(2)=x/(x-sinx)+I(1) sto uvristi u I=I(1)-I(2) i konacno rjesenje je x/(x-sinx) +c

Added after 1 minutes:

I(2)=-x/(x-sinx)+I(1) *

#48: Autor/ica: dalmatinčica,

Postano: 18:43 sri, 23. 5. 2012
—
http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/analiza/kol/ma2-0708-kol2.pdf
može li netko pomoći oko 2. a) 2. ili 4. grupa

hvala

#49: Autor/ica: Shaman,

Postano: 20:51 sri, 23. 5. 2012
—
1. arcsin(x)= pi/2-arccos(x), t=arccos(x)
2. -t+pi/2=z

1. raspises kotangens, t=sin(x)
2. v=(1-t^3)^(1/2), dobije se -2/3* integral od dv/(1-v^2)
3. parcijalni razlomci

rijesavas po definiciji nepravog integrala, samo pazi na granice

#50: Autor/ica: dalmatinčica,

Postano: 21:15 sri, 23. 5. 2012
—
a dio sa isitajte konvergenciju?
je li tu dovoljno izračunati nepravi integral, pa ako je konačan reći da stoga konvergira ili moram to posebno pokazati?
ako da, kako?

#51: Autor/ica: 5_ra,

Postano: 11:53 pet, 25. 5. 2012
—
http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/analiza/kol/ma2-0708-kol2.pdf

moze netko rec kako bi isao 2.a u c grupi?
hvala unaprijed

#52: Autor/ica: Zenon, Lokacija: [tex]\pm\infty[/tex]

Postano: 22:58 pet, 1. 6. 2012
—
Molio bih pomoć oko ispitivanja konvergencije nepravog integrala. Čak mislim da sam ga jednom i rješio, ali sada sam totalno isključen :S
[dtex]\int_e ^{+\infty}\frac{d\!x}{\sqrt{1+x}\ln x}[/dtex]
Unaprijed hvala! Thank you

#53: Autor/ica: malalodacha,

Postano: 2:08 sub, 2. 6. 2012
—
http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/analiza/kol/ma2-0506-kol2.pdf može 4.a) iz grupa C i D?

#54: Autor/ica: student_92,

Postano: 11:16 sub, 2. 6. 2012
—

dalmatinčica (napisa):

je li tu dovoljno izračunati nepravi integral, pa ako je konačan reći da stoga konvergira ili moram to posebno pokazati?
ako da, kako?

I mene to zanima. Ako netko zna, bilo bi lijepo od njega da odgovori. Dakle zadatak 2.a) iz druge grupe sa http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/analiza/kol/ma2-0708-kol2.pdf

#55: Autor/ica: anamarie,

Postano: 11:45 sub, 2. 6. 2012
—

student_92 (napisa):

dalmatinčica (napisa):

je li tu dovoljno izračunati nepravi integral, pa ako je konačan reći da stoga konvergira ili moram to posebno pokazati?
ako da, kako?

I mene to zanima. Ako netko zna, bilo bi lijepo od njega da odgovori. Dakle zadatak 2.a) iz druge grupe sa http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/analiza/kol/ma2-0708-kol2.pdf

dovoljno je izračunati nepravi integral jer već time dobiješ da li kovergira ili ne..
prvo idi parcijalnom integracijom,staviš u=arccosx,a
[tex] dv=\frac{2}{2\sqrt{(1-x^2)arcsinx}} [/tex] pa je

[tex] v=2\sqrt{arcsinx} [/tex]
pa kasnije supstucijom t=arcsinx

#56: Autor/ica: student_92,

Postano: 12:22 sub, 2. 6. 2012
—

anamarie (napisa):

dovoljno je izračunati nepravi integral jer već time dobiješ da li kovergira ili ne..prvo idi parcijalnom integracijom,staviš u=arccosx,a
[tex] dv=\frac{2}{2\sqrt{(1-x^2)arcsinx}} [/tex] pa je
[tex] v=2\sqrt{arcsinx} [/tex]
pa kasnije supstucijom t=arcsinx

Ja sam u međuvremenu dobio ovakav odgovor, citiram:
[tex]\frac{arccos(x)}{\sqrt{(1-x^2)arcsin(x)}} \leq \frac{arccos(x)}{\sqrt{(1-x^2)x}} \leq \frac{\pi}{\sqrt{x-x^3}} \leq \frac{\pi}{\sqrt{x}}[/tex]
Prva nejednakost je iz činjenice da je [tex]sin(x) \leq x[/tex] za [tex]x[/tex]-eve nešto veće od [tex]0[/tex]. Druga je zbog slike funkcije [tex]arccos[/tex].

Uglavnom, s obzirom na tekst zadatka čini mi se da najprije treba provesti diskusiju o konvergenciji pa tek onda računati (ako konvergira). Neka me netko ispravi ako krivo mislim.

#57: Autor/ica: Vishykc, Lokacija: Zagreb

Postano: 14:35 sub, 2. 6. 2012
—
Molim pomoć oko 2.45 b) Ne čini se težak, ali..
http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/analiza/files/ch2_5.pdf

#58: Autor/ica: PermutiranoPrase,

Postano: 14:58 sub, 2. 6. 2012
—
Rastaviš [tex]tgx = \frac{\sin x}{\cos x} = \sin x \cos ^{-1} x[/tex], pa uzmeš dalje radiš po smjernicama za rješavanje integrala od [tex]\sin^n x \cos ^m x[/tex]. Smile

#59: Autor/ica: Shaman,

Postano: 16:33 sub, 2. 6. 2012
—

Vishykc (napisa):

Molim pomoć oko 2.45 b) Ne čini se težak, ali..
http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/analiza/files/ch2_5.pdf

kad imas tg na neku potenciju dobra metoda je staviti t=tg(x), iz toga slijedi da je arctg(t)=x a a dx=dt/(1+t^2), pa u konkretnom zadatku imas t^5/(1+t^2) pa sad to podijelis i nesto dobis onda...

#60: Autor/ica: anamarie,

Postano: 17:18 sub, 2. 6. 2012
—

student_92 (napisa):

anamarie (napisa):

dovoljno je izračunati nepravi integral jer već time dobiješ da li kovergira ili ne..prvo idi parcijalnom integracijom,staviš u=arccosx,a
[tex] dv=\frac{2}{2\sqrt{(1-x^2)arcsinx}} [/tex] pa je
[tex] v=2\sqrt{arcsinx} [/tex]
pa kasnije supstucijom t=arcsinx

u pravu si,ovdje je baš naglašeno da treba ispitati konvergenciju prije računanja,ali ako nije naglašeno onda je dovoljno izračunati

#61: Autor/ica: vjekovac,

Postano: 17:46 sub, 2. 6. 2012
—

Zenon (napisa):

Molio bih pomoć oko ispitivanja konvergencije nepravog integrala. Čak mislim da sam ga jednom i rješio, ali sada sam totalno isključen :S
[dtex]\int_e ^{+\infty}\frac{d\!x}{\sqrt{1+x}\ln x}[/dtex]
Unaprijed hvala! Thank you

Naprosto za dovoljno velike x vrijedi [tex]\sqrt{1+x}\leq x[/tex].
Zato možete integral ocijeniti odozdo s
[tex]\int_e ^{+\infty}\frac{d\!x}{x\ln x}[/tex],
a za taj integral se vidi da divergira, naprosto supstitucijom logaritma i računanjem.

