Forum@DeGiorgi :: Pogledajte temu - par pitanja iz usmenog

through

[^/[Print]\]

Forum@DeGiorgi -> (Elementarna) teorija brojeva

#1: par pitanja iz usmenog Autor/ica: Gost,

Postano: 11:05 ned, 2. 4. 2006
—
tm. 2.16 henselova lema
f(a+tp^j) razvijemo Taylorov polinom i sad kaže da se
f(a+tp^j)==f(a)+tp^j*f'(a)(mod p^(j+1)) dobije iz tog razvoja. kak??

tm 7.3 pitagorine trojke
u dokazu-> ... z=a+b, x=a-b zaključujemo da je (a,b)=1 po čemu se to vidi?

möbiusova inverzija :kad se raspisuje dokaz, zašto je zadnja suma jednaka f(n)?

mala pomoć. hvala Smile

#2: Re: par pitanja iz usmenog Autor/ica: duje,

Postano: 11:25 ned, 2. 4. 2006
—

Citat:

tm. 2.16 henselova lema
f(a+tp^j) razvijemo Taylorov polinom i sad kaže da se
f(a+tp^j)==f(a)+tp^j*f'(a)(mod p^(j+1)) dobije iz tog razvoja. kak??

f(a)+tp^j*f'(a) su prva dva clana u razvoju. Ostali clanovi su djeljivi sa
p^(2j), a jer je 2j >= j+1, djeljivi su i sa p^(j+1). Dakle, ti clanovi su
== 0 (mod p^(j+1)).

Citat:

tm 7.3 pitagorine trojke
u dokazu→ ... z=a+b, x=a-b zaključujemo da je (a,b)=1 po čemu se to vidi?

Pretpostavka je da je trojka primitivna, sto znaci da su x i z relativno prosti. Kad bi a i b imali neki zajednicki faktor (> 1), onda bi taj faktor dijelio i njihov zboj (sto je z) i njihovu razliku (sto je x), pa x i z ne bi bili relativno prosti. Zato je (a,b)=1.

Citat:

möbiusova inverzija :kad se raspisuje dokaz, zašto je zadnja suma jednaka f(n)?

Po svojstvu funkcije v (tj. ni) (dokazano prije Primjera 5.1), v(n)=0 za n>1, v(1)=1. Tako da su u toj zadnjoj sumi svi pribrojnici jednaki 0, osim pribrojnika u kojem se javlja v(1). A to je pribrojnik koji se dobije za d'=n, tj. pribrojnik f(n)*v(1)=f(n).

#3: Autor/ica: Gost,

Postano: 12:36 ned, 2. 4. 2006
—
e a kod te mobiusove, one sume:
sum_ mi(d)[po d|n] prelazi u sum_mi(d)[po d| n/d'] ??zašto?
jasno mi je da ona druga suma ka onako prelazi jer ako d'|n/d onda sigurno i d'|n

#4: Autor/ica: duje,

Postano: 14:17 ned, 2. 4. 2006
—

Citat:

e a kod te mobiusove, one sume:
sum_ mi(d)[po d|n] prelazi u sum_mi(d)[po d| n/d'] ??zašto?

Ovako kako pise u pitanju i jest malo cudno.
No, i jednu i drugu sumu treba gledati kao dvostruku sumu, tj. sumu po dva parametra: d i d'. Dakle, u stvari se sumira po svim po svim parovima (d,d') za koje vrijedi da d*d' dijeli n. I sad se ta dvostruka suma prikaze na dva nacina:
1. nacin: fiksira se d (takav da d|n), pa se onda odredi uvjet na d' (a to je da d' | n/d);
2. nacin: fiksira se d' (takav da d'|n), pa se onda odredi uvjet na d (a to je da d | n/d').
Tako se dobije jednakost onih dvaju suma iz pitanja.

