Redovi
Select messages from
 # through # FAQ
[/[Print]\]

Forum@DeGiorgi -> Matematička analiza 1 i 2
#1: Redovi Autor/ica: Zenon, Lokacija: [tex]\pm\infty[/tex] PostPostano: 17:11 sri, 23. 5. 2012
    —
Ispitajte konvergenciju reda [tex]\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\arctan \frac{1}{2n^2}[/tex] i odredite mu sumu ako konvergira.

Unaprijed hvala! Thank you Happy
#2: Re: Redovi Autor/ica: gflegar,  PostPostano: 18:04 sri, 23. 5. 2012
    —
Zenon (napisa):
Ispitajte konvergenciju reda [tex]\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\arctan \frac{1}{2n^2}[/tex] i odredite mu sumu ako konvergira.

Unaprijed hvala! Thank you Happy


Ovaj zadatak smo danas radili na vjezbama kod asistenta Kovaca Smile

Za konvergenciju je lako...
ocjenis s [tex]\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}[/tex],
[dtex] \lim_{n \to \infty} \frac{\arctan \frac{1}{2n^2}}{\frac{1}{n^2}} = \frac{1}{2} \lim_{x \to 0} \frac{\arctan x}{x} = \left(\frac{0}{0}\right) = \frac{1}{2} \lim_{x \to 0} \frac{1}{1 + x^2} = \frac{1}{2}[/dtex]
pa red konvergira po usporednom kriteriju.

Da odredis sumu reda, iz adicijske formule za tangens:
[dtex] \tan(a + b) = \frac{\tan a + \tan b}{1 + \tan a \tan b} [/dtex]
zamjenom s [tex] x = \tan a[/tex], [tex] y = \tan b[/tex] dobivas:
[dtex] \arctan x + \arctan y = \arctan \frac{x + y}{1 + xy} [/dtex]
Raspisivanjem prvih nekoliko clanova niza parcijalnih suma pogodis da vrijedi [tex]s_n = \arctan \frac{n}{n + 1}[/tex] i dokazes indukcijom.
Onda imas [tex]\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\arctan \frac{1}{2n^2} = \lim_{n \to \infty} s_n = \frac{\pi}{4}[/tex]
#3:  Autor/ica: Zenon, Lokacija: [tex]\pm\infty[/tex] PostPostano: 19:00 sri, 23. 5. 2012
    —
Opet je zadatak malo zalutao. Taj zadatak je odmah iza prve lekcije, gdje se ne spominju nikakvi kriteriji osim nužnog uvjeta konvergencije reda.

Hvala na tako lijepom raspisu Very Happy
Thank you
Banana mashe

Added after 49 minutes:

Molio bih pomoć oko još dva reda, u ovom slučaju treba samo ispitati konvergenciju. Prvi je [tex]\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\ln (n!)}[/tex], a drugi [tex]\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\sin\frac 1n \sinh\frac 1n \cos n[/tex].

Unaprijed puno hvala! Thank you
#4:  Autor/ica: malalodacha,  PostPostano: 20:15 sri, 23. 5. 2012
    —
prvi usporediš sa redom 1/(n*lnn) za koji dokažeš lako integralnim krinterijem da divergira, a drugi dokaži apsolutnu konvergenciju za funkciju sin(1/n) sh(1/n) i usporedi sa 1/n^2

Added after 1 minutes:

tj, dokaži apsolutnu konvergenciju tako da sin(1/n) sh(1/n) usporediš s 1/n^2
#5:  Autor/ica: Zenon, Lokacija: [tex]\pm\infty[/tex] PostPostano: 21:45 sri, 23. 5. 2012
    —
Uspio sam oba, hvala ti Very Happy
Thank you
#6:  Autor/ica: ebartos,  PostPostano: 12:38 uto, 29. 5. 2012
    —
Jel može pomoć oko 3.b zadatka iz bilo koje grupe (moze i obje)? http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/analiza/kolokviji/ma2-1011-kol2.pdf
#7:  Autor/ica: Zenon, Lokacija: [tex]\pm\infty[/tex] PostPostano: 13:20 uto, 29. 5. 2012
    —
Pretpostavljam da te muči apsolutna konvergencija s obzirom da je obična trivijalna.
[tex]e^{-H_n}=\frac{1}{e^{H_n}}[/tex] i sada to usporediš s [tex]\frac 1n[/tex]
[dtex]\frac{\frac{1}{e^{H_n}}}{\frac 1n}=\frac{n}{e^{H_n}}=\frac{1}{e^{H_n}\cdot n^{-1}}=\frac{1}{e^{H_n}\cdot e^{-\ln n}}=\frac{1}{e^{H_n-\ln n}}[/dtex]
i tu imaš Euler-Mascheronijevu konstantu.

Za ovaj drugi trenutno nemam ideju, pa ću ti odgovoriti kad/ako dobijem i ako nitko drugi u međuvremenu ne odgovori. Trenutno radim nešto drugo, pa nemam vremena sada baviti se tim zadatkom Smile
#8:  Autor/ica: ebartos,  PostPostano: 16:23 uto, 29. 5. 2012
    —
Puno hvala! Smile
#9:  Autor/ica: dalmatinčica,  PostPostano: 17:05 uto, 29. 5. 2012
    —
može li netko dati neku uputu za 4. b)
http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/analiza/kolokviji/ma2-0809-kol2.pdf
može obe grupe

i 3.33 e)
http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/analiza/files/ch3_3.pdf


hvala
#10:  Autor/ica: ebartos,  PostPostano: 19:55 uto, 29. 5. 2012
    —
Za 4.b u prvoj grupi: gledaj Taylorove redove oko točke 0 za funkcije cos(x) i ch(x) (ovaj drugi red možeš lagano dobit preko definicije ch(x) i reda funkcije e^x). Kad imaš ta 2 reda probaj ih zbrojit i i onda rezultat pomnozit s 1/2 i trebao bi se dobit red koji u nazivniku ima (4n!) i onda uvrstiš x=1.
#11:  Autor/ica: vjekovac,  PostPostano: 22:26 uto, 29. 5. 2012
    —
ebartos (napisa):
Jel može pomoć oko 3.b zadatka iz bilo koje grupe (moze i obje)? http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/analiza/kolokviji/ma2-1011-kol2.pdf

Za zadatak:
Ispitajte konvergenciju i apsolutnu konvergenciju reda [tex]\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\Big(e-\Big(1+\frac{1}{n}\Big)^n\Big)[/tex]
se najprije sjetimo da je na predavanjima bilo dokazano da niz [tex]a_n=\Big(1+\frac{1}{n}\Big)^n[/tex] raste i konvergira prema e. To je dovoljno da bi se primijenio Leibnizov kriterij pa slijedi da zadani red obično konvergira.

Ispitivanje apsolutne konvergencije je opet dosta teže. (Zapravo 3.(b) u obje grupe su vrlo teški zadaci!)
Za početak se sjetimo raspisati [tex]a_n[/tex] po binomnom teoremu:
[tex]a_n=\Big(1+\frac{1}{n}\Big)^n = \sum_{k=0}^{n}{n\choose k}\frac{1}{n^k} = \sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}\frac{n(n-1)(n-2)\ldots (n-k+1)}{n^k} = 1 + 1 + \frac{n-1}{2n} + \ldots[/tex]
Primijetimo da svaki član za [tex]k\geq 3[/tex] možemo ocjeniti kao [tex]\frac{1}{k!}\frac{n(n-1)(n-2)\ldots (n-k+1)}{n^k}\leq \frac{1}{k!}[/tex], a članove za k=0,1,2 ostavimo kakvi jesu. Dobiva se
[tex]a_n \leq 2 + \frac{n-1}{2n} + \sum_{k=3}^{n}\frac{1}{k!}[/tex]
S druge strane je [tex]\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}\leq \sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!} = e^1 = e[/tex], tj. [tex]\sum_{k=3}^{n}\frac{1}{k!}\leq e - 1 - 1 -\frac{1}{2} = e - \frac{5}{2}[/tex]
Obje te nejednakosti daju [tex]a_n \leq e - \frac{1}{2n} [/tex] pa je [tex]e - a_n \geq \frac{1}{2n} [/tex]. Dakle, usporedba s harmonijskim redom [tex]\sum\frac{1}{2n}[/tex] daje da red [tex]\sum (e - a_n)[/tex] divergira.
Dakle, zadani red UVJETNO KONVERGIRA.
#12:  Autor/ica: Zenon, Lokacija: [tex]\pm\infty[/tex] PostPostano: 23:34 uto, 29. 5. 2012
    —
LOL.
Onaj prvi sam riješio za 5 minuta, a ovaj vjerovatno ne bih nikad Very Happy
Nisu baš podjednako teški, ma da sam i ja raspisao po binomnoj formuli, samo nisam znao što dalje.

Thank you Thank you Thank you

Added after 40 minutes:

Usput, evo i zadatak:
[tex]\displaystyle \sum \frac{(n!)^5}{(5n)!}(x-2)^n[/tex] → dobio sam da je radijus konvergencije [tex]5^5[/tex] i kako sada provjeriti rubne točke intevrala konvergencije? Meni se čini da tamo ne konvergira jer ovo prebrzo raste, ali ne znam to pokazati (ako je točno).

Unaprijed puno hvala! Thank you
#13:  Autor/ica: R2-D2,  PostPostano: 8:44 sri, 30. 5. 2012
    —
Probaj s D'Alambertovim kriterijem to pokazati, ali s onom "originalnom verzijom", tj. da je kvocijent dva člana veći ili jednak 1.
#14:  Autor/ica: rom,  PostPostano: 10:36 sri, 30. 5. 2012
    —
kako bi išlo ispitivanje kovergenicije [tex]\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\ln(cos\frac{1}{n})[/tex]
hvala
#15:  Autor/ica: Zenon, Lokacija: [tex]\pm\infty[/tex] PostPostano: 11:08 sri, 30. 5. 2012
    —
Tvrdimo da konvergira apsolutno. Prvo naštimamo na poznati limes [tex]\ln (1+(\cos\frac 1n -1))[/tex] i onda usporedimo na način [tex]\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{\vert\ln (1+(\cos\frac 1n -1))\vert}{\vert\cos\frac 1n -1\vert}=1[/tex]
Znači, sve ovisi o konvergenciji reda [tex]\sum \vert\cos\frac 1n -1\vert[/tex], no i to znamo.
Njega sad usporedimo na način [tex]\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{\vert\cos\frac 1n -1\vert}{\frac{1}{n^2}}=\lim_{n\to\infty}\frac{\vert 1-\cos\frac 1n \vert}{ \frac{1}{n^2}}=\frac 12[/tex].