#62: Autor/ica: Zenon, Lokacija: [tex]\pm\infty[/tex]

Postano: 17:52 sub, 2. 6. 2012
—
Najljepša hvala! Happy

#63: Autor/ica: malalodacha,

Postano: 20:28 sub, 2. 6. 2012
—
http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/analiza/kol/ma2-0708-kol2.pdf jel bi mogao netko riješiti 2.a iz B grupe? PLIZZZ

#64: Autor/ica: Zenon, Lokacija: [tex]\pm\infty[/tex]

Postano: 20:31 sub, 2. 6. 2012
—

malalodacha (napisa):

http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/analiza/kol/ma2-0708-kol2.pdf jel bi mogao netko riješiti 2.a iz B grupe? PLIZZZ

Mislim da sam to već negdje vidio na forumu pa potraži...

#65: Autor/ica: matkec,

Postano: 21:46 sub, 2. 6. 2012
—
Ne znam je li dotično pitanje već bilo postavljeno, ali svejedno postavljam.

Hoće li na kolokviju biti dopušteno imati formule za površinu, duljinu luka, volumen i oplošje?

#66: Autor/ica: sasha.f,

Postano: 21:47 sub, 2. 6. 2012
—
može pomoć oko ovog integrala: arcsinx/(x)^2?
hvala Smile

#67: Autor/ica: malalodacha,

Postano: 21:48 sub, 2. 6. 2012
—
ne, ne smije se imati formule, ali ako će biti površina, bit će onako jednostavna kao prošlih godina. http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/analiza/kol/ma2-0708-kol2.pdf jel može 2.a iz C grupe? tog nisam našao na forumu, a ne znam kako početi

#68: Autor/ica: Lux86,

Postano: 21:49 sub, 2. 6. 2012
—

matkec (napisa):

Ne znam je li dotično pitanje već bilo postavljeno, ali svejedno postavljam.

Hoće li na kolokviju biti dopušteno imati formule za površinu, duljinu luka, volumen i oplošje?

nama je asistentica Lubura rekla da neće, ali da je vrlo mala vjerojatnost da se pojavi zadatak u kojem nam te formule trebaju.

#69: Autor/ica: anamarie,

Postano: 21:50 sub, 2. 6. 2012
—

matkec (napisa):

Ne znam je li dotično pitanje već bilo postavljeno, ali svejedno postavljam.

Hoće li na kolokviju biti dopušteno imati formule za površinu, duljinu luka, volumen i oplošje?

ne,jer neće ni biti takvi zadaci,u kojima će trebati neka formula

#70: Autor/ica: Zenon, Lokacija: [tex]\pm\infty[/tex]

Postano: 22:01 sub, 2. 6. 2012
—
Asistentica Lubura je rekla da formule nisu dozvoljene ( nema ih na službenim formula, ne vidim odakle uopće ideja da onda jesu, ali dobro ), ali ako bude takav zadatak da formula bude potrebna, ona će biti u sklopu zadatka.

#71: Autor/ica: malalodacha,

Postano: 22:58 sub, 2. 6. 2012
—
3 odgovora na matkecovo pitanje, nijedan na moje Sad

#72: Autor/ica: Zenon, Lokacija: [tex]\pm\infty[/tex]

Postano: 23:26 sub, 2. 6. 2012
—

malalodacha (napisa):

3 odgovora na matkecovo pitanje, nijedan na moje Sad

Evo ti Wolfram Alpha i idi na Show Steps Very Happy

#73: Autor/ica: malalodacha,

Postano: 2:41 ned, 3. 6. 2012
—
napravio sam to već i ne razumijem kako doći do ovih nazivnika u razlomcima kod parcijalne integracije

#74: Autor/ica: quark,

Postano: 2:58 ned, 3. 6. 2012
—

malalodacha (napisa):

napravio sam to već i ne razumijem kako doći do ovih nazivnika u razlomcima kod parcijalne integracije

Nultočke [tex]x^6+1[/tex] su između ostalog i [tex]\pm i[/tex]; dakle, dijeli ga polinom [tex](x-i)(x+i)=x^2+1[/tex].

#75: Autor/ica: Zenon, Lokacija: [tex]\pm\infty[/tex]

Postano: 10:39 ned, 3. 6. 2012
—
[dtex]x^6+1=(x^2)^3+1^3=(x^2+1)(x^4-x^2+1)[/dtex]

#76: Autor/ica: student_92,

Postano: 14:08 ned, 3. 6. 2012
—
Zna li netko riješiti zadatak 2.57 na str. 76 sa http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/analiza/files/ch2_6.pdf

#77: Autor/ica: jema,

Postano: 15:11 ned, 3. 6. 2012
—
http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/analiza/kol/ma2-0708-kol2.pdf prva grupa, 2.a) zadatak. kako ispitat konvergenciju? znam kad imam sam arctg(nesto), onda se gleda lim arctg(nesto)/nesto pa to dodje 'na lijepo', al s ovakvim neznam sta bi... hvala Smile

#78: Autor/ica: student_92,

Postano: 15:20 ned, 3. 6. 2012
—

jema (napisa):

http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/analiza/kol/ma2-0708-kol2.pdf prva grupa, 2.a) zadatak. kako ispitat konvergenciju? znam kad imam sam arctg(nesto), onda se gleda lim arctg(nesto)/nesto pa to dodje 'na lijepo', al s ovakvim neznam sta bi... hvala Smile

arctg ograniči odozgo s pi/2, a znaš da je (1+x)^2 > x^2

#79: Autor/ica: jema,

Postano: 15:35 ned, 3. 6. 2012
—
e hvalaa puno... super Smile

jos bih molila pod b) taj drugi da netko rijesi...

#80: Autor/ica: marička,

Postano: 17:07 ned, 3. 6. 2012
—
imam pitanje u vezi nepravih integrala koji su izjednačeni običnim intergralima kao naprimjer 2.zadatak pod a) http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/analiza/kolokviji/ma2-1011-kol2.pdf

zanima me računa li se i tu limes i ako da,kuda teži?? uglavnom može li mi netko obajsniti kak se takvih integrali rješavaju

i još jedno pitanjce: jel se mozda ista govorilo na vjezbama oce li biti isptivanje konvergencije nepravih integrala ili ce kao i na prijasnjima biti samo izracunati nepravi integral??

hvala

Zadnja promjena: marička; 17:14 ned, 3. 6. 2012; ukupno mijenjano 1 put.

#81: Autor/ica: Zenon, Lokacija: [tex]\pm\infty[/tex]

Postano: 17:09 ned, 3. 6. 2012
—
Teži u onu točku koja nije u domeni. Obavezno prolistaj skriptu, tamo imaš par primjera rješenih i fino objašnjeno.