#5: Autor/ica: e_caduc,

Postano: 13:02 pon, 3. 4. 2006
—
Jos par pitanja, pa ako se nekom da... Smile

- primitivni korijeni modulo p; sto tocno znaci da svaki od brojeva 1, 2, ..., p-1 pripada modulo p nekom eksponentu od d, koji je djelitelj od p-1=fi(p)?

- teorem 3.1.; kako znamo da je svaki kvadratni ostarak modulo p kongruentan kvadratu nekog od brojeva -(p-1)/2, ..., -1, 1, ..., (p-1)/2?

- u dokazu teorema o cetiri kvadrata, zasto je n==0(mod l)?

- korolar 6.2; pise da 'teorem 6.1 ocito vrijedi ako zahtijevamo da su p i q relativno prosti'. kako znamo da postoje takvi relativno prosti p i q?

hvala puno!

#6: Autor/ica: duje,

Postano: 13:46 pon, 3. 4. 2006
—

e_caduc (napisa):

- primitivni korijeni modulo p; sto tocno znaci da svaki od brojeva 1, 2, ..., p-1 pripada modulo p nekom eksponentu od d, koji je djelitelj od p-1=fi(p)?

Po Propoziciji 2.8 red d dijeli fi(p).

e_caduc (napisa):

- teorem 3.1.; kako znamo da je svaki kvadratni ostarak modulo p kongruentan kvadratu nekog od brojeva -(p-1)/2, ..., -1, 1, ..., (p-1)/2?

Po definiciji je kvadratni ostatak kongruentan kvadratu nekog broja relativno prostog s p, pa je kongruentan kvadratu nekog broja iz (bilo kojeg) reduciranog sustava ostataka modulo p. A ono gore je jedan takav sustav.

e_caduc (napisa):

- u dokazu teorema o cetiri kvadrata, zasto je n==0(mod l)?

Imamo: x==x' (mod l), y==y' (mod l), z==z' (mod l), w==w' (mod l),
pa je n==x^2+y^2+z^2+w^2 = lp == 0 (mod l).

e_caduc (napisa):

- korolar 6.2; pise da 'teorem 6.1 ocito vrijedi ako zahtijevamo da su p i q relativno prosti'. kako znamo da postoje takvi relativno prosti p i q?

Znamo da postoje nekakvi p i q sa svojstvom iz Teorema 6.1. Ako ti p i q nisu relativno prosti, onda ih podijelimo s njihovim najvecim zajednicjim djeliteljem. Tako cemo dobiti brojeve p' i q' koji jesu relativno prosti i koji imaju svojstvo iz Teorema 6.1 (ovo zadnje se (nadam se) lako vidi).

#7: Autor/ica: e_caduc,

Postano: 19:27 pon, 3. 4. 2006
—
Hvala jos jednom! Smile

I ako moze jos jedno pitanje.. Smile

U kineskom teoremu o ostacima, ako je x rjesenje sustava, zasto je svako drugo rjesenje y, x==y(mod m)?

#8: Autor/ica: duje,

Postano: 19:38 pon, 3. 4. 2006
—

e_caduc (napisa):

U kineskom teoremu o ostacima, ako je x rjesenje sustava, zasto je svako drugo rjesenje y, x==y(mod m)?

Vrijedi x == y (mod m_i) za i=1,2,..,r. To znaci da je y-x djeljivo sa m_1,m_2,...,m_r, pa je djeljivo i sa njihovim najmanjim zajednickim visekratnikom. No, brojevi m_1,m_2,...,m_r su u parovima relativno prosti, pa im je NZV jednak m_1*m_2*...*m_r = m. Dakle, y-x je djeljivo sa m, a to znaci da je x == y (mod m).

#9: Autor/ica: e_caduc,

Postano: 19:40 pon, 3. 4. 2006
—
Naljepse hvala! Smile

#10: Autor/ica: Gost,

Postano: 18:33 sri, 3. 5. 2006
—
Moze li netko objasnit nesto kod dokaza Kineskog tm?
Radi se o ovome:
Definirali smo m=m1*....mr te nj=m/mj
Tada je (mj,nj)=1 to je jasno e zasto sad ovo::postoji cijeli broj xj td. nj*xj==aj(mod mj)??
Jel tu koristimo tm.2.6 koji govori o potpunom sustavu ostataka modulo m,koji mi isto tako malo klimav Sad

Hvala!!