Znam da to nisu redovi s pozitivnim članovima, ali zato i jesam stavljao apsolutno, a apsolutna vrijednost je neprekidna pa limes može "ući" unutra.

Zadnja promjena: Zenon; 13:31 ned, 3. 6. 2012; ukupno mijenjano 1 put.
#16:  Autor/ica: kiara,  PostPostano: 11:21 sri, 30. 5. 2012
    —
Moze li pomoc oko 3.a) od prosle godine?
#17:  Autor/ica: Zenon, Lokacija: [tex]\pm\infty[/tex] PostPostano: 11:31 sri, 30. 5. 2012
    —
[tex]\displaystyle \sum \left(\cosh\frac 1n -\cos\frac 1n\right)^a[/tex] pisat ću [tex]a[/tex] da ne pišem alfa, ne da mi se.
Prvo primjeti da su svi članovi reda pozitivni jer je kosinus hiperbolni u nuli jednak 1, za x>0 je >1, dok je cos ⇐1.
I sada uspoređuješ:
[dtex]\lim_{n\to\infty}\frac{\left(\cosh\frac 1n-1+1 -\cos\frac 1n\right)^a}{\frac{1}{n^{2a}}}=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{\cosh\frac 1n -1}{n^2}+\frac{1-\cos\frac 1n}{n^2}\right)^a=1[/dtex].

I sad gledaš za koji [tex]2a[/tex] red [tex]\sum\frac{1}{n^{2a}}[/tex] konvergira. Konvergira za sve [tex]2a>1 \Longrightarrow a>\frac 12[/tex].
#18:  Autor/ica: kiara,  PostPostano: 15:17 sri, 30. 5. 2012
    —
Hvala! Very Happy
#19:  Autor/ica: Zenon, Lokacija: [tex]\pm\infty[/tex] PostPostano: 15:54 sri, 30. 5. 2012
    —
R2-D2 (napisa):
Probaj s D'Alambertovim kriterijem to pokazati, ali s onom "originalnom verzijom", tj. da je kvocijent dva člana veći ili jednak 1.


Valja ovako, hvala ti Thank you Happy
Banana mashe

EDIT: Ops, ipak nisam uspio Sad
#20:  Autor/ica: R2-D2,  PostPostano: 16:23 sri, 30. 5. 2012
    —
Evo, ovako sam ja (možda sam nešto krivo): opći član je (n!)^5*(5^5n)/(5n)!, zar ne? kad središ kvocijent dvaju članova imaš (n+1)^4/((n+1/5)*(n+2/5)*(n+3/5)*(n+4/5)). To je sigurno veće od 1.
#21:  Autor/ica: Zenon, Lokacija: [tex]\pm\infty[/tex] PostPostano: 16:43 sri, 30. 5. 2012
    —
Nope, [tex]\displaystyle\frac{(n!)^5}{(5n)!}(5^5-2)[/tex]
#22:  Autor/ica: Shaman,  PostPostano: 9:42 čet, 31. 5. 2012
    —
kad je pitanje: izracunjate sumu reda, jer smijemo pretpostaviti da je red konvergentan?
#23:  Autor/ica: kiara,  PostPostano: 12:43 čet, 31. 5. 2012
    —
http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/analiza/kolokviji/ma2-0809-kol2.pdf
Kako se rjesi 4.a zadatak?
#24:  Autor/ica: rom,  PostPostano: 18:12 čet, 31. 5. 2012
    —
kad ispitujemo konvergenciju možemo li mi zaključiti da red [tex]\sum a_n[/tex] divergira ako nađemo divergentni red [tex]\sum b_n[/tex] tako da je [tex]\sum a_n \ge \sum b_n[/tex], dakle bez računanja onog limesa?
#25:  Autor/ica: PermutiranoPrase,  PostPostano: 18:33 čet, 31. 5. 2012
    —
Molim nekog upućenog da raspiše ili da uputu za sljedeće redove: Smile

1. [tex]\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{\sqrt[n]{2}}[/tex]

2. [tex]\sum_{n=1}^\infty (\sin \sin n)^n [/tex]

I još jedno vrlo jednostavno pitanje i vjerojatno malo glupo - što ako je radijus konvergencije reda potencija jednak 0? Red ne konvergira, nikad?

I 3. Traži se radijus konvergencije od [tex]\sum_{n=2}^\infty\frac{(x+1)^n}{n \ln(n!)}[/tex]. Nikako ne mogu dobiti taj limes na lijep način.
#26:  Autor/ica: anamarie,  PostPostano: 20:04 čet, 31. 5. 2012
    —
PermutiranoPrase (napisa):
Molim nekog upućenog da raspiše ili da uputu za sljedeće redove: Smile

1. [tex]\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{\sqrt[n]{2}}[/tex]

2. [tex]\sum_{n=1}^\infty (\sin \sin n)^n [/tex]

I još jedno vrlo jednostavno pitanje i vjerojatno malo glupo - što ako je radijus konvergencije reda potencija jednak 0? Red ne konvergira, nikad?

I 3. Traži se radijus konvergencije od [tex]\sum_{n=2}^\infty\frac{(x+1)^n}{n \ln(n!)}[/tex]. Nikako ne mogu dobiti taj limes na lijep način.

1)divergira jer opći član ne ide u 0
2) -1⇐sinn⇐1
|(sin(sinn))^n|⇐(sin1)^n pa će kovergirati jer (sin1)^n je geometrijski red
3)red će kovergirati samo u jednoj točki
4)ne da mi se sada to računati
#27:  Autor/ica: PermutiranoPrase,  PostPostano: 20:24 čet, 31. 5. 2012
    —
Hvala! Smile
Ovo prvo je očito, naravno.
#28:  Autor/ica: anamarie,  PostPostano: 20:41 čet, 31. 5. 2012
    —
PermutiranoPrase (napisa):
Hvala! Smile
Ovo prvo je očito, naravno.
A 3., kako onda nađemo tu jednu točku? I ako zadatak kaže da odredimo intervale konvergencije, treba li onda uopće tražiti tu točku? (Pretpostavljam da da.)

pogledaj definiciju polumjera R=sup{|z-c|;z iz K}
R=0,to znači da je z=c
u ovom pod 4) će red sigurno kovergirati za točku c=-1 jer će suma reda biti 0.
#29:  Autor/ica: PermutiranoPrase,  PostPostano: 20:58 čet, 31. 5. 2012
    —
Da, to sam skužila u međuvremenu, zato sam i makla taj dio iz posta. Ali opet hvala! Smile
#30:  Autor/ica: vjekovac,  PostPostano: 16:54 pet, 1. 6. 2012
    —
kiara (napisa):
http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/analiza/kolokviji/ma2-0809-kol2.pdf
Kako se rjesi 4.a zadatak?

Najprije u red razvijete [tex]\frac{1}{1+x^2}[/tex] koristeći razvoj [tex]\frac{1}{1-t}=\sum_{n=0}^{\infty}t^n[/tex] i uvrstivši [tex]t=-x^2[/tex]. Potom derivirate jednakost: na lijevoj strani ćete dobiti [tex]\frac{-2x}{(1+x^2)}[/tex]. PReostaje podijeliti s -2.

Shaman (napisa):
kad je pitanje: izracunjate sumu reda, jel smijemo pretpostaviti da je red konvergentan?

Ne, ne smijete. Obično se podrazumijeva da ćete izračunati sumu reda na takav način da ćete usput pokazati i da red konvergira. Uostalom, obično je puuuuno lakše pokazati da red konvergira nego mu izračunati točnu sumu.

rom (napisa):
kad ispitujemo konvergenciju možemo li mi zaključiti da red [tex]\sum a_n[/tex] divergira ako nađemo divergentni red [tex]\sum b_n[/tex] tako da je [tex]\sum a_n \ge \sum b_n[/tex], dakle bez računanja onog limesa?

Da, to vrijedi za redove s članovima [tex]\geq 0[/tex], često se koristi i zove se usporedni kriterij.
#31:  Autor/ica: jema,  PostPostano: 19:09 pet, 1. 6. 2012
    —
pitanje za ovo (odgovor vjekovca): Najprije u red razvijete [tex]\frac{1}{1+x^2}[/tex] koristeći razvoj [tex]\frac{1}{1-t}=\sum_{n=0}^{\infty}t^n[/tex] i uvrstivši [tex]t=-x^2[/tex]. Potom derivirate jednakost: na lijevoj strani ćete dobiti [tex]\frac{-2x}{(1+x^2)}[/tex]. PReostaje podijeliti s -2.

zar je to to, iako nama pise razvijte red x/(x^2 [b]+4[/b])^2 ??
#32:  Autor/ica: vjekovac,  PostPostano: 22:36 pet, 1. 6. 2012
    —
jema (napisa):
zar je to to, iako nama pise razvijte red x/(x^2 +4)^2 ??

Ah da, dobro, previdio sam 4. Smile Pa onda u red razvijte [tex]\frac{1}{4+x^2}[/tex] Smile
Evo, da ne brljam, napravit ću to detaljno:
[tex]\frac{1}{4+x^2}=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{1+x^2/4}[/tex] pa iz razvoja [tex]\frac{1}{1-t}=\sum_{n=0}^{\infty}t^n[/tex] uzimajući [tex]t=-\frac{x^2}{4}[/tex] dobivamo
[tex]\frac{1}{4+x^2}=\frac{1}{4}\sum_{n=0}^{\infty}(-\frac{x^2}{4})^n=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{4^{n+1}}x^{2n}[/tex]
Sada deriviramo i dobijemo:
[tex]\frac{-2x}{(4+x^2)^2}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n 2n}{4^{n+1}}x^{2n-1}[/tex]
te preostaje podijeliti s -2:
[tex]\frac{x}{(4+x^2)^2}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1} n}{4^{n+1}}x^{2n-1}[/tex]
Gle čuda, razvili smo [tex]\frac{x}{(4+x^2)^2}[/tex] u red oko 0. Cool
#33:  Autor/ica: piccola,  PostPostano: 1:39 sub, 2. 6. 2012
    —
Može pomoć? Treba ispitati konvergenciju redova:

1. [tex]\sum\frac{cos(\frac{n\pi}{2})}{\sqrt{n}}[/tex]

2. [tex]\sum\frac{n!}{n^n}[/tex]
#34:  Autor/ica: malalodacha,  PostPostano: 12:26 sub, 2. 6. 2012
    —
http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/analiza/kol/ma2-0506-kol2.pdf može netko 4a iz grupe C i D?
#35:  Autor/ica: dalmatinčica,  PostPostano: 13:30 sub, 2. 6. 2012
    —
vjekovac (napisa):
jema (napisa):
zar je to to, iako nama pise razvijte red x/(x^2 +4)^2 ??