#82: Autor/ica: marička,

Postano: 17:25 ned, 3. 6. 2012
—
skriptu od vjezbi ili od guljaša??? jer u skripti od vjezbi(koliko sam ja gledala) nema

cekaj znaci u drugoj grupi kol.2010/2011 limes tezi u 0??? jer sinx>0 za x element <0,pi> a buduci da mi imamo zadan integral od 0 do pi/2 znaci da limes tezi u 0???

samo mi reci dal sam dobro zakljucila???

i da,hvala unaprijed

Zadnja promjena: marička; 17:29 ned, 3. 6. 2012; ukupno mijenjano 1 put.

#83: Autor/ica: Zenon, Lokacija: [tex]\pm\infty[/tex]

Postano: 17:27 ned, 3. 6. 2012
—
Vježbi Very Happy

Ima, kako ne.

#84: Autor/ica: marička,

Postano: 17:30 ned, 3. 6. 2012
—
cekaj znaci u drugoj grupi kol.2010/2011 limes tezi u 0??? jer sinx>0 za x element <0,pi> a buduci da mi imamo zadan integral od 0 do pi/2 znaci da limes tezi u 0???

samo mi reci dal sam dobro zakljucila???

i da,hvala unaprijed

#85: Autor/ica: Zenon, Lokacija: [tex]\pm\infty[/tex]

Postano: 17:36 ned, 3. 6. 2012
—
Promatraš limes kad [tex]\xi[/tex] teži u nula jer za nulu u nazivniku imaš [tex]\sqrt{\sin 0}=\sqrt 0=0[/tex], a s nulom ne smijemo dijeliti.

#86: Autor/ica: dalmatinčica,

Postano: 17:40 ned, 3. 6. 2012
—
http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/analiza/kolokviji/ma2-1112-int.pdf
može nekakva uputa za 7. iz ovog prvog dijela (x na x)

#87: Autor/ica: marička,

Postano: 17:46 ned, 3. 6. 2012
—
hvala zenon

#88: Autor/ica: Zenon, Lokacija: [tex]\pm\infty[/tex]

Postano: 17:47 ned, 3. 6. 2012
—
Tu nije ideja bila integrirati nego procijeniti.
Sjeti se kako smo integral od a do b povezali s površinom. U nuli nije definirana, ali za x=1 cijeli izraz je 1, pa kako ideš u nulu taj izraz pada do jednog dijela, pa od tog dijela raste do x=0 pa je onda vrijednost od ponuđenih ona malo manja od 1.

#89: Autor/ica: dalmatinčica,

Postano: 17:52 ned, 3. 6. 2012
—

Zenon (napisa):

Tu nije ideja bila integrirati nego procijeniti.
Sjeti se kako smo integral od a do b povezali s površinom. U nuli nije definirana, ali za x=1 cijeli izraz je 1, pa kako ideš u nulu taj izraz pada do jednog dijela, pa od tog dijela raste do x=0 pa je onda vrijednost od ponuđenih ona malo manja od 1.

zanimljivo
Smile

hvala

#90: Autor/ica: Froggy,

Postano: 22:45 čet, 22. 11. 2012
—
Jel neko zna kako rjesit zadatak 15?
http://www.pmfst.hr/~jperic/DomacaZadaca1.pdf

Probala sam s univerzalnom supstitucijom, ali u nazivniku mi ispada neki polinom 4.stupnja koji se ne moze faktorizirati.

#91: Autor/ica: goranm,

Postano: 0:51 pet, 23. 11. 2012
—

Froggy (napisa):

Jel neko zna kako rjesit zadatak 15?
http://www.pmfst.hr/~jperic/DomacaZadaca1.pdf

Probala sam s univerzalnom supstitucijom, ali u nazivniku mi ispada neki polinom 4.stupnja koji se ne moze faktorizirati.

Podijeli brojnik i nazivnik s [tex]\cos^2x[/tex]. Nakon prikladne supstitucije, u brojniku ce biti 1, a u nazivniku kvadratni polinom. Nakon toga, ovisno o koeficijentima polinoma, ili faktoriziras ili nadopunjujes do kvadrata.

#92: Autor/ica: Froggy,

Postano: 17:49 ned, 25. 11. 2012
—
Joj ne znam kako se toga nisam sama sjetila. Fala puno!

#93: Autor/ica: tiborr,

Postano: 16:34 pet, 3. 5. 2013
—
kako se riješava ovaj integral?
(x^2)*arccosx

#94: Autor/ica: goranm,

Postano: 19:50 pet, 3. 5. 2013
—
Prvo parcijalnom integracijom, a onda supstitucijom. Jednu od funkcija pod integralom lako mozes integrirati, a drugu mozes lako derivirati (ali ne lako i integrirati). Nakon toga ostati ces s integralom oblika [tex]\int\frac{P(x)}{\sqrt{Q(x)}}\text{d}x,[/tex] gdje su P i Q polinomi.

Ili, ako ti je lakse, prvo integriraj [tex]\int\arccos{x}\text{d}x[/tex] i onda opet parcijalnom integracijom (ovaj put u i v biras obratno) dovedi do rjesenja.

#95: Autor/ica: room,

Postano: 20:49 pet, 23. 5. 2014
—
Može li mi netko pomoći sa zadatkom iz skripte "Neodređeni i određeni integral", 2.6 pod d): http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/analiza/files/ch2_1.pdf

[dtex]\int_0^{100}\lfloor{x}\rfloor xdx[/dtex]

Također 2.8. b) iz iste skriptice (stvarno mi se ne da prepisivati cijeli zadatak u latexu).
Sredila sam preko integralnih suma i došla sam do: [dtex]\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{2+x-x^2}}[/dtex]

Kako sad to integrirati?

#96: Autor/ica: pllook,

Postano: 10:41 sub, 24. 5. 2014
—

room (napisa):

Može li mi netko pomoći sa zadatkom iz skripte "Neodređeni i određeni integral", 2.6 pod d): http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/analiza/files/ch2_1.pdf

[dtex]\int_0^{100}\lfloor{x}\rfloor xdx[/dtex]

Također 2.8. b) iz iste skriptice (stvarno mi se ne da prepisivati cijeli zadatak u latexu).
Sredila sam preko integralnih suma i došla sam do: [dtex]\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{2+x-x^2}}[/dtex]

Kako sad to integrirati?