#11: Autor/ica: duje,

Postano: 21:14 sri, 3. 5. 2006
—

Citat:

Tada je (mj,nj)=1 to je jasno e zasto sad ovo::postoji cijeli broj xj td. nj*xj==aj(mod mj)??

Po Teoremu 2.6, kongruencija nj*x==aj (mod mj) ima jedinstveno rjesenje. I to je taj xj. (Ili se moze pozvati na Tm. 2.5. i dobiti isti zakljucak.)

#12: Autor/ica: menschen,

Postano: 1:09 sri, 14. 2. 2007
—
Imam i ja par nejasnoća ako može... Smile

Kad dokazujemo da je fi multiplikativna funkcija, kako iz tvrdnje da an+bm prolaze reduciranim sustavom ostataka modulo mn slijedi da je fi(m)*fi(n)=fi(mn)?

U dokazu Wilsonovog Teorema smo grupirali brojeve {2,3,...,p-2} u parove (i,j) takve da je i*j==1 (mod p). Zašto to možemo?

Kad dokazujemo da za prosti broj p postoji fi(p) primitivnoh korjena modulo p, označili smo sa psi(d) broj brojeva u nizu 1,2,...,p-1 koji pripadaju nekom eksponentu d, i suma po djeliteljima d od p-1, od psi(d) je jednaka p-1. Kak to i zašto, i zašto točno iz psi(d)=fi(d) slijedi da postoji fi(p-1) primitivnih korjena? Nekak mi nije baš uopće jasan taj dokaz... Embarassed

#13: Autor/ica: duje,

Postano: 7:33 sri, 14. 2. 2007
—

menschen (napisa):

Kad dokazujemo da je fi multiplikativna funkcija, kako iz tvrdnje da an+bm prolaze reduciranim sustavom ostataka modulo mn
slijedi da je fi(m)*fi(n)=fi(mn)?

Brojeva oblika an+bm ima koliko i uređenih parova (a,b), a to je fi(m)*fi(n).
S druge strane, u reduciranom sustavu ostataka modulo mn ima fi(mn) brojeva.

menschen (napisa):

U dokazu Wilsonovog Teorema smo grupirali brojeve {2,3,...,p-2} u parove (i,j) takve da je i*j==1 (mod p). Zašto to možemo?

Broj i je relativno prost s modulom p, pa kongruncija i*j==1 (mod p)
(u kojoj j shvatimo kao nepoznanicu) ima tocno jedno rjesenje.

menschen (napisa):

Kad dokazujemo da za prosti broj p postoji fi(p-1) primitivnoh korjena modulo p,
označili smo sa psi(d) broj brojeva u nizu 1,2,...,p-1 koji pripadaju nekom eksponentu d,
i suma po djeliteljima d od p-1, od psi(d) je jednaka p-1.
Kak to i zašto, i zašto točno iz psi(d)=fi(d) slijedi da postoji fi(p-1) primitivnih korjena?

Svaki broj u nizu 1,2,...,p-1 pripada tocno jednom eksponentu d, i pokazali smo ranije da d|p-1.
Zato je suma po djeliteljima d od p-1, od psi(d) jednaka broju elemenata skupa {1,2,...,p-1},
a to je p-1.
Ako pokazemo da psi(d)=fi(d) za svaki d, onda je posebno i
psi(p-1)=fi(p-1), a psi(p-1) je upravo broj primitivnih korijena,
jer su po definiciji primitivni korijeni upravo oni brojevi koji
pripadaju eksponentu p-1.