Ah da, dobro, previdio sam 4. Smile Pa onda u red razvijte [tex]\frac{1}{4+x^2}[/tex] Smile
Evo, da ne brljam, napravit ću to detaljno:
[tex]\frac{1}{4+x^2}=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{1+x^2/4}[/tex] pa iz razvoja [tex]\frac{1}{1-t}=\sum_{n=0}^{\infty}t^n[/tex] uzimajući [tex]t=-\frac{x^2}{4}[/tex] dobivamo
[tex]\frac{1}{4+x^2}=\frac{1}{4}\sum_{n=0}^{\infty}(-\frac{x^2}{4})^n=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{4^{n+1}}x^{2n}[/tex]
Sada deriviramo i dobijemo:
[tex]\frac{-2x}{(4+x^2)^2}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n 2n}{4^{n+1}}x^{2n-1}[/tex]
te preostaje podijeliti s -2:
[tex]\frac{x}{(4+x^2)^2}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1} n}{4^{n+1}}x^{2n-1}[/tex]
Gle čuda, razvili smo [tex]\frac{x}{(4+x^2)^2}[/tex] u red oko 0. Cool


koliki je sada tu radijus konvergencije?
#36:  Autor/ica: PermutiranoPrase,  PostPostano: 14:34 sub, 2. 6. 2012
    —
Razvijte f u Taylorov red oko točke c, odredite njegov interval konvergencije te izračunajte [tex]f^{2008}(c)[/tex] ako je:
[tex]f(x) = \frac {arcsin x} {\sqrt{1-x^2}}[/tex]

S obzirom da smo na vježbama radili samo nekoliko jednostavnijih primjera, nemam ideje što s ovim. Treba mi samo razvoj u Taylora.

I kako bi se razvilo lnx? Edit: Zamjenom lnx = ln(1+x-1), y=x-1, pa dalje normalno. To ok?

I još jedno pitanje - raspisujem tu neki red iz istog ovog zadatka. Tražim radijus konvergencije, našla sam ga. Sad provjeram rubne točke.
Problem je što je opći član mog reda jednak 0 za neparne n-ove, a neki razlomak za parne n-ove. Smijem li reći da zbog toga gledam samo parne n-ove pa ići provjeravati apsolutnu konvergenciju reda samo po neparnim n-ovima, pa zaključiti da je taj red apsolutno konvergira i na kraju reći da funkcija konvergira u toj rubnoj točki? Confused

Znam da sam malo naporna, ali ovaj kolokvij mi je jako jako važan. Sad

Zadnja promjena: PermutiranoPrase; 20:16 sub, 2. 6. 2012; ukupno mijenjano 1 put.
#37:  Autor/ica: Zenon, Lokacija: [tex]\pm\infty[/tex] PostPostano: 17:29 sub, 2. 6. 2012
    —
@dalmatinčica:
Korištenjem formule [tex]\displaystyle R=\left\vert\frac{a_n}{a_{n+1}}\right\vert[/tex] dobiješ da je [tex]R=4[/tex].
#38:  Autor/ica: dalmatinčica,  PostPostano: 17:33 sub, 2. 6. 2012
    —
Zenon (napisa):
@dalmatinčica:
Korištenjem formule [tex]\displaystyle R=\left\vert\frac{a_n}{a_{n+1}}\right\vert[/tex] dobiješ da je [tex]R=4[/tex].


da, a jel ima kakve veze šta je u zadatku x^(2n-1)
jel onda radijus 4 ili 2 možda?
#39:  Autor/ica: Zenon, Lokacija: [tex]\pm\infty[/tex] PostPostano: 17:36 sub, 2. 6. 2012
    —
Ne, to nema veze. To je derivacija [tex]x^{2n}[/tex], a na predavanjima je dokazano da "derivirani red" i polazni red imaju isti radijus konvergencije.

EDIT: Ako te pati ova dvojka u eksponentu, zamisli da smo n puta integrirali [tex]x^n[/tex].
#40:  Autor/ica: vjekovac,  PostPostano: 17:40 sub, 2. 6. 2012
    —
dalmatinčica (napisa):
vjekovac (napisa):
[tex]\frac{x}{(4+x^2)^2}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1} n}{4^{n+1}}x^{2n-1}[/tex]

koliki je sada tu radijus konvergencije?

Moramo koristiti formulu [tex]R=1/\limsup\sqrt[n]{|a_n|}[/tex]. Rastavljanjem na parne i neparne članove se dobije da je R=2, kako ste ispravno i naslutili.
Uočimo da formulu [tex]R=\lim\frac{|a_n|}{|a_{n+1}|}[/tex] ne možemo koristiti jer taj limes ne postoji, a uostalom čak je i svaki drugi kvocijent nedefiniran jer dijelimo s 0.
#41:  Autor/ica: Zenon, Lokacija: [tex]\pm\infty[/tex] PostPostano: 17:49 sub, 2. 6. 2012
    —
EDIT: NVM, kolega gflegar mi je ljubazno objasnio Very Happy

Zadnja promjena: Zenon; 20:12 sub, 2. 6. 2012; ukupno mijenjano 1 put.
#42:  Autor/ica: aj_ca_volin_te,  PostPostano: 18:57 sub, 2. 6. 2012
    —
http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/analiza/kol/ma2-0708-kol2.pdf

moze netko grupa C, 4. zadatak, pod a) HVALA Razz
#43:  Autor/ica: anamarie,  PostPostano: 19:11 sub, 2. 6. 2012
    —
aj_ca_volin_te (napisa):
http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/analiza/kol/ma2-0708-kol2.pdf

moze netko grupa C, 4. zadatak, pod a) HVALA Razz

[tex] ln\frac{7-x}{(x+1)(7-x)}=-ln(x+1)
[/tex]

uvedeš supstituciju y=x-c=x-3,x=y+3 pa imaš

[tex] -ln(y+4)=-ln(4(\frac{y}{4}+1))=-ln4-ln(\frac{y}{4}+1)
[/tex]

ovo dalje znaš..
#44:  Autor/ica: aj_ca_volin_te,  PostPostano: 19:39 sub, 2. 6. 2012
    —
ajmeee mene budale, krivo sam izluciva i dobivao nesto gdje je presjek intervala bio prazan Confused hvala svejedno Wink

Added after 2 minutes:

jt nisam pokratia ovo sto je trebalo Cool
#45:  Autor/ica: PermutiranoPrase,  PostPostano: 20:21 sub, 2. 6. 2012
    —
Nitko nema ideje za moje Taylore? O Svemoćni Zenone? Imam nesto za tebe

[tex]f(x) = \frac {arcsin x} {\sqrt{1-x^2}}[/tex]

i novi:
[tex]f(x) = (\frac {x} {x+3})^2[/tex] (iz kolokvija 2009.)
[tex]f(x) = (\frac {x} {x^2+1})^3[/tex]
#46:  Autor/ica: student_92,  PostPostano: 21:33 sub, 2. 6. 2012
    —
PermutiranoPrase (napisa):
Nitko nema ideje za moje Taylore? O Svemoćni Zenone? Imam nesto za tebe


Evo nije Zenon, ali eto Wink
Evo ideja: Za onaj s arcsin još nemam ideju Smile (tj. nisam ga ni počeo).
Što se drugoga tiče, potenciraj brojnik i nazivnik pa ti se u nazivniku javi (x+3)^2, a tada ti preostaje analizirati samo[tex]\frac {1} {(x+3)^2}[/tex]. Sada možeš uvesti supstituciju t = x/3 tako da ti se pojavi (t+1)^2 pa je to onda pogodno za npr. formulu koja koristi binomni red ili možeš zaključiti čija je to derivacija pa ići na deriviranje član po član.

Treći - pogledaj zadatak 3.23 pod f) u skripti, vrlo je instruktivan.
P.S. Valjda je ovo dobro. Neka netko ispravi ako nije.

Zadnja promjena: student_92; 22:11 sub, 2. 6. 2012; ukupno mijenjano 1 put.
#47:  Autor/ica: Zenon, Lokacija: [tex]\pm\infty[/tex] PostPostano: 21:33 sub, 2. 6. 2012
    —
A ne znam još, nisam toliko daleko stigao s vježbanjem Razz
Prvi sam integrirao ali ne znam što ću s [tex]\arctan ^2 x[/tex]. Drugi sam relativno uspio, ali dobijem nešto tipa 1+red+2. red što nije dobro.
A treći još gore Laughing
Ako uspijem s vremenom, javim ti Smile
#48:  Autor/ica: quark,  PostPostano: 22:45 sub, 2. 6. 2012
    —
3.30. Odredite radijus konvergencije i interval konvergencije:



Potpuno sam Shocked , hvala unaprijed Smile
#49:  Autor/ica: gflegar,  PostPostano: 22:47 sub, 2. 6. 2012
    —
Evo drugi (mozda ima koja greska Smile ):

\begin{align} f(x) &= \frac{x^2}{(x+3)^2} = 1 - 3 \frac{2x + 3}{(x+3)^2} = 1 - 3 \left(\frac{2}{x+3} + \frac{-3}{(x+3)^2} \right) = 1 - 3 \left(\frac{2}{3} \frac{1}{\frac{x}{3}+1} + 3 \frac{-1}{(x + 3)^2} \right) = \\
&= 1 - 3 \left(\frac{2}{3} \frac{1}{\frac{x}{3}+1} + 3 \frac{d}{dx}\left( \frac{1}{3} \frac{1}{\frac{x}{3} + 1}\right) \right)= 1 - 2 \frac{1}{\frac{x}{3}+1} - 3 \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{\frac{x}{3} + 1}\right) = \begin{bmatrix} t = -\frac{x}{3} \end{bmatrix} = \\
&= 1 - 2 \frac{1}{1 - t} - 3 \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{1 - t}\right) = 1 - 2 \sum_{n = 0}^{\infty} t^n - 3 \frac{d}{dx}\left(1 + \sum_{n = 1}^{\infty} t^n\right) = \\
&= 1 - 2 \sum_{n = 0}^{\infty} (-1)^n\frac{1}{3^n}x^n - 3 \frac{d}{dx}\left(1 + \sum_{n = 1}^{\infty} (-1)^n\frac{1}{3^n}x^n \right) = 1 - 2 \sum_{n = 0}^{\infty} (-1)^n\frac{1}{3^n}x^n +\sum_{n = 1}^{\infty} (-1)^{n-1}\frac{(n - 1) + 1}{3^{n-1}}x^{n - 1} = \\
&= 1 + \sum_{n = 0}^{\infty} (-1)^n\frac{-2}{3^n}x^n +\sum_{n = 0}^{\infty} (-1)^n\frac{n + 1}{3^n}x^n = 1 + \sum_{n = 0}^{\infty} (-1)^n\frac{n - 1}{3^n}x^n = \\
&= \sum_{n = 1}^{\infty} (-1)^n\frac{n - 1}{3^n}x^n\end{align}
#50:  Autor/ica: Hubert Cumberdale,  PostPostano: 22:57 sub, 2. 6. 2012
    —
Zenon (napisa):
Pretpostavljam da te muči apsolutna konvergencija s obzirom da je obična trivijalna.
[tex]e^{-H_n}=\frac{1}{e^{H_n}}[/tex] i sada to usporediš s [tex]\frac 1n[/tex]
[dtex]\frac{\frac{1}{e^{H_n}}}{\frac 1n}=\frac{n}{e^{H_n}}=\frac{1}{e^{H_n}\cdot n^{-1}}=\frac{1}{e^{H_n}\cdot e^{-\ln n}}=\frac{1}{e^{H_n-\ln n}}[/dtex]
i tu imaš Euler-Mascheronijevu konstantu.


Imam pitanje u vezi ovog reda ([tex] \Sigma (-1)^n e^{-H_n})[/tex], tj njegove apsolutne konvergencije... Vjerujem da nešto krivo radim, ali ne mogu shvatiti što. Preko d'Alembertovog kriterija dobivam:

[dtex] \frac{|a_{n+1}|}{|a_{n}|} = \frac{e^{-H_{n+1}}}{e^{-H_n}} = \frac{e^{-(H_{n}+\frac{1}{n+1})}}{e^{-H_n}}=\frac{{e^{-H_n}}*e^{-\frac{1}{n+1}}}{e^{-H_n}} = e^{-\frac{1}{n+1}} < 1 ,[/dtex] iz čega slijedi da je [tex]\Sigma a_n [/tex] apsolutno konvergentan red??

Sad

Hvala na pomoći i žao mi je ako sam jako glupa Sad
#51:  Autor/ica: dalmatinčica,  PostPostano: 23:51 sub, 2. 6. 2012
    —
kako razviti f(x)=ln(x) oko c=0?
hvala
Question
#52:  Autor/ica: quark,  PostPostano: 0:35 ned, 3. 6. 2012
    —
@humbert: nedostaje li ti limes? Laughing

Onda dobiješ da ti je limes 1 i D'Alembert ne može onda donijeti odluku.

@dalmatincica: imaš razvoj za ln(1+x); kako tebi treba ln(x) samo napiši ln(1+(x-1)) i gotovo Very Happy
#53:  Autor/ica: Zenon, Lokacija: [tex]\pm\infty[/tex] PostPostano: 0:43 ned, 3. 6. 2012
    —
Hubert Cumberdale (napisa):
[dtex] \frac{|a_{n+1}|}{|a_{n}|} = \frac{e^{-H_{n+1}}}{e^{-H_n}} = \frac{e^{-(H_{n}+\frac{1}{n+1})}}{e^{-H_n}}=\frac{{e^{-H_n}}*e^{-\frac{1}{n+1}}}{e^{-H_n}} = e^{-\frac{1}{n+1}} < 1 ,[/dtex] iz čega slijedi da je [tex]\Sigma a_n [/tex] apsolutno konvergentan red??


Kada n ide u beskonačnost [tex]-\frac{1}{n+1}[/tex] ide u 0, pa [tex]e^{-\frac{1}{n+1}}[/tex] ide u 1, a to nam ne govori ništa ( što vjerovatno znaš i sama ).
Inače kod primjene tog korolara koji slijedi iz D'Alembertovog kriterija ( pa tako i Cauchyjevog ) gledamo limese. Ako malo pogledaš same teoreme i dokaze vidjet ćeš da to što ti tvrdiš nije dovoljno.
U samim teoremima mi tražimo da postoji [tex]0\leq q< 1[/tex] takav da je taj razlomak ( odn. n-ti korijen ) nakon nekog mjesta uvijek manji od [tex]q[/tex], ali to u ovom slučaju jednostavno nije istina jer je funkcija rastuća i konvergira prema 1, pa za svaki epsilon veći od nule možemo naći [tex]n_0[/tex] takav da čim je [tex]n\geq n_0[/tex] da je beskonačno mnogo preostalih članova niza u epsilon okolini oko jedinice, što znači da ne možeš pronaći takav [tex]q[/tex] za ovaj niz.

I nemoj govoriti da si glupa. Kao prvo, to nije lijepo, kao drugo, i da jesi to ne moraju svi znati, a kao treće, čak i da jesi, tvoje nerazumjevanje zadatka je pokazatelj toga, isto kao što je konvergencija gore navedenog niza prema 1 pokazatelj konvergencije/divergencije reda Razz
#54:  Autor/ica: shimija, Lokacija: Spljit PostPostano: 12:37 ned, 3. 6. 2012
    —
dalmatinčica (napisa):
kako razviti f(x)=ln(x) oko c=0?
hvala
Question

Kad bi se to moglo, onda bi to značilo da je funckija [tex]\ln x[/tex] analitička pa time i klase [tex]C^\infty[/tex] oko nule. Međutim ona uopće nije definirana u nuli tako da je to očita kontradikcija.

quark je sugerirao razvoj oko točke [tex]c=1[/tex].
#55:  Autor/ica: PermutiranoPrase,  PostPostano: 13:49 ned, 3. 6. 2012
    —
Joj, hvala vam! Prosvijetljena sam na još jednom području. Moje šanse da preživim analizu rastu. Neka zvone case!
Nevezano, ali moram primjetiti - Hubert Cumberdale, do you like rusty spoons? Very Happy
#56:  Autor/ica: malalodacha,  PostPostano: 15:22 ned, 3. 6. 2012
    —
(x^2 /(16+x^4))^2 treba razviti u mclaurinov red. može pomoć oko toga, hitno?
#57:  Autor/ica: student_92,  PostPostano: 15:41 ned, 3. 6. 2012
    —
malalodacha (napisa):
(x^2 /(16+x^4))^2 treba razviti u mclaurinov red. može pomoć oko toga, hitno?


Unaprijed se ispričavam na nekorištenju LaTex-a. Ovo sam radio na brzinu pa je možda negdje neka greška, ali idejno mi se čini ok.

Prvo si raspiši nazivnik tako da dobiješ 256 * (1+(x/2)^4)^2, zatim uvedi supstituciju t = x/2.
Trebaš dobiti izraz t^4 / (16*(1+t^4)^2), a potom izračunaj derivaciju funkcije (1/(1+t^4)) pa ćeš vidjeti što ćeš dobiti.
Preostaje ti deriviranje član po član i pažljivo vraćanje supstitucije.
#58:  Autor/ica: malalodacha,  PostPostano: 16:23 ned, 3. 6. 2012
    —
ajde napiši taj razvoj kako ispadne na kraju
#59:  Autor/ica: simon11, Lokacija: FunkyTown PostPostano: 16:26 ned, 3. 6. 2012
    —
malalodacha (napisa):
(x^2 /(16+x^4))^2 treba razviti u mclaurinov red. može pomoć oko toga, hitno?









sada deriviraj s lijeve strane se dobije

pomnozi s x i podijeli s -4 i dobije se pocetni izraz inace pogledaj si post od vjekovca on je skoro iNdentican Smile

piccola (napisa):
Može pomoć? Treba ispitati konvergenciju redova:
2. [tex]\sum\frac{n!}{n^n}[/tex]


ako se izracuna

[tex] \lim_{n \to \infty}{\frac{n!}{n^n}}=\infty[\tex]

dakle nije zadovoljen nuzan uvjet sto konvergira prema Leibnitzu,ali nisam siguran, a za apsolutnu konverg.stvarno neam ideje

Zadnja promjena: simon11; 16:40 ned, 3. 6. 2012; ukupno mijenjano 2 put/a.
#60:  Autor/ica: Zenon, Lokacija: [tex]\pm\infty[/tex] PostPostano: 16:36 ned, 3. 6. 2012
    —
Ne valja ti to simon11:
D'Alembertov kriterij:
[dtex]\frac{\frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}}{\frac{n!}{n^n}}=\frac{(n+1)n^n}{(n+1)(n+1)^n}=\left(\frac{n}{n+1}\right)^n=\left[\left(1+\frac 1n\right)^n\right]^{-1}\to \frac{1}{e}[/dtex]
Ni u kojem slučaju ne može divergirati opći član u kad [tex]n^n[/tex] puno brže raste od [tex]n![/tex] .
#61:  Autor/ica: dalmatinčica,  PostPostano: 16:41 ned, 3. 6. 2012
    —
simon11 (napisa):
malalodacha (napisa):
(x^2 /(16+x^4))^2 treba razviti u mclaurinov red. može pomoć oko toga, hitno?









sada deriviraj s lijeve strane se dobije

pomnozi s x i podijeli s -4 i dobije se pocetni izraz inace pogledaj si post od vjekovca on je skoro iNdentican Smile

piccola (napisa):
Može pomoć? Treba ispitati konvergenciju redova:
2. [tex]\sum\frac{n!}{n^n}[/tex]


ako se izracuna

[tex] \lim_{n \to \infty}{\frac{n!}{n^n}}=\infty[\tex]

dakle nije zadovoljen nuzan uvjet

nisam siguran ali mozda bi trebalo rastvaiti na tri slucaja jer cos moze biti samo 0,-1,1 pa bi se onda moglo rastaviti kao neki alternirajuci red npr

sto konvergira prema Leibnitzu,ali nisam siguran, a za apsolutnu konverg.stvarno neam ideje


za ovaj 1. zadatak, mogu li ja razviti u red i onda samo to pomnožiti s x^4 ?