2.6. d) ja sam to raspisala kao sumu integrala od 0 do 1, od 1 do 2,.., od 99 do 100, za prvi int. će ti najveće cijelo biti 0,za drugi 1 itd. sad to raspišeš i na kraju dobiješ 2-1/2+9-4+24-27/2+50-32+...495000-970299/2
e sad,koliko bi to trebalo biti,nemam pojma Razz

2.8. b) ovo pod korijenom nadopunis do potpunog kvadrata: -(x^2 -2*1/2 * x +(1/2)^2) + (3/2)^2 = (3/2)^2 - (x-1/2)^2
sad supstiuiraš t=x-1/2 i imaš tablični integral,na kraju dobivaš rj: 2 * arc sin (1/3)

#97: Autor/ica: room,

Postano: 1:05 uto, 27. 5. 2014
—
Hvala, drugi sam shvatila, lagano je. Very Happy

Opet ista skriptica: http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/analiza/files/ch2_1.pdf

2.9. a) i 2.10. ne znam kako bih.
~~A za 2.7. b) i~~ 2.9. b) bi mi trebala provjera rješenja, ako je netko riješio. Smile

Edit: 2.7. b) sam provjerila s kolegicom.

#98: Autor/ica: Shirohige,

Postano: 19:14 uto, 27. 5. 2014
—

pllook (napisa):

Ja kad sam to sredio sam dobio:

[dtex]-\frac{1^2 + 2^2 + ... + 99^2}{2} + 99\frac{100^2}{2} = 330825[/dtex]

room (napisa):

Hvala, drugi sam shvatila, lagano je. Very Happy

Edit: 2.7. b) sam provjerila s kolegicom.

2.9. a)

[dtex]\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{...} = e^{\lim_{n\to\infty}\ln \sqrt[n]{...} } = e^{\lim_{n\to\infty}\ln ( ... )^{1/n} } = e^{\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}\ln ( ... ) } \\
\ln (xy) = \ln x + \ln y
[/dtex]

2.9. b)

[dtex]\arctan3 - \arctan2[/dtex]

2.10.

Citat:

I think what you want to see is a geometric sum:

[dtex]\sum_{k=0}^n e^{k/n} = \frac{e^{1+1/n}-1}{e^{1/n}-1} [/dtex]

Use the fact that

[dtex]\lim_{n\to\infty} n \left (e^{1/n}-1 \right ) = 1 [/dtex]

and you are almost home.

#99: Autor/ica: pllook,

Postano: 16:48 uto, 3. 6. 2014
—
može li mi netko pomoći sa ovim zadacima?
2.34. a), 2.35. b) http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/analiza/files/ch2_3.pdf

2.45. c), 2.48. a)
http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/analiza/files/ch2_5.pdf

#100: Autor/ica: room,

Postano: 23:46 sri, 4. 6. 2014
—
Hvala na odgovorima. Smile

pllook, 2.45. c) ne znam ni ja, a ove ostale trebam provjeriti na wolfram alphi ili pokušati još jednom jer nisam imala ideju prvi put. Pa ako dođem do nečeg (i ako netko ne odgovori prije), za vikend napišem. Wink

Mene muči 2.19. d) i 2.20. b) : http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/analiza/files/ch2_2.pdf

2.19.d sam gledala na wolfram alphi step by step i na kraju je došao dio sa nekom ogromnom formulom koja povezuje e i kosinus i koju nikad nismo spominjali. Tako da vjerujem da ima neki drugačiji način, pa ako netko zna.

Ista stvar i 2.20.b s tim da tu nije došla neka formula nego se cijeli postupak rastegao na cijelu stranu bilježnice + došao do dijela gdje wolfram alpha koristi sekans i kosekans, a kraj još nije bio niti blizu pa sam isto odustala od tog rješenja.

(imam još pitanja, ali ne bih baš htjela navaliti odmah sa gomilom zadataka Embarassed

)

EDIT: Ipak još jedno pitanje.

http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/analiza/files/ch2_7.pdf
Zadatak 2.62. je riješen u skriptici, ali nije na vježbama. I nije mi baš jasno kako su ga riješili. Shvatila bih ovaj prvi dio jednakosti koji gleda integral sa granicama -3 do -2, ali ne znam zašto je drugačiji polinom nego zadani. A nastavak jednakosti mi nije jasan zašto je uopće tu i kako smo to gledali.

Ovo je graf u wa: http://www.wolframalpha.com/input/?i=y%3Dx%5E2-x-6%2C+y%3D0%2C

#101: Autor/ica: markann,

Postano: 2:48 čet, 5. 6. 2014
—

room (napisa):

Mene muči 2.19. d) i 2.20. b)

2.19 d) se svodi na obicnu supstituciju [tex]t=arctgx[/tex] i kad se to malo sredi trebalo bi se dobit
[dtex]\int sinte^tdt[/dtex]
2.20 b) ... da. racionalne funkcije su malo zahtjevne za racunanje, ali ideja stvarno nije teska, i uvjek sve ide po istom postupku:
1) svest nazivnik na polinome 1. i 2. stupnja (da to mozemo nam tvrdi teorem iz em1, osim ako nemozemo nac nultocke, onda malo ideje)
2) rastaviti na parcijalne razlomke(jedan od meni najtezih djelova, jednom sam radio matricu da rjesim sustav) i upotrijebiti linearnost integrala
3) [tex]\int \frac{dx}{(Ax+B)^n}[/tex] za integrirati je trivijalno
4) kod kvadratnih polinoma nazivnik [tex]Cx^2+Dx+E[/tex] uvjek normirati prvo (dijeliti sa C) i onda namjestiti gornji polinom [tex]Ax+B[/tex] tako da dio bude derivacija od [tex]x^2+\frac{D}{C}x+\frac{E}{C}[/tex] a ostatak opet prosiriti po linearnosti
tj
[dtex]konstanta*\int \frac{2x+\frac{D}{C}+ostatak}{(x^2+\frac{D}{C}x+\frac{E}{C})^n}dx = konstanta*\int \frac{2x+\frac{D}{C}dx}{(x^2+\frac{D}{C}x+\frac{E}{C})^n} + konstanta*ostatak* \int \frac{dx}{(x^2+\frac{D}{C}x+\frac{E}{C})^n}[/dtex]
5) [tex]\int \frac{2x+\frac{D}{C}dx}{(x^2+\frac{D}{C}x+\frac{E}{C})^n}[/tex] je za integrirati trivijalno
6) sada nazivnik od zadnjeg integrala svedes na potpuni kvadrat (to nam opet garantira teorem jer je diskriminanta manja od 0 il nes nemam pojma) i to normirani u odnosu na konstantu bla bla bla dobijes
[dtex]konstanta*\int \frac{dt}{(t^2+1)^n}[/dtex]
primjer: konkretno u tom 2.20 b) ja sam dobio
[dtex](x^2-x+1)^2(x-1)^2[/dtex] uglavnom, pretpostavimo da sam raspisao sve to i dosao do
[dtex]K \int \frac{dx}{(x^2-x+1)^2} = K \int \frac{dx}{((x-1/2)^2+3/4)^2} = K \int \frac{dt}{(t^2+\frac{3}{4})^2} = K \frac{32}{9\sqrt{3}} \int \frac{ds}{(s^2+1)^2}[/dtex]
7) i pomocu parcijalne integracije dobijes rekurziju, al mislim ni nece ti trebat jer sumnjam da ce u zadacima ikad n biti veci od 2 ili 3..
uglavnom, da ima posla i racunanja, pogotovo meni kojemu je tesko zbrajati karte u beli, ali da to je to!
specijalno, za n=2 [tex]\int \frac{ds}{(s^2+1)^2}[/tex] vrijedi supstitucija [tex]t=arctgs[/tex] i dobijes
[dtex]\int \frac{ds}{(s^2+1)^2} = \int \frac{dt}{tg^2t+1} = \int cos^2t dt = \frac{1}{2} ( \int dt + \int cos2t dt) + C = \frac{1}{2} (arctgs + \frac{s}{1+s^2}) + C[/dtex]
PREKRASNO zar ne?
i onda umjesto s mozes uvrstit svoju prijasnju supstituciju i to je to.. Nadam se da sam barem malo pomogao

#102: Autor/ica: room,

Postano: 20:53 čet, 5. 6. 2014
—
U 2.19. kad dođem do [dtex]\int \frac{tgte^t}{(tg^2t+1)^{1/2})}dx[/dtex] što dalje?