#14: Autor/ica: menschen,

Postano: 11:37 čet, 15. 2. 2007
—
Hvala Wink

#15: Autor/ica: Gost,

Postano: 18:38 čet, 15. 2. 2007
—
a zašto je psi(d) različito od nule i kako iz toga slijedi da je psi(d)=fi(d)?

#16: Autor/ica: duje,

Postano: 19:19 čet, 15. 2. 2007
—

Citat:

a zašto je psi(d) različito od nule i kako iz toga slijedi da je psi(d)=fi(d)?

Naprije se dokaze ovo drugo: da psi(d) <> 0 povlaci psi(d)=fi(d).
To je u kripti druga polovica dokaza Teorema 2.19:
promatra je kongruencija x^d == 1 (mod p) ...
(ne znam objasniti puno bolje nego sto sam tamo napisao Embarassed

).

Sada kad to znamo, mozemo dokazati da mora vrijediti
da je psi(d) razlicito od nule.
Znamo da je suma_{d|p-1} phi(d) = suma_{d|p-1} fi(d).
U prvoj sumi imamo dvije vrste pribrojnika:
1) phi(d) koji su razliciti od 0.
Za njih vrijedi phi(d)=fi(d).
2) phi(d) koji su jednaki 0.
Za njih ocito vrijedi phi(d) < fi(d),
jer su fi(d) prirodni brojevi.
Sada je ocito da ako bi postojali pribrojnici druge vrste,
onda bi suma_d phi(d) bila stogo manja od suma_d fi(d).
Zato pribrojnici druge vrste ne postoje, a to znaci
da je psi(d) razlicito od 0 za svaki d.

#17: Autor/ica: Gost,

Postano: 17:27 pet, 16. 2. 2007
—
Imam još 2 pitanja:
1. Eulerov kriterij: kako dobijemo u 3.slučaju iz ij==a(mod p)
a exp{p-1/2}==(p-1)!==-1 (mod p)?
2. jel se pod svojstva i karakterizacije ndz misli na tm i propozicije ispod def.?

#18: Autor/ica: duje,

Postano: 19:51 pet, 16. 2. 2007
—

Citat:

1. Eulerov kriterij: kako dobijemo u 3.slučaju iz ij==a(mod p)
a exp{p-1/2}==(p-1)!==-1 (mod p)?

Izmnoze se sve kongruncije oblika ij==a(mod p).
Produkt lijevih strana je produkt svih brojeva od 1 do p-1, tj. (p-1)!.
Produkt desnih strana je a*a*...*a=a^{(p-1)/2}.
Na kraju se primijeni Wilsonov teorem: (p-1)!==-1 (mod p).

Citat:

2. jel se pod svojstva i karakterizacije ndz misli na tm i propozicije ispod def.?

Misli se na Teorem 1.2 i Propoziciju 1.3 iz skripte.

#19: Autor/ica: Braslav,

Postano: 23:07 pet, 16. 2. 2007
—
Jedno pitanje u vezi Teorema 4.5

Uzmimo da je nasa forma oblika f(x,y)=2x*x+108y*y tada je ocito reducirana pozitivno definitna kvadratna forma.

U teoremu se tvrdi da su najmanje vrijednosti koje svaka reducirana pa i ova forma moze primiti a=2, c=108, a-abs(b)+c=110 i to u tom redoslijedu, ali ocito je da su najmanje vrijednoti koje ova forma prima 2,8,18 i to za (1,0), (2,0), (3,0) Misim da se teorem mora nekako drugacije dokazati... Kako?

#20: Autor/ica: Braslav,

Postano: 23:21 pet, 16. 2. 2007
—
Propozicija 2.17.

4. red dokaza na strani 23.

pokaze se da je f'(xi) nekongruentno 0 (mod p na j)
ali za primjenu henselove leme nam treba da je nekongruentno 0 modulo p, a ne p na j. Mislim ako neki broj ne dijeli p na j to ne znaci da ga ne dijeli p. Kako se pokaze ta nama potrebna nekongruencija?