Zadnja promjena: dalmatinčica; 16:43 ned, 3. 6. 2012; ukupno mijenjano 1 put.
#62:  Autor/ica: simon11, Lokacija: FunkyTown PostPostano: 16:43 ned, 3. 6. 2012
    —
simon11 (napisa):
malalodacha (napisa):
(x^2 /(16+x^4))^2 treba razviti u mclaurinov red. može pomoć oko toga, hitno?









sada deriviraj s lijeve strane se dobije

pomnozi s x i podijeli s -4 i dobije se pocetni izraz inace pogledaj si post od vjekovca on je skoro iNdentican Smile

piccola (napisa):
Može pomoć? Treba ispitati konvergenciju redova:
2. [tex]\sum\frac{n!}{n^n}[/tex]


ako se izracuna

[/size]


nisam siguran ali mozda bi trebalo rastvaiti na tri slucaja jer cos moze biti samo 0,-1,1 pa bi se onda moglo rastaviti kao neki alternirajuci red npr

sto konvergira prema Leibnitzu,ali nisam siguran, a za apsolutnu konverg.stvarno neam ideje[/quote]
#63:  Autor/ica: student_92,  PostPostano: 16:44 ned, 3. 6. 2012
    —
Ajd netko da mi samo da ideju kako odrediti funkciju koja ima Taylorov red (oko 0) [tex]f(x)=\sum_{n=0}^\infty (\frac{1+n^2}{2^n})x^n[/tex]?
#64:  Autor/ica: angelika,  PostPostano: 16:45 ned, 3. 6. 2012
    —
Može pomoć sa 3b) iz prve grupe?

ma2-0910-kol2.pdf
 Description:

Download
 Filename:  ma2-0910-kol2.pdf
 Filesize:  34.93 KB
 Downloaded:  144 Time(s)
#65:  Autor/ica: Zenon, Lokacija: [tex]\pm\infty[/tex] PostPostano: 16:51 ned, 3. 6. 2012
    —
angelika (napisa):
Može pomoć sa 3b) iz prve grupe?

Već sam ga riješio u ovoj temi.
#66:  Autor/ica: simon11, Lokacija: FunkyTown PostPostano: 16:55 ned, 3. 6. 2012
    —
Zenon (napisa):
Ne valja ti to simon11:
D'Alembertov kriterij:
[dtex]\frac{\frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}}{\frac{n!}{n^n}}=\frac{(n+1)n^n}{(n+1)(n+1)^n}=\left(\frac{n}{n+1}\right)^n=\left[\left(1+\frac 1n\right)^n\right]^{-1}\to \frac{1}{e}[/dtex]
Ni u kojem slučaju ne može divergirati opći član u kad [tex]n^n[/tex] puno brže raste od [tex]n![/tex] .


ah Embarassed tako je,barem sam bio primjer da ne trea biti brzoplet,hvala Very Happy
#67:  Autor/ica: dalmatinčica,  PostPostano: 17:05 ned, 3. 6. 2012
    —
dalmatinčica (napisa):
simon11 (napisa):
malalodacha (napisa):
(x^2 /(16+x^4))^2 treba razviti u mclaurinov red. može pomoć oko toga, hitno?









sada deriviraj s lijeve strane se dobije

pomnozi s x i podijeli s -4 i dobije se pocetni izraz inace pogledaj si post od vjekovca on je skoro iNdentican Smile

piccola (napisa):
Može pomoć? Treba ispitati konvergenciju redova:
2. [tex]\sum\frac{n!}{n^n}[/tex]


ako se izracuna

[tex] \lim_{n \to \infty}{\frac{n!}{n^n}}=\infty[\tex]

dakle nije zadovoljen nuzan uvjet

nisam siguran ali mozda bi trebalo rastvaiti na tri slucaja jer cos moze biti samo 0,-1,1 pa bi se onda moglo rastaviti kao neki alternirajuci red npr

sto konvergira prema Leibnitzu,ali nisam siguran, a za apsolutnu konverg.stvarno neam ideje


za ovaj 1. zadatak, mogu li ja razviti u red i onda samo to pomnožiti s x^4 ?
#68:  Autor/ica: malalodacha,  PostPostano: 17:10 ned, 3. 6. 2012
    —
jel može netko baš konačno rješenje tog zadatka dati? kako glasi razvoj
#69:  Autor/ica: gflegar,  PostPostano: 17:21 ned, 3. 6. 2012
    —
student_92 (napisa):
Ajd netko da mi samo da ideju kako odrediti funkciju koja ima Taylorov red (oko 0) [tex]f(x)=\sum_{n=0}^\infty (\frac{1+n^2}{2^n})x^n[/tex]?


[dtex] f(x)=\sum_{n=0}^\infty \frac{1+n^2}{2^n}x^n = \sum_{n=0}^\infty \frac{n(n-1) + n + 1}{2^n}x^n = x^2 \sum_{n=2}^\infty \frac{n(n-1)}{2^n}x^{n-2} + x \sum_{n=1}^\infty \frac{n}{2^n}x^{n - 1} + \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2^n}x^n [/dtex]

Dovoljna ideja? Smile
#70:  Autor/ica: student_92,  PostPostano: 17:24 ned, 3. 6. 2012
    —
gflegar (napisa):
Dovoljna ideja? Smile


E super, puno hvala Smile
#71:  Autor/ica: dalmatinčica,  PostPostano: 17:35 ned, 3. 6. 2012
    —
gflegar (napisa):
student_92 (napisa):
Ajd netko da mi samo da ideju kako odrediti funkciju koja ima Taylorov red (oko 0) [tex]f(x)=\sum_{n=0}^\infty (\frac{1+n^2}{2^n})x^n[/tex]?


[dtex] f(x)=\sum_{n=0}^\infty \frac{1+n^2}{2^n}x^n = \sum_{n=0}^\infty \frac{n(n-1) + n + 1}{2^n}x^n = x^2 \sum_{n=2}^\infty \frac{n(n-1)}{2^n}x^{n-2} + x \sum_{n=1}^\infty \frac{n}{2^n}x^{n - 1} + \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2^n}x^n [/dtex]

Dovoljna ideja? Smile


opet, jel možemo tu sumu razdvojit i promatrat
sumu (x/2)^n
i
sumu n^2 * (x/2)^n
i samo to pozbrojit?
#72:  Autor/ica: gflegar,  PostPostano: 17:54 ned, 3. 6. 2012
    —
dalmatinčica (napisa):
gflegar (napisa):
student_92 (napisa):
Ajd netko da mi samo da ideju kako odrediti funkciju koja ima Taylorov red (oko 0) [tex]f(x)=\sum_{n=0}^\infty (\frac{1+n^2}{2^n})x^n[/tex]?


[dtex] f(x)=\sum_{n=0}^\infty \frac{1+n^2}{2^n}x^n = \sum_{n=0}^\infty \frac{n(n-1) + n + 1}{2^n}x^n = x^2 \sum_{n=2}^\infty \frac{n(n-1)}{2^n}x^{n-2} + x \sum_{n=1}^\infty \frac{n}{2^n}x^{n - 1} + \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2^n}x^n [/dtex]

Dovoljna ideja? Smile


opet, jel možemo tu sumu razdvojit i promatrat
sumu (x/2)^n
i
sumu n^2 * (x/2)^n
i samo to pozbrojit?


pa mozes, ali neznam cemu te to vodi... kako mislis izracunati [tex]\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{n^2}{2^n}x^n[/tex]?
#73:  Autor/ica: dalmatinčica,  PostPostano: 18:03 ned, 3. 6. 2012
    —
gflegar (napisa):
dalmatinčica (napisa):
gflegar (napisa):
student_92 (napisa):
Ajd netko da mi samo da ideju kako odrediti funkciju koja ima Taylorov red (oko 0) [tex]f(x)=\sum_{n=0}^\infty (\frac{1+n^2}{2^n})x^n[/tex]?


[dtex] f(x)=\sum_{n=0}^\infty \frac{1+n^2}{2^n}x^n = \sum_{n=0}^\infty \frac{n(n-1) + n + 1}{2^n}x^n = x^2 \sum_{n=2}^\infty \frac{n(n-1)}{2^n}x^{n-2} + x \sum_{n=1}^\infty \frac{n}{2^n}x^{n - 1} + \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2^n}x^n [/dtex]

Dovoljna ideja? Smile


opet, jel možemo tu sumu razdvojit i promatrat
sumu (x/2)^n
i
sumu n^2 * (x/2)^n
i samo to pozbrojit?


pa mozes, ali neznam cemu te to vodi... kako mislis izracunati [tex]\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{n^2}{2^n}x^n[/tex]?


na vježbama smo izvodili formulu za taj red s n^2
(derivirali, množili s x, i još jednom tako 1/(1-x) = suma x^n )
jel mogu to koristit?
#74:  Autor/ica: malalodacha,  PostPostano: 18:05 ned, 3. 6. 2012
    —
[quote="simon11"][quote="simon11"]
malalodacha (napisa):
(x^2 /(16+x^4))^2 treba razviti u mclaurinov red. može pomoć oko toga, hitno?









sada deriviraj s lijeve strane se dobije

pomnozi s x i podijeli s -4 i dobije se pocetni izraz inace pogledaj si post od vjekovca on je skoro iNdentican Smile ] može samo konačno riješenje od toga?
#75:  Autor/ica: gflegar,  PostPostano: 18:22 ned, 3. 6. 2012
    —
dalmatinčica (napisa):
gflegar (napisa):
dalmatinčica (napisa):
gflegar (napisa):
student_92 (napisa):
Ajd netko da mi samo da ideju kako odrediti funkciju koja ima Taylorov red (oko 0) [tex]f(x)=\sum_{n=0}^\infty (\frac{1+n^2}{2^n})x^n[/tex]?