U 2.20. mi nije jasan taj tvoj 4) korak. Znači sredim parcijalne razlomke (užas živi) i onda stanem. Ovi trikovi kasnije sa nadopunjavanjem do kvadrata i supstitucijom da mogu dobiti arctg su mi jasni, ali mi fali taj korak između.

Ugl došla sam do ovog i što sad: [dtex]\frac{1}{9} \int \frac{3-x}{x^2-x+1}dx+\frac{1}{3}\int \frac{x-1}{(x^2-x+1)^2}dx+\frac{1}{9} \int \frac{1}{x+1}dx - \frac{1}{9}\int \frac{1}{(x+1)^2}dx[/dtex]

Zadnja dva si rekao da je trivijalno, a prva dva nisam shvatila što trebam napraviti.

I hvala na trudu i objašnjenju. Smile

#103: Autor/ica: markann,

Postano: 21:42 čet, 5. 6. 2014
—
[dtex]\int \frac{tgte^t}{(tg^2t+1)^{1/2})}dx = \int \frac{\frac{sint}{cost}e^tdt}{\sqrt{\frac{sin^2t}{cos^2t}+1}} = \int \frac{\frac{sint}{cost}e^tdt}{\sqrt{\frac{1}{cos^2t}}} = \int sinte^tdt[/dtex]
(Naravno to bi bilo [tex]|cost|[/tex] ali posto je t element [tex]< -pi/2,pi/2>[/tex] cos je pozitivan)

Rjesit cu ih bez ovih konstanti ispred, da mi ne smetaju jer se zivciram bezveze Sad

[dtex] \int \frac{3-x}{x^2-x+1}dx = -\frac{1}{2} \int \frac{2x-1-5}{x^2-x+1}dx = -\frac{1}{2} \int \frac{2x-1}{x^2-x+1}dx +\frac{5}{2} \int \frac {dx}{x^2-x+1} = -\frac{1}{2}\ln{(x^2-x+1)}+\frac{5}{2}\int \frac{dx}{(x-\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}} = ... [/dtex]
Rekla si da ti je sad jasno
Drugi, SASVIM analogno
Zadnja dva su stvarno lagana:
Opcenito za linearni polinom u nazivniku koji je ujedno i normiran vrijedi
[dtex]\int \frac{dx}{(x+A)^n} = - \frac{1}{(n-1)(x+A)^{n-1}}[/dtex] ako je n razlicit od 1.
Ako je [tex]n=1[/tex]
[dtex]\int \frac{dx}{x+A}= \ln{(x+A)}[/dtex]
Specijalno, za tvoj zadatak
[dtex]\int \frac{dx}{x+1}=\ln{(x+1)}[/dtex]
[dtex]\int \frac{dx}{(x+1)^2}= -\frac{1}{x+1}[/dtex]

#104: Autor/ica: room,

Postano: 14:30 pet, 6. 6. 2014
—
2.19. sam uspjela (napokon) i provjerila s wolframom. Ne znam zašto mi sad na kraju nije palo na pamet napisat tg kao sinus kroz kosinus. Embarassed

Okeej, još samo zadnje pitanje za kraj za taj 2.20 (muka mi je više od ovog zadatka, al ga oću skroz shvatit, pa oprosti na glupim pitanjima Very Happy

markann (napisa):

[dtex]K \int \frac{dx}{(x^2-x+1)^2} = K \int \frac{dx}{((x-1/2)^2+3/4)^2} = K \int \frac{dt}{(t^2+\frac{3}{4})^2} = K \frac{32}{9\sqrt{3}} \int \frac{ds}{(s^2+1)^2}[/dtex]

Kad si tamo gore u prethodnom postu pokazivao kako srediti ovakav integral, kako si ovaj zadnji dio napravio kad dobiješ [dtex]\frac{32}{9\sqrt{3}} \int \frac{ds}{(s^2+1)^2}[/dtex]?

#105: Autor/ica: markann,

Postano: 17:59 pet, 6. 6. 2014
—
Supstitucija t=s*(korjen iz 3)/2 Smile

#106: Autor/ica: room,

Postano: 2:24 sub, 7. 6. 2014
—
Ajme hvala ti puno, napokon sam ga uspjela do kraja i točan je. Very Happy

(dođe mi da plačem od sreće što sam ga napokon dovršila hahaha)

Još uvijek mi ovo objašnjenje treba ako netko zna:

room (napisa):

EDIT: Ipak još jedno pitanje.

http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/analiza/files/ch2_7.pdf
Zadatak 2.62. je riješen u skriptici, ali nije na vježbama. I nije mi baš jasno kako su ga riješili. Shvatila bih ovaj prvi dio jednakosti koji gleda integral sa granicama -3 do -2, ali ne znam zašto je drugačiji polinom nego zadani. A nastavak jednakosti mi nije jasan zašto je uopće tu i kako smo to gledali.

Ovo je graf u wa: http://www.wolframalpha.com/input/?i=y%3Dx%5E2-x-6%2C+y%3D0%2C

I iz ove skriptice 2.35. a) i b): http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/analiza/files/ch2_3.pdf

2.35. a) ne znam kako bi, a 2.35. b) sam došla do jednog dijela pa sam zapela.. Podijelila sam polinome i ono što sam mogla sam integrirala.
[dtex]\frac{x^2}{2}+x+\int \frac{4x^3+4x^2-4x-6}{(x^2-2)^2}dx[/dtex]

I sad sam ovaj integral razdvojila ovako:
[dtex]4\int\frac{x^3}{(x^2-2)^2}dx+4\int\frac{x^2}{(x^2-2)^2}dx-4\int\frac{x}{(x^2-2)^2}dx-6\int\frac{1}{(x^2-2)^2}dx[/dtex]

Drugi i treći integral sam sredila i provjerila s wolfram alphom. No prvi i četvrti me muče. Četvrti ne znam kako bih, a prvi mi se u jednoj stvari razlikuje sa wolframom alphom pa mi recite di sam fulala..
[dtex]4\int\frac{x^3}{(x^2-2)^2}dx= [u=x^2, du=2xdx, dv=\frac{xdx}{(x^2-2)^2}, v=\frac{-1}{2(x^2-2)}] =\frac{-2x^2}{x^2-2}+4\int\frac{xdx}{x^2-2} = \frac{-2x^2}{x^2-2}+4\int\frac{\frac{dt}{2}}{t} = \frac{-2x^2}{x^2-2}+2ln(x^2-2)[/dtex]

I sad wolfram alpha logaritam dobije isto, ali ovo ispred dobije: [dtex]\frac{-4}{x^2-2}[/dtex]

Di je greška? Embarassed

pllook (napisa):

može li mi netko pomoći sa ovim zadacima?
2.34. a), 2.35. b) http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/analiza/files/ch2_3.pdf

2.34. a) imam.