#21: Autor/ica: duje,

Postano: 0:02 sub, 17. 2. 2007
—

Braslav (napisa):

Jedno pitanje u vezi Teorema 4.5

Uzmimo da je nasa forma oblika f(x,y)=2x*x+108y*y tada je ocito reducirana pozitivno definitna kvadratna forma.

U teoremu se tvrdi da su najmanje vrijednosti koje svaka reducirana pa i ova forma moze primiti a=2, c=108, a-abs(b)+c=110 i to u tom redoslijedu, ali ocito je da su najmanje vrijednoti koje ova forma prima 2,8,18 i to za (1,0), (2,0), (3,0) Misim da se teorem mora nekako drugacije dokazati... Kako?

Gledaju se prave reprezentacije, tj. one koje se postizu za x,y relativno proste. To u skripti nije najbolje naglaseno, ali zbog toga je uzet uvjet da su x,y iz Z\{0}.
Po Propoziciji 4.2, mozemo gledati ili bilo kakve reprezentacije, ili prave reprezentacije, sto god nam vise odgovara. A u ovom dokazu nam vise odgovara gledati prave (upravo zbog problema kojeg ste i vi uocili).

#22: Autor/ica: duje,

Postano: 0:06 sub, 17. 2. 2007
—

Braslav (napisa):

Propozicija 2.17.

4. red dokaza na strani 23.

pokaze se da je f'(xi) nekongruentno 0 (mod p na j)
ali za primjenu henselove leme nam treba da je nekongruentno 0 modulo p, a ne p na j. Mislim ako neki broj ne dijeli p na j to ne znaci da ga ne dijeli p. Kako se pokaze ta nama potrebna nekongruencija?

Tiskarska greska: trebalo je pisati f'(xi) nekongruentno 0 (mod p).

#23: Autor/ica: Gost,

Postano: 8:34 sub, 17. 2. 2007
—
Hvala! Very Happy

#24: Autor/ica: Braslav,

Postano: 20:08 sub, 17. 2. 2007
—

duje (napisa):

Braslav (napisa):

Hvala puno.

#25: Autor/ica: Braslav,

Postano: 22:14 sub, 17. 2. 2007
—
Propozicija 5.4.

Najdoljnji red na 50-toj strani. Kako se dokaze ta jednakost?

#26: Autor/ica: duje,

Postano: 22:23 sub, 17. 2. 2007
—

Braslav (napisa):

Propozicija 5.4.
Najdoljnji red na 50-toj strani. Kako se dokaze ta jednakost?

Isto kao analogna tvrdnja za red suma 1/d^2 po sredini iste stranice.
Naime, |mi(d)| ⇐1, pa se kod ocjene ostatka reda suma mi(d)/d^2 moze zamijeniti sa sumom 1/d^2, a ova s odgovarajucim integralom.

#27: Autor/ica: Braslav,

Postano: 22:49 ned, 18. 2. 2007
—
Teorem 6.9.

lim( n -> beskonacno) | alpha - n-ta konvergenta od alpha | = 0, a ne
sqrt(5) na -1. Kasnije (Hurwitzov teorem) se poziva na rezultat ovoga teorema. Mene zanjima kako bi teorem (6.9) trebao glasiti?

#28: Autor/ica: duje,

Postano: 22:58 ned, 18. 2. 2007
—

Braslav (napisa):

Teorem 6.9.
lim( n → beskonacno) | alpha - n-ta konvergenta od alpha | = 0, a ne
sqrt(5) na -1. Kasnije (Hurwitzov teorem) se poziva na rezultat ovoga teorema. Mene zanjima kako bi teorem (6.9) trebao glasiti?

lim( n → beskonacno) | alpha - p_n / q_n| * q_n^2 = 1/sqrt(5).
Fali faktor (q_n)^2. Embarassed

#29: Autor/ica: Braslav,

Postano: 23:02 ned, 18. 2. 2007
—
Propozicija 5.4. 1) ili 2)

Kako dvostruka suma po n <= x i d | n prelazi u sumu d <=x m <= x/d ?