[dtex] f(x)=\sum_{n=0}^\infty \frac{1+n^2}{2^n}x^n = \sum_{n=0}^\infty \frac{n(n-1) + n + 1}{2^n}x^n = x^2 \sum_{n=2}^\infty \frac{n(n-1)}{2^n}x^{n-2} + x \sum_{n=1}^\infty \frac{n}{2^n}x^{n - 1} + \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2^n}x^n [/dtex]

Dovoljna ideja? Smile


opet, jel možemo tu sumu razdvojit i promatrat
sumu (x/2)^n
i
sumu n^2 * (x/2)^n
i samo to pozbrojit?


pa mozes, ali neznam cemu te to vodi... kako mislis izracunati [tex]\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{n^2}{2^n}x^n[/tex]?


na vježbama smo izvodili formulu za taj red s n^2
(derivirali, množili s x, i još jednom tako 1/(1-x) = suma x^n )
jel mogu to koristit?

ako ti je tako draze, mozes... mada mislim da je to kompliciranije.
#76:  Autor/ica: dalmatinčica,  PostPostano: 18:26 ned, 3. 6. 2012
    —
meni je kompliciranije sjetit se ovako raspisat brojnik
Smile
#77:  Autor/ica: simon11, Lokacija: FunkyTown PostPostano: 19:19 ned, 3. 6. 2012
    —
@ malalodacha

nakon cak DVA reda raspisa Very Happy dobijem :



primijeti da n ide od 1 jer za n=0 dobije se konstanta koja prilikom deriviranja izgine Very Happy

Added after 1 minutes:

simon11 (napisa):
@ malalodacha

nakon cak DVA reda raspisa Very Happy dobijem :



primijeti da n ide od 1 jer za n=0 dobije se konstanta koja prilikom deriviranja izgine Very Happy


Added after 1 minutes:

[quote="simon11"]@ malalodacha

nakon cak DVA reda raspisa Very Happy dobijem :



primijeti da n ide od 1 jer za n=0 dobije se konstanta koja prilikom deriviranja izgine Very Happy
#78:  Autor/ica: malalodacha,  PostPostano: 21:41 ned, 3. 6. 2012
    —
http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/analiza/kolokviji/ma2-1011-kol2.pdf jel može netko raspisati još 3a iz prve grupe? znam s čim treb usporedit, ali ne znam kako raspisati to..
#79:  Autor/ica: simon11, Lokacija: FunkyTown PostPostano: 23:07 ned, 3. 6. 2012
    —
malalodacha (napisa):
"]http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/analiza/kolokviji/ma2-1011-kol2.pdf jel može netko raspisati još 3a iz prve grupe? znam s čim treb usporedit, ali ne znam kako raspisati to..


[tex] \lim_{n\to \infty}{\frac{(1-nsin\frac{1}{n})^\alpha}{\frac{1}{n^{2\alpha}}}}=\lim_{n\to \infty}{\frac{(\frac{1}{n}-sin\frac{1}{n})^\alpha}{\frac{1}{n^{3\alpha}}}}[/tex]

[tex]x=\frac{1}{n}[/tex]

[tex]\lim_{x \to0}(\frac{x-sinx}{x^3})^\alpha[/tex] primijenis L'H 3 puta dobije se da je limes 1/6 dakle istovremeno konvergira i divergira.
Tebe zanima kada konvergira,onda kada i ovaj s kojim smo usporedili konvergira a to je kada je [tex] 2\cdot\alpha>1 [/tex] dakle [tex] \alpha>\frac{1}{2}[/tex]
#80:  Autor/ica: aj_ca_volin_te,  PostPostano: 12:44 ned, 10. 6. 2012
    —
...ekipaa Razz moze molim vas, netko bilo tko izracunati sumu reda Zadatka 3.3. pod d) (zadnja strana http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/analiza/files/ch3_1.pdf )
...unaprijed puno hvalaaa Very Happy Cool
#81:  Autor/ica: Zenon, Lokacija: [tex]\pm\infty[/tex] PostPostano: 12:48 ned, 10. 6. 2012
    —
Kolega gflegar je to već riješio na forumu.
Evo i link.
#82:  Autor/ica: aj_ca_volin_te,  PostPostano: 13:36 ned, 10. 6. 2012
    —
Kolega zahvaljujem se mucho, mucho, muchooooo <3
#83:  Autor/ica: nicki minaj,  PostPostano: 18:28 sub, 16. 6. 2012
    —
[url]web.math.pmf.unizg.hr/nastava/analiza/kolokviji/ma2-0809-popr.pdf[/url]

jel mogu zamoliti da netko rijesi zadatak 4. pod a? hvala Smile
#84:  Autor/ica: slonic~tonic,  PostPostano: 19:43 čet, 21. 6. 2012
    —
moze mi netko pomoci, kako razviti eksponencijalnu funkciju u Taylorov red??
#85:  Autor/ica: goranm,  PostPostano: 0:28 pet, 22. 6. 2012
    —
slonic~tonic (napisa):
moze mi netko pomoci, kako razviti eksponencijalnu funkciju u Taylorov red??

Funkcija se može (pod nekim uvjetima) razviti u Taylorov red oko neke točke c. Nije nebitan taj dio "oko neke točke c" jer definicija (a kasnije i konvergencija) tog reda ovisi o točki c.

Znači, neka je [tex]I\subset\mathbb{R}[/tex] otvoren interval, c neka je bilo koja točka tog intervala, a [tex]f\colon I \to \mathbb{R}[/tex] neka je zadana s [tex]f(x)=a^x[/tex], za [tex]a\in\left\langle 0,\infty\right\rangle\setminus\{1\}.[/tex]

Da bi funkciju f mogli razviti u Taylorov red oko točke c, ona mora biti klase [tex]C^\infty[/tex] na intervalu I. Pomoću logaritamske derivacije izračunamo da je [tex]f'(x)=a^x\ln a[/tex], a ako još jednom deriviramo dobijemo [tex]f''(x)=a^x(\ln a)^2=f'(x)\ln a[/tex]. Očito je onda [tex]f'''(x)=f''(x)\ln a=a^x(\ln a)^3[/tex] pa zaključujemo kako n-ta derivacija mora biti jednaka [tex]f^{(n)}(x)=a^x(\ln a)^n[/tex] i to još formalno dokažemo indukcijom. To vrijedi za svaki x iz I pa je Taylorov red funkcije f oko točke c jednak [dtex]a^c\cdot \sum_{n=0}^\infty \frac{(\ln a)^n}{n!}(x-c)^n.[/dtex]

Ostaje pokazati da [tex]a^x[/tex] konvergira tom redu. Iskoristiti ćemo teorem 6.13. Neka je [tex]\delta > 0[/tex] i [tex]a>1[/tex] (slučaj 0<a<1 pokaže se analogno). Tada, za [tex]x<c+\delta[/tex] vrijedi [tex]a^x<a^{c+\delta}[/tex] pa je [tex]a^x(\ln a)^n<a^{c+\delta}(\ln a)^n[/tex].

Neka je [tex]n_0=1, C=a^{c+\delta}[/tex] i [tex]M=\ln a.[/tex]. Tada za svaki [tex]n\geq n_0[/tex] vrijedi
[dtex]|f^{(n)}(x)|=a^x(\ln{a})^n<a^{c+\delta}(\ln a)^n=CM^n<CM^nn!,[/dtex]
za svaki [tex]x\in I'=\left\langle c-\delta, c+\delta\right\rangle\cap I[/tex], a to znači da je
[dtex]a^x=a^c\cdot \sum_{n=0}^\infty \frac{(\ln a)^n}{n!}(x-c)^n,\textrm{ za svaki }x\in\left\langle c-\frac 1M, c+\frac 1M\right\rangle\cap I'[/dtex]
#86:  Autor/ica: slonic~tonic,  PostPostano: 18:36 pet, 22. 6. 2012
    —
goranm (napisa):
slonic~tonic (napisa):
moze mi netko pomoci, kako razviti eksponencijalnu funkciju u Taylorov red??

Funkcija se može (pod nekim uvjetima) razviti u Taylorov red oko neke točke c. Nije nebitan taj dio "oko neke točke c" jer definicija (a kasnije i konvergencija) tog reda ovisi o točki c.

Znači, neka je [tex]I\subset\mathbb{R}[/tex] otvoren interval, c neka je bilo koja točka tog intervala, a [tex]f\colon I \to \mathbb{R}[/tex] neka je zadana s [tex]f(x)=a^x[/tex], za [tex]a\in\left\langle 0,\infty\right\rangle\setminus\{1\}.[/tex]

Da bi funkciju f mogli razviti u Taylorov red oko točke c, ona mora biti klase [tex]C^\infty[/tex] na intervalu I. Pomoću logaritamske derivacije izračunamo da je [tex]f'(x)=a^x\ln a[/tex], a ako još jednom deriviramo dobijemo [tex]f''(x)=a^x(\ln a)^2=f'(x)\ln a[/tex]. Očito je onda [tex]f'''(x)=f''(x)\ln a=a^x(\ln a)^3[/tex] pa zaključujemo kako n-ta derivacija mora biti jednaka [tex]f^{(n)}(x)=a^x(\ln a)^n[/tex] i to još formalno dokažemo indukcijom. To vrijedi za svaki x iz I pa je Taylorov red funkcije f oko točke c jednak [dtex]a^c\cdot \sum_{n=0}^\infty \frac{(\ln a)^n}{n!}(x-c)^n.[/dtex]

Ostaje pokazati da [tex]a^x[/tex] konvergira tom redu. Iskoristiti ćemo teorem 6.13. Neka je [tex]\delta > 0[/tex] i [tex]a>1[/tex] (slučaj 0<a<1 pokaže se analogno). Tada, za [tex]x<c+\delta[/tex] vrijedi [tex]a^x<a^{c+\delta}[/tex] pa je [tex]a^x(\ln a)^n<a^{c+\delta}(\ln a)^n[/tex].