Prvo na parcijalne razlomke razdvojiš, zatim napraviš supstituciju t=arctgx, pa tangense raspišeš kao sin/cos, pa ćeš dobiti cos^2, to napišeš kao [tex]\frac{1+cos2t}{2}[/tex] i cos^4, to napišeš kao [tex]\frac{1}{8}(cos4t+4cos2t+3)[/tex] i onda svaki posebno razdvojiš i integriraš i vratiš nazad iz t u x.

Ako treba neki dio raspisat skroz ili provjerit, reci (sad mi je prekasno bilo da i to sve raspisujem Confused

#107: Autor/ica: Ljubičica,

Postano: 18:16 sub, 7. 6. 2014
—
Zar u 2.19.d) u nazivniku nije ta zagrada na 3/2 (a ne na 1/2) i onda dobijemo integral od

? :))

#108: Autor/ica: markann,

Postano: 20:22 sub, 7. 6. 2014
—
Zad 2.62 ima greske neke, nezz sta je snjim, uglavnom nemoj ga rjesavat hahaha

Za ovaj integral neznam kak bi rjesio pomocu tvog nacina, ali ja bi se drzo "sablone" i samo rastavljo na parcijalne

[dtex] \frac{1}{(x^2-2)^2} = \frac{1}{(x-\sqrt{2})^2(x+\sqrt{2})^2}[/dtex]

Ljubičica (napisa):

Zar u 2.19.d) u nazivniku nije ta zagrada na 3/2 (a ne na 1/2) i onda dobijemo integral od

)

Supstitucija t=arctgx deriviranjem zamjenjuje te 3/2 sa 1/2, tj ostane samo korjen u nazivniku.. Valjda, kolko ja znam xD

#109: Autor/ica: alenand,

Postano: 22:29 sub, 7. 6. 2014
—
Evo, da i ja bacim koji komentar na sve ovo. Isprike zbog ne praćenja foruma. Uglavnom, valjda sam pohvatao ove teže zadatke:

1. ovo što je kolegica već skoro izračunala do kraja. Samo da primijetim, drugi način je još malo dijelit te polinome - koliko je to već moguće. Konkretno, onaj razlomak pod integralom možemo ovako raspisati:
[dtex]\frac{4x^3+4x^2-4x-6}{(x^2-2)^2}=\frac{4x^3-8x+8x+4x^2-8+8-4x-6}{(x^2-2)^2}=\frac{4x(x^2-2)+4(x^2-2)+4x-2}{(x^2-2)^2}=\frac{4x}{x^2-2}+\frac{4}{x^2-2}+\frac{4x}{(x^2-2)^2}+\frac{2}{(x^2-2)^2}[/dtex]

Iako u suštini nije nešto bolje. Iduće se odnosi kako računati integrale poput zadnjeg:

2. Napisat ću dio izvoda kako reducirati sljedeći integral [dtex]\int \frac{1}{(x^2+a^2)^n}dx[/dtex] za n, u pripadni za n-1. Analogno za slične integrale:
[dtex]I_n=\int \frac{1}{(x^2+a^2)^n}dx=\frac{1}{a^2}\int \frac{a^2}{(x^2+a^2)^n}dx=\frac{1}{a^2}\int\frac{a^2+x^2-x^2}{(x^2+a^2)^n}=\frac{1}{a^2}\int\frac{1}{(x^2+a^2)^{n-1}}dx-\frac{1}{a^2}\int\frac{x^2}{(x^2+a^2)^n}dx=I_{n-1}-\frac{1}{a^2}\int\frac{x^2}{(x^2+a^2)^n}dx[/dtex]
I sad je poanta da je ovaj prvi dio upravo traženi integral za n-1, a drugi dio znamo (donekle) parcijalno integrirati. I tako negdje na desnoj strani se pojavi integral [tex]I_n[/tex] , prebaciš ga na drugu stranu itd. Nadam se da su daljni koraci jasni, ne znam kako ostalima, ali naporno je pisati sve te \frac...
Rezultat bi trebala bit sljedeća redukcijska formula:
[dtex]I_n=\frac{1}{2(n-1)a^2}\left(\frac{x}{(x^2+a^2)^{n-1}}+(2n-3)I_{n-1}\right)[/dtex]
U svakom slučaju, za konkretne integrale postaje bolje, samo treba imati na pamet tako neku ideju.

Za primjer uzmimo 2.34a)
[dtex]\int\frac{x^2}{(x^2+1)^3}dx[/dtex]
Ovo već je pogodno za parcijalnu integraciju poput u općenitom gornjem postupku, pa imamo
[dtex]\int\frac{x^2}{(x^2+1)^3}dx=\frac{-1}{4}\frac{x}{(x^2+1)^2}+\frac{1}{4}\int\frac{1}{(x^2+1)^2}dx[/dtex]
I sad se je stvar svela na računanje integrala sličnog gore, za a=1, n=2. Vidimo da parcijalna integracija funkcionira kad je u brojniku x^2, pa probamo ga odnekud stvorit i vidjet što se događa:
[dtex]=\frac{-1}{4}\frac{x}{(x^2+1)^2}+\frac{1}{4}\int\frac{1+x^2-x^2}{(x^2+1)^2}dx=\frac{-1}{4}\frac{x}{(x^2+1)^2}+\frac{1}{4}\int\frac{1}{(x^2+1)}dx+\frac{-1}{4}\int\frac{x^2}{(1+x^2)^2}dx=\frac{-1}{4}\frac{x}{(x^2+1)^2}+\frac{1}{4}\arctan{x}+\frac{-1}{4}\int\frac{x^2}{(1+x^2)^2}dx[/dtex]
A ovaj zadnji integral opet parcijalnom integracijom itd. Tako bi se slično moglo i onaj [dtex]\frac{1}{(x^2-2)^2}=\frac{1}{2}\frac{2-x^2+x^2}{(x^2-2)}[/dtex] i tako dalje. Nadam se da je jasno, ako ne, molim te pitaj me uživo.