Neka je [tex]n_0=1, C=a^{c+\delta}[/tex] i [tex]M=\ln a.[/tex]. Tada za svaki [tex]n\geq n_0[/tex] vrijedi
[dtex]|f^{(n)}(x)|=a^x(\ln{a})^n<a^{c+\delta}(\ln a)^n=CM^n<CM^nn!,[/dtex]
za svaki [tex]x\in I'=\left\langle c-\delta, c+\delta\right\rangle\cap I[/tex], a to znači da je
[dtex]a^x=a^c\cdot \sum_{n=0}^\infty \frac{(\ln a)^n}{n!}(x-c)^n,\textrm{ za svaki }x\in\left\langle c-\frac 1M, c+\frac 1M\right\rangle\cap I'[/dtex]


hvala puno!!! Smile
jos samo da pitam, za svaki slucaj, analogno je kad je a = e??
#87:  Autor/ica: goranm,  PostPostano: 22:01 pet, 22. 6. 2012
    —
Da, analogno je, a zbog ln e=1 i puno jedonostavnije pa se može primijeniti i teorem 6.14 za koji nam ne treba M.
#88:  Autor/ica: slonic~tonic,  PostPostano: 22:27 pet, 22. 6. 2012
    —
goranm (napisa):
Da, analogno je, a zbog ln e=1 i puno jedonostavnije pa se može primijeniti i teorem 6.14 za koji nam ne treba M.


neizmjerno sam zahvalna!! Smile))
#89:  Autor/ica: aeternitas,  PostPostano: 20:08 čet, 30. 5. 2013
    —
Može netko pokušati riješiti sljedeće redove :

\sum_{2}^{\infty }(-1)^{n}\frac{1}{n^{2}-6n+5}

\sum_{1}^{\infty }\sin \frac{2}{n^{2}+n+1}

hvala puno Smile
#90:  Autor/ica: matkec,  PostPostano: 22:24 čet, 30. 5. 2013
    —
Ovaj prvi rastavi na parcijalne razlomke i raspiši prvih par članova. Vidjet ćeš kako ti se članovi krate.
Ovaj drugi mi je neka poznata fora, ali se trenutno ne mogu sjetiti... Ehm?
#91:  Autor/ica: aeternitas,  PostPostano: 16:11 pet, 31. 5. 2013
    —
matkec (napisa):
Ovaj prvi rastavi na parcijalne razlomke i raspiši prvih par članova. Vidjet ćeš kako ti se članovi krate.
Ovaj drugi mi je neka poznata fora, ali se trenutno ne mogu sjetiti... Ehm?


hvala za prvi, skužih Smile

drugi možda da usporedim prvo sin s nekom funkcijom za koju znam da konv/div, pa idem na usporedni kriterij \lim \frac{a_{n}}{b_{n}} i onda zaključujem konvergira li ili dirvergira

(s tim da mi je \lim \frac{sinx}{x} = 1, pri čemu mi je x ovaj izraz u sinusu)

to mi je sad palo na pamet, ne znam drži li vodu Embarassed
#92:  Autor/ica: matkec,  PostPostano: 21:03 pet, 31. 5. 2013
    —
Ma mislio sam da je ta suma izračunljiva. No, ili ja ne znam izračunati kolika je ta suma, ili je za suma stvarno ne izračunljiva. Pitao sam wolframa, on kaže da je suma jednaka 1.5432996823296632. Mislio sam stoga da red konvergira ka pi/2, ali je razlika prevelika, ne bi wolfram tolko fulo.

Ali ako se u zadatku traži samo provjeriti konvergira li red, tada je ovaj tvoj način dobar. Po usporednom kriteriju, treba provjeriti konvergira li red , no taj red lako ograničiš s redom .
#93:  Autor/ica: aeternitas,  PostPostano: 12:42 sub, 1. 6. 2013
    —
matkec (napisa):
Ma mislio sam da je ta suma izračunljiva. No, ili ja ne znam izračunati kolika je ta suma, ili je za suma stvarno ne izračunljiva. Pitao sam wolframa, on kaže da je suma jednaka 1.5432996823296632. Mislio sam stoga da red konvergira ka pi/2, ali je razlika prevelika, ne bi wolfram tolko fulo.

Ali ako se u zadatku traži samo provjeriti konvergira li red, tada je ovaj tvoj način dobar. Po usporednom kriteriju, treba provjeriti konvergira li red , no taj red lako ograničiš s redom .


Nisam precizirala, da upravo se radi o ispitivanju konvergencije, onda je okej. Smile
Hvala ti.
#94:  Autor/ica: krki,  PostPostano: 14:44 ned, 2. 6. 2013
    —
Može li pomoć oko ovog zadatka: ispitati apsolutnu i uvjetnu konvergenciju reda:
∑((-1)^n)/(ln(n))^(ln(n))
#95:  Autor/ica: tiborr,  PostPostano: 13:10 čet, 13. 6. 2013
    —
može pomoć oko 4.a iz popravnog 2009.

Ispitajte konvergenciju i apsolutnu konvergenciju reda:
#96:  Autor/ica: room,  PostPostano: 21:58 sub, 14. 6. 2014
    —
Zna li netko kako izračunati radijus konvergencije na wolframu? Da si mogu neke zadatke provjeriti.

Također, jel netko zna 3.3. pod e): http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/analiza/files/ch3_1.pdf

Kad izračunam prvih par članova vidim da konvergira prema nekud, ali kako to izračunati?

I 3.14. d, e i f: http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/analiza/files/ch3_2.pdf

Vidjela sam u ovoj i još nekoj temi priče o d) i e), ali nisam skužila tj. nisam uspjela dobiti.
#97:  Autor/ica: Shirohige,  PostPostano: 23:11 sub, 14. 6. 2014
    —
room (napisa):

Također, jel netko zna 3.3. pod e): http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/analiza/files/ch3_1.pdf

Kad izračunam prvih par članova vidim da konvergira prema nekud, ali kako to izračunati?
.


http://i.imgur.com/FcPebAh.png
http://i.imgur.com/HkASQof.png
#98:  Autor/ica: room,  PostPostano: 23:38 sub, 14. 6. 2014
    —
Ajmee, hvala ti. Very Happy Pa kako to nisam sama uspjela. Embarassed

I dalje bi mi trebali ovi:
room (napisa):
I 3.14. d, e i f: http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/analiza/files/ch3_2.pdf

Vidjela sam u ovoj i još nekoj temi priče o d) i e), ali nisam skužila tj. nisam uspjela dobiti.


Također, kako bi riješili 4. pod a) iz prve grupe sa ovog kolokvija: http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/analiza/kolokviji/ma2-0809-kol2.pdf
#99:  Autor/ica: markann,  PostPostano: 2:01 ned, 15. 6. 2014
    —
room (napisa):

Također, kako bi riješili 4. pod a) iz prve grupe sa ovog kolokvija: http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/analiza/kolokviji/ma2-0809-kol2.pdf


[dtex] \frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty} x^n [/dtex]
[dtex] \frac{1}{1+\frac{x^2}{4}} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n\frac{x^{2n}}{2^n}[/dtex]
[dtex] \frac{4}{4+x^2} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n\frac{x^{2n}}{2^n}[/dtex]
[dtex] \frac{-8x}{(4+x^2)^2} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n\frac{2nx^{2n-1}}{2^n}[/dtex]
[dtex] \frac{x}{(4+x^2)^2} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n+1}\frac{2nx^{2n-1}}{2^{n-3}}[/dtex]

Za x-eve naravno < -2 , 2>
#100:  Autor/ica: room,  PostPostano: 2:05 ned, 15. 6. 2014
    —
A ista ta godina pod b) ? I hvala. Very Happy
#101:  Autor/ica: markann,  PostPostano: 2:36 ned, 15. 6. 2014
    —
room (napisa):
A ista ta godina pod b) ? I hvala. Very Happy


A trebas se sjetit ideje.. kako dobiti funkciju od samo (4n)! u nazivniku?? Ako pogledas tablice dopustene na kolokviju, to je neka kombinacija eksponencijalne i kosinusa ako se ne varam.. Moras ponistiti svaki drugi kosinusov faktorijel.. a kad u eksponencijalnu funkciju uvrstis -x i zbrojis to dobijes bas samo parne faktorijele koji poniste kosinus.. ustvari e^x i e^-x daju kosinus hiperbolni, ali da to je ideja

[dtex] e^x = 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^2}{3!} + ... [/dtex]
[dtex]e^{-x} = 1 + \frac{x^2}{2!} - \frac{x^3}{3!} + ... [/dtex]
[dtex] e^x + e^{-x} = 2 (1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + ... )[/dtex]
[dtex] chx = 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + ... [/dtex]
[dtex] f(x)=chx + cosx = 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + ... + 1 -
\frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + ... = 2 ( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{(4n)!})[/dtex]
[dtex] \frac{f(1)}{2} = ( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1^n}{(4n)!}) = \frac{1}{2}(ch1+cos1)[/dtex]
#102:  Autor/ica: room,  PostPostano: 3:02 ned, 15. 6. 2014
    —
Super ideja, hvala puno. Very Happy

Ali pred kraj kad si zbrojio kosinus i kosinus hiperbolni:

markann (napisa):
[dtex] f(x)=chx + cosx = 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + ... + 1 -
\frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + ... = 2 ( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{(4n)!})[/dtex]


Zar nije trebalo bit [dtex] 2 ( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{4n}}{(4n)!})[/dtex] ?

Al na kraju dođe na isto, jel da? Jer uvrštavam 1 pa nema veze na koji eksponent kad je to uvijek 1.
#103:  Autor/ica: markann,  PostPostano: 3:09 ned, 15. 6. 2014
    —
room (napisa):
Super ideja, hvala puno. Very Happy

Ali pred kraj kad si zbrojio kosinus i kosinus hiperbolni:

markann (napisa):
[dtex] f(x)=chx + cosx = 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + ... + 1 -
\frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + ... = 2 ( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{(4n)!})[/dtex]


Zar nije trebalo bit [dtex] 2 ( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{4n}}{(4n)!})[/dtex] ?

Al na kraju dođe na isto, jel da? Jer uvrštavam 1 pa nema veze na koji eksponent kad je to uvijek 1.


Ma da, imas pravo, ah sta ces, 4 ujutro je i koncentracija mi je na nuli Very Happy
#104:  Autor/ica: room,  PostPostano: 3:25 ned, 15. 6. 2014
    —
Ma sve pet, i meni već lagano pada. Very Happy

Zanima me kod 3.30. pod c) odavde: http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/analiza/files/ch3_3.pdf

Jedna kolegica je riješila tako da je koristila formulu za radijus konvergencije sa [tex]lim sup[/tex], a druga onu formulu sa [tex]\frac{a_n}{a_{n+1}}[/tex]. Prva je dobila interval konvergencije u 0, a druga [tex][-2,0>[/tex]. Koje je sad pravo rješenje i postupak?

I dalje bi mi trebali ovi:
room (napisa):
I 3.14. d, e i f: http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/analiza/files/ch3_2.pdf

Vidjela sam u ovoj i još nekoj temi priče o d) i e), ali nisam skužila tj. nisam uspjela dobiti.
#105:  Autor/ica: Shirohige,  PostPostano: 12:46 ned, 15. 6. 2014
    —
Ima netko kojim slučajem poslikano/skenirano/texirano rješenja nekih starih kolokvija (s naglaskom na redove)?
#106:  Autor/ica: relax,  PostPostano: 13:17 ned, 15. 6. 2014
    —
ako imamo red tipa
[dtex]\sum n!x^{n!}[/dtex] i racunamo radijus konvergencije, mozemo li supstituirati [tex]t = n! [/tex] pa dalje provjeravati (D'Alembert):
[dtex]R = lim_{t \to \infty} \frac{a_{n}}{a_{n+1}} = \frac{t}{t+1} = 1[/dtex]

Ako provjeravam
[dtex]R = lim_{n \to \infty} \frac{n!}{(n+1)!} = \frac{1}{n+1} = 0[/dtex], a to nije ispravno rjesenje
Je li onda ispravno ono prvo? Moze li se to opcenito koristiti kada je potencija od [tex](x-c) [/tex]razlicita od [tex]n[/tex], kao u ovom slucaju [tex]n![/tex] ?
#107:  Autor/ica: room,  PostPostano: 14:43 ned, 15. 6. 2014
    —
Shirohige (napisa):
Ima netko kojim slučajem poslikano/skenirano/texirano rješenja nekih starih kolokvija (s naglaskom na redove)?


Nemam skenirano, al imam rješeno (i još uvijek rješavam) pa ako treba neki određeni reci, ako ne budem uslikala sve i u poruci ti poslala.
#108:  Autor/ica: pllook,  PostPostano: 16:58 ned, 15. 6. 2014
    —
[/quote]Nemam skenirano, al imam rješeno (i još uvijek rješavam) pa ako treba neki određeni reci, ako ne budem uslikala sve i u poruci ti poslala.[/quote]

Jesi li možda rješavala neki od ovih zadataka?
2008/2009 3. a) druga grupa
2009/2010 3. b) druga grupa
2010/2011 3. a) prva grupa

2012/2013 druga grupa 2. zad - dobila sam da oba reda konvergraju po nužnom uvjetu konvergencije, jel to ok? nekako mi djeluje prejednostavno Razz
#109:  Autor/ica: room,  PostPostano: 17:15 ned, 15. 6. 2014
    —
pllook (napisa):
Jesi li možda rješavala neki od ovih zadataka?
2008/2009 3. a) druga grupa
2009/2010 3. b) druga grupa


Druge grupe sam zasad riješila samo od 2012/2013 i planiram dovršit 2011/2012 i 2010/2011, al ove dalje mi se više ne da.

Citat:
2010/2011 3. a) prva grupa


Uspoređuješ sa [dtex](\frac{1}{n})^a[/dtex] i dobiješ 0 tj. konvergira za a>1. (pisala sam a jer mi se ne da kopirat alfu sad od negdje Razz ). Ako treba skroz slikat, reci.

Citat:
2012/2013 druga grupa 2. zad - dobila sam da oba reda konvergraju po nužnom uvjetu konvergencije, jel to ok? nekako mi djeluje prejednostavno Razz


Pod a) konvergira meni po usporednom kriteriju, sa [dtex]\frac{1}{3^n}[/dtex] ili [dtex]\frac{1}{3^{\sqrt{n}}}[/dtex]

A pod b) mi je kolegica rekla da navodno nije bio bodovan jer se ne može riješiti nego da su davali dodatne bodove za ideje.
#110:  Autor/ica: Shirohige,  PostPostano: 17:34 ned, 15. 6. 2014
    —
room (napisa):
Shirohige (napisa):
Ima netko kojim slučajem poslikano/skenirano/texirano rješenja nekih starih kolokvija (s naglaskom na redove)?


Nemam skenirano, al imam rješeno (i još uvijek rješavam) pa ako treba neki određeni reci, ako ne budem uslikala sve i u poruci ti poslala.


Ajde, ako ti se da mi poslikaj. Ako nemaš (vjerojatno nemaš Very Happy) baš vremena, dovoljni su mi redovi. Thank you! Smile


I slobodno netko odgovori na pitanje od relax (malo iznad), ne morate se sramiti. Smile
#111:  Autor/ica: room,  PostPostano: 17:39 ned, 15. 6. 2014
    —
Poslat ću ti samo jednu grupu jer sam te finishirala, a B je ionako slična. I pitanje od relaxa sam rekla da ne znam ni ja, mi smo to nekako samo zanemarile tokom rješavanja. Embarassed Mr. Green
#112:  Autor/ica: pllook,  PostPostano: 17:53 ned, 15. 6. 2014
    —
room (napisa):
Poslat ću ti samo jednu grupu jer sam te finishirala, a B je ionako slična. I pitanje od relaxa sam rekla da ne znam ni ja, mi smo to nekako samo zanemarile tokom rješavanja. Embarassed Mr. Green


možeš li,molim te,i meni poslati? Very Happy
#113:  Autor/ica: markann,  PostPostano: 18:17 ned, 15. 6. 2014
    —
pllook (napisa):

2012/2013 druga grupa 2. zad - dobila sam da oba reda konvergraju po nužnom uvjetu konvergencije, jel to ok? nekako mi djeluje prejednostavno Razz


Kako to mislis?? Nuzan uvjet konvergencije nije i dovoljan za konvergenciju, npr 1/n tezi u 0 ali je red divergentan
#114:  Autor/ica: pllook,  PostPostano: 18:23 ned, 15. 6. 2014
    —
markann (napisa):
pllook (napisa):

2012/2013 druga grupa 2. zad - dobila sam da oba reda konvergraju po nužnom uvjetu konvergencije, jel to ok? nekako mi djeluje prejednostavno Razz


Kako to mislis?? Nuzan uvjet konvergencije nije i dovoljan za konvergenciju, npr 1/n tezi u 0 ali je red divergentan


ajoooj,da. znala sam da nešto ne štima Embarassed
#115:  Autor/ica: markann,  PostPostano: 18:44 ned, 15. 6. 2014
    —
pllook (napisa):
markann (napisa):
pllook (napisa):

2012/2013 druga grupa 2. zad - dobila sam da oba reda konvergraju po nužnom uvjetu konvergencije, jel to ok? nekako mi djeluje prejednostavno Razz


Kako to mislis?? Nuzan uvjet konvergencije nije i dovoljan za konvergenciju, npr 1/n tezi u 0 ali je red divergentan


ajoooj,da. znala sam da nešto ne štima Embarassed


Zato postoje 5 razlicitih kriterija za ispitivanje konvergencije haha
Svijet bi bio savrsen kad bi postojao nuzan i dovoljan uvjet da red konvergira
#116:  Autor/ica: pllook,  PostPostano: 20:00 ned, 15. 6. 2014
    —
jel rijesio netko 2012/2013 4. b) ?
#117:  Autor/ica: relax,  PostPostano: 20:44 ned, 15. 6. 2014
    —
pllook (napisa):
jel rijesio netko 2012/2013 4. b) ?


Ja sam dobio [tex]R = - \frac{1}{2}[/tex], ali nisam siguran jer tu opet imamo [tex]x^{nesto}[/tex], pri cemu je [tex]nesto [/tex] fja od n
#118:  Autor/ica: pllook,  PostPostano: 20:49 ned, 15. 6. 2014
    —
relax (napisa):
pllook (napisa):
jel rijesio netko 2012/2013 4. b) ?


Ja sam dobio [tex]R = - \frac{1}{2}[/tex], ali nisam siguran jer tu opet imamo [tex]x^{nesto}[/tex], pri cemu je [tex]nesto [/tex] fja od n


jel mozes napisati kako si to rijesio? ja uopce nemam ideju kad imamo x^nesto, a da nesto nije n..
#119:  Autor/ica: relax,  PostPostano: 21:09 ned, 15. 6. 2014
    —
pllook (napisa):
relax (napisa):
pllook (napisa):
jel rijesio netko 2012/2013 4. b) ?


Ja sam dobio [tex]R = - \frac{1}{2}[/tex], ali nisam siguran jer tu opet imamo [tex]x^{nesto}[/tex], pri cemu je [tex]nesto [/tex] fja od n


jel mozes napisati kako si to rijesio? ja uopce nemam ideju kad imamo x^nesto, a da nesto nije n..


Radio sam tako da svugdje gdje se koristi [tex]n[/tex] zamjenim sa [tex]n^2[/tex], samo nisam siguran kakve posljedice to ima na rezultat:

[tex]\sum a_n x^n[/tex]
[dtex]R = \frac {1}{\lim_{n \to \infty} \sqrt[n^2]{( n^2 sin{\frac{2}{n^2} )^{n^2}} ( n^2 sin{\frac{2}{n^2} )^2}}} =
\{t = \frac{2}{n}, n \to \infty, t \to 0\} =

\frac{1}{\lim_{t \to 0} (2 \frac {sint}{t}) (\frac {sint}{t})^{2 * t}} = \frac{1}{2}
[/dtex]

Ako netko zna neka pojasni sto se mijenja ako je potencija od [tex]x[/tex] neka fja od [tex]n[/tex], kao npr [tex]n^2 [/tex] kao u ovom zadatku
#120:  Autor/ica: room,  PostPostano: 23:23 ned, 15. 6. 2014
    —
Nisam sigurna dal se može, ali kolegice i ja smo ovdje napravile supstituciju m=n^2 .. i kasnije v=2/m .. i dobijete tablični limes sa sinusom i rješenje je stvarno 1/2. Very Happy

Ako ima još nekoga da zna 3.33 a,b,e i f iz ove skripte: http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/analiza/files/ch3_3.pdf

Samo ideja sa kojim redovima raditi jer mi to ne ide baš. (Al kasno sam se i sjetila pitat. Embarassed )
#121:  Autor/ica: Shirohige,  PostPostano: 0:36 pon, 16. 6. 2014
    —
Pitao sam za ovo kada imamo x^f(n) :
http://math.stackexchange.com/questions/835352/radius-and-interval-of-convergence-of-the-power-series-sum-2n2xn


Sretno na kolokviju.

Već osjećam kako suma mojih bodova konvergira u nulu. Rolling Eyes
#122:  Autor/ica: room,  PostPostano: 0:44 pon, 16. 6. 2014
    —
Hvala puno, sretno i tebi. Pray

I korisna stranica, nisam znala dosad za nju. Thank you
Forum@DeGiorgi -> Matematička analiza 1 i 2


output generated using printer-friendly topic mod. Vremenska zona: GMT + 01:00.

Stranica 1 / 1.

Powered by phpBB © 2001,2002 phpBB Group
Theme created by Vjacheslav Trushkin