3. Ok, samo kratki postupak za ovaj 2.20b) što ga malo pojednostavljuje. Primijetimo da bi ovo bilo lako da je u brojniku [tex]x^2[/tex]. Ustvari toliko bi nam pojednostavnilo stvar da upravo tu ideju možemo iskoristit u parcijalnoj integraciji:

[dtex]\int\frac{x^3}{(x^3+1)^2}dx=-\frac{1}{3}\frac{x}{1+x^3}+\frac{1}{3}\int\frac{1}{x^3+1}dx[/dtex]

Dalje se ovo svakako mora riješavat parcijalnim razlomcima.

4. U ovom integralu je ideja prvo raspisati sin2x, onda supstituirati t^2=tan x (yup, strpljenje s LaTeX mi je na kraju, sorry Ehm?

).
[dtex]\int\frac{\cos x}{\sqrt{\sin2x}}dx=\int\sqrt{\frac{\cos x}{2\sin x}}dx[/dtex]
Stavimo najavljeni t^2=tan x, pa dobivamo:
[dtex]2tdt=\frac{1}{\cos^2x}dx=(1+\tan^2x)dx[/dtex]
No sad, tan x=t^2 ⇒ (tan x)^2= t^4 pa napokon:
[dtex]dx=\frac{2t}{1+t^4}dt[/dtex]
Pa integral postaje:
[dtex]\frac{1}{\sqrt{2}}\int \frac{2}{1+t^4}dt[/dtex]
A to je jedan dosadan integral koji je riješen negdje u skripti, mislim u poglavlju s racionalnim funkcijama. Uglavnom, vrlo dosadno rastavljanje na parcijalne razlomke Ehm?

I napokon samo da primijetim, 2.62. je krivo izračunat, ali inače je trivijalan zadatak, a 2.35.a) nije u suštini težak (rastav na parcijalne razlomke), ali je poprilično nemoguć za čovjeka. U svakom slučaju, ne isplati se računati ga ikako osim s wolframom.

#110: Autor/ica: room,

Postano: 1:35 ned, 8. 6. 2014
—
Hvala na prijedlogu markann, ali bilo mi je bolje po alenandovom, sad ću ubuduće znat sređivat ovakve integrale. Stvarno hvala puno alenand na raspisivanju (i meni je naporno pisat sve to u latexu, sve pet Smile

). Uspjela sam ga dobit isto kao wolfram alpha. Very Happy

I hvala za 2.45. c), ne da mi se dalje to sređivat jer je neki dugačak raspis, ali bitan mi je bio početak.

I prihvatit ću savjet da preskočim 2.35 a) jer je dosadan i da je 2.62. krivi. Wink

Sutra/preksutra se javim s novim zadacima koji mi neće bit jasni, moram još neke opet probat ili provjerit, da ne odustanem odmah. Very Happy

Ljubičica (napisa):

Zar u 2.19.d) u nazivniku nije ta zagrada na 3/2 (a ne na 1/2) i onda dobijemo integral od

)

[dtex]\int \frac{xe^{arctgx}}{(1-x^2)(1+x^2)^{\frac{1}{2}}}dx [/dtex]

Supstitucija: [dtex] [t=arctgx, x=tgt, dt=\frac{1}{1+x^2}dx ]= \int \frac{tgte^t}{(tg^2t+1)^\frac{1}{2}}dt [/dtex]

#111: Autor/ica: Ljubičica,

Postano: 11:11 ned, 8. 6. 2014
—
Ups, markann i room hvala! Very Happy

#112: Autor/ica: Tomy007,

Postano: 13:16 sri, 11. 6. 2014
—
Kako izračunati

#113: Autor/ica: hendrix,

Postano: 13:59 sri, 11. 6. 2014
—
Sve ovo "ispod korijena" supstituiraj ([tex]u = a^2 - x^2[/tex]), samim time ces si "ponistiti" dio van korijena i dobiti tablicni integral (integrirat ces [tex]-\frac{1}{2}\cdot\sqrt{u}[/tex]).

#114: Autor/ica: relax,

Postano: 20:07 sub, 14. 6. 2014
—
Nije u vezi integrala, ali je gradivo za drugi kol:
ako imamo red tipa
[dtex]\Sigma n!x^{n!}[/dtex] i racunamo radijus konvergencije, mozemo li supstituirati [tex]t = n! [/tex] pa dalje provjeravati (D'Alembert):
[dtex]R = lim_{t \to \infty} \frac{a_{n}}{a_{n+1}} = \frac{t}{t+1} = 1[/dtex]

Ako provjeravam
[dtex]R = lim_{n \to \infty} \frac{n!}{(n+1)!} = \frac{1}{n+1} = 0[/dtex], a to nije ispravno rjesenje
Je li onda ispravno ono prvo? Moze li se to opcenito koristiti kada je potencija od [tex](x-c) [/tex]razlicita od [tex]n[/tex], kao u ovom slucaju [tex]n![/tex] ?

EDIT: ispravljeno iz [tex]\infty[/tex] u [tex]0[/tex], moj previd Very Happy

Zadnja promjena: relax; 22:27 sub, 14. 6. 2014; ukupno mijenjano 1 put.

#115: Autor/ica: room,

Postano: 21:54 sub, 14. 6. 2014
—
Ali [dtex]\frac{1}{n+1}=\frac{1}{\infty}=0[/dtex]

Što se tiče ovog da je potencija [tex]n![/tex] i mene buni..

EDIT:
Zna li netko iz nepravih integrala 2.59. b) i 2.60. a i d? http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/analiza/files/ch2_6.pdf

#116: Autor/ica: Shirohige,

Postano: 23:49 sub, 14. 6. 2014
—

room (napisa):

Zna li netko iz nepravih integrala 2.59. b)

Imaš na forumu hint, potraži "2.59" u tražilici.

Ako se dobro sjećam, poanta je izmnožiti (x-a)(b-x) pa dobiveni izraz izraziti ovako [tex]M^2 - (x-N)^2[/tex] gdje su M i N neki izrazi uz pomoć a i b pa imaš.

[dtex]\int \frac{\,dx}{\sqrt{M^2 - (x-N)^2}} = \frac{1}{M}\arcsin\frac{x-N}{M}[/dtex]

room (napisa):

i 2.60. a i d? http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/analiza/files/ch2_6.pdf

a) Ja sam to ovako (valjda je dobro):
[dtex]\sin x < x \implies \sqrt{\sin x} < \sqrt{x} \implies \frac{1}{\sqrt{\sin x}} > \frac{1}{\sqrt{x}} > \frac{1}{x}[/dtex]

(nalazimo se na intervalu 0 do pi/2 i imamo funkciju oblika [dtex]\frac{1}{x^p}[/dtex] za p=1 pa divergira)

d)
Sve f-je na tom intervalu su veće ili jednake 0 i:
[dtex]ln(1+x) < x \\
\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} < \frac{x}{\cos x} \leq \frac{x}{1}[/dtex]

na kraju kad pokratiš sve imaš: [dtex]\frac{1}{x^{1/2}}[/dtex] , 0 < p = 1/2 < 1 pa konvergira.

Moguće da imam negdje grešku, kasno je -.-

EDIT za d), sad kad gledam intervale, vidim da bi trebalo biti:
[dtex]\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} < \frac{x}{\cos x} \leq \frac{x}{\cos 1}[/dtex]

pa kad se sve pokrati bi trebalo biti:
[dtex]\int_0^1 \frac{\,dx}{\cos 1 x^{1/2}}[/dtex]

no sad se valjda [tex]\frac{1}{\cos 1}[/tex] izluči ispred integrala pa opet imamo konvergenciju (čini mi se).

#117: Autor/ica: room,

Postano: 0:45 ned, 15. 6. 2014
—
Našla sam 2.59, hvala. Very Happy

I shvatila sve, čini mi se da sve ima logike, thanks. Very Happy

I trebale bi mi ideje kako započeti 2.46. b i c) i 2.48. a i c): http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/analiza/files/ch2_5.pdf

(Hoću finishirati zadatke iz skriptica koliko god mogu. Mr. Green

)

#118: Autor/ica: Shirohige,

Postano: 12:43 ned, 15. 6. 2014
—

room (napisa):

Našla sam 2.59, hvala. Very Happy

I shvatila sve, čini mi se da sve ima logike, thanks. Very Happy

I trebale bi mi ideje kako započeti 2.46. b i c) i 2.48. a i c): http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/analiza/files/ch2_5.pdf

(Hoću finishirati zadatke iz skriptica koliko god mogu. Mr. Green

)

2.46. ne znam

2.48. a)

[dtex]t = \tan\frac{x}{2}[/dtex]

i na kraju sve vrati u varijablu x pa integral razdijeli ovako:

[dtex]\int_0^{2\pi} = 2\int_0^{\pi} [/dtex]

2.48. c)

http://math.stackexchange.com/questions/820830/how-to-integrate-int-frac1-sin4x-cos4-x-dx

Imaš oko 3-4 pristupa, meni najdraži je odmah u komentaru (ono s cos(4x)).

#119: Autor/ica: room,

Postano: 15:11 ned, 15. 6. 2014
—

Shirohige (napisa):

2.48. a)

[dtex]t = \tan\frac{x}{2}[/dtex]

i na kraju sve vrati u varijablu x pa integral razdijeli ovako:

[dtex]\int_0^{2\pi} = 2\int_0^{\pi} [/dtex]

Znači dođem do [dtex]\frac{2}{3}arctg(3tg(\frac{x}{2})[/dtex]

I to trebam 0 do 2pi. I sad si rekao da razdvojim na 0 do pi i pomnožim sa 2. Ali tangens nije definiran u pi/2 (što se dobije kad se ubaci pi), a kad se ubaci 0 onda je 0. Kako wolfram dobije 2pi/3 za rješenje?

#120: Autor/ica: Shirohige,

Postano: 15:33 ned, 15. 6. 2014
—

room (napisa):

[dtex]
3\tan\frac{\pi}{2} = 3 \cdot +\infty = +\infty \\
\frac{2}{3}arctg(3\tan\frac{\pi}{2}) = \lim_{a \to +\infty} \frac{2}{3}arctg(a) = \frac{2}{3}\frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{3}
[/dtex]

i još množiš s 2 jer si razdvojila integral na 2 jednaka manja integrala od 0 do pi (drugi izraz je naravno 0 jer je 3*tg(0) = 3*0 = 0 i artcg(0)=0).

#121: Autor/ica: room,

Postano: 16:03 ned, 15. 6. 2014
—
Ajme pa da, hvala puno, uspjela sam sad i c. Very Happy

http://degiorgi.math.hr/forum/viewtopic.php?t=19798

Ovdje je bilo pitanje za 3b) zadatak iz prve grupe 2012/2013 i napisala sam ideju za zadatak i to valja. Ali u drugoj grupi dobijem [dtex]y=e^{-x/2}[/dtex] i koje bi sad tu bile granice nepravog integrala? Ovo je link na kolokvij: http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/analiza/kolokviji/ma2-1213-kol2.pdf

#122: Autor/ica: pllook,

Postano: 16:09 ned, 15. 6. 2014
—

room (napisa):

Ajme pa da, hvala puno, uspjela sam sad i c. Very Happy

tu su ti granice od 0 do +beskonačno Smile

#123: Autor/ica: relax,

Postano: 17:44 ned, 15. 6. 2014
—
Je li netko rijesio
[dtex]\int \frac{sin2x}{sinx + cos^2x}dx[/dtex]
ja sam dobio neke arctg od korijena, a wolfram alpha daje u skroz drugom obliku

#124: Autor/ica: room,

Postano: 18:11 ned, 15. 6. 2014
—

relax (napisa):

Je li netko rijesio /
[dtex]\int \frac{sin2x}{sinx + cos^2x}dx[/dtex]
ja sam dobio neke arctg od korijena, a wolfram alpha daje u skroz drugom obliku

[dtex] 2\int\frac{sinxcos}{sinx+1-sin^2x}dx [/dtex]

Supstitucija [tex]t=sinx[/tex]

Uglavnom dođeš do [dtex]2\int\frac{t}{(t-\frac{1-\sqrt{5}}{2})(t-\frac{1+\sqrt{5}}{2})}dt[/dtex]

Parcijalni razlomci.
[dtex]A=\frac{\sqrt{5}-1}{2\sqrt{5}}[/dtex], B isto samo + u brojniku.

Te A i B zapravo izvadiš van ispred integrala a ovo [dtex]\int\frac{1}{(t-\frac{1-\sqrt{5}}{2})}dt+\int\frac{1}{(t-\frac{1+\sqrt{5}}{2})}dt[/dtex] integriraš kao [tex]ln[/tex] i vratiš x. Ugl. ispadne nešto ružno s ln, sin i korijenima. Razz

#125: Autor/ica: Rhodia,

Postano: 22:13 ned, 31. 5. 2015
—
Pozdrav,

zanima me kako bih trebala odrediti konvergenciju nepravog integrala iz zadaće (web.math.pmf.unizg.hr/nastava/analiza/files/ch2_6.pdf Zad. 2.56 c) :

[dtex]\int_1^{+\infty}\frac {\sin (x)} {x}dx [/dtex]

Prema Wolframu (http://www.wolframalpha.com/input/?i=int_1^10000+sinx%2Fx) ovaj nepravi integral bi trebao konvergirati.

Koja bi bila ideja?
Kod usporednog kriterija su mi ocjene bile pregrube, a kod graničnoog sam isto birala krive funkcije g(x).

#126: Autor/ica: goranm,

Postano: 17:20 pon, 1. 6. 2015
—
Da, taj integral konvergira. Stovise, to je primjer integrala koji konvergira uvjetno, ali ne i apsolutno.

Ideja: parcijalna integracija.

Spoiler [hidden; click to show]:

#127: Autor/ica: Rhodia,

Postano: 20:55 ned, 7. 6. 2015
—
Hvala lijepo na odgovoru i pomoći!

Forum@DeGiorgi -> Matematička analiza 1 i 2

output generated using printer-friendly topic mod. Vremenska zona: GMT + 01:00.

Stranica 1 / 1.