Ja sam si odgovorio tako sto postoji bijekcija izmedju ta dva skupa znaci
izmedju skupa S={(n,d): n<=x , d|n} i skupa K={(m,d): d<=x, m<=x/d}

(n,d) ---> pridruzuje (m,d) gdje d=d, m=n/d, s inverznom funkcijom
(m,d) ---> (m*d,d)

, no mozda postoji elegantniji nacin da se uvidi. Pa pitam ima li elegantniji nacin da se to uvidi?

#30: Autor/ica: Braslav,

Postano: 13:38 pon, 19. 2. 2007
—
Propozicija 7.5.

Drugi na treci red dokaza. Pise kako je jasno da je (x,y,z) primitivna trojka, ja sam probao dokazati tako da predpostavim da nije, ali nisam znao dovesti do kontradikcije. Molim pomoc.

#31: Autor/ica: Braslav,

Postano: 13:58 pon, 19. 2. 2007
—
Propozicija 7.5

Iz y^2 = (c^2 - a^2) (c^2 + a^2) slijedi da postoje prirodni brojevi r, s
takvi da je

r^2 = c^2 - a^2
s^2 = c^2 + a^2

to slijedi samo ako su c^2 - a^2 i c^2 + a^2 relativno prosti, kako se to (da su c^2 - a^2 i c^2 + a^2 relativno prosti) pokaze?

#32: Autor/ica: vinko, Lokacija: PMF-MO 214

Postano: 14:47 pon, 19. 2. 2007
—

Braslav (napisa):

Propozicija 7.5.

Drugi na treci red dokaza. Pise kako je jasno da je (x,y,z) primitivna trojka, ja sam probao dokazati tako da predpostavim da nije, ali nisam znao dovesti do kontradikcije. Molim pomoc.

Bitan detalj je da pretpostavimo da je to trojka s najmanjom hipotenuzom. Takva mora biti primitivna. Ako nije (dakle ima oblik (da, db, dc) ), onda trojka (a, b, c) ima isto svojstvo, a manju hipotenuzu.

#33: Autor/ica: duje,

Postano: 15:20 pon, 19. 2. 2007
—

Braslav (napisa):

Propozicija 7.5

Iz y^2 = (c^2 - a^2) (c^2 + a^2) slijedi da postoje prirodni brojevi r, s
takvi da je

r^2 = c^2 - a^2
s^2 = c^2 + a^2

to slijedi samo ako su c^2 - a^2 i c^2 + a^2 relativno prosti, kako se to (da su c^2 - a^2 i c^2 + a^2 relativno prosti) pokaze?

Ako prost broj p dijeli c^2 - a^2 i c^2 + a^2, onda mora dijeliti i njihov zbroj 2c^2 i njihovu razliku 2a^2. A jer su c i a relativno prosti, odavde slijedi da p dijeli 2, tj. da je p=2. No, ovo je u suprotnosti s ranije pokazanim da je y^2=c^4-a^4 neparan broj.

#34: Autor/ica: vinko, Lokacija: PMF-MO 214

Postano: 17:48 pon, 19. 2. 2007
—

Braslav (napisa):

Propozicija 5.4. 1) ili 2)

Kako dvostruka suma po n ⇐ x i d | n prelazi u sumu d ⇐x m ⇐ x/d ?

Ja sam si odgovorio tako sto postoji bijekcija izmedju ta dva skupa znaci
izmedju skupa S={(n,d): n⇐x , d|n} i skupa K={(m,d): d⇐x, m⇐x/d}

(n,d) → pridruzuje (m,d) gdje d=d, m=n/d, s inverznom funkcijom
(m,d) → (m*d,d)

, no mozda postoji elegantniji nacin da se uvidi. Pa pitam ima li elegantniji nacin da se to uvidi?

Ja to gledam (mozda i nije elegantnije), da shvatim m kao (u stvari kao 'suprotnog' djelitelja) m*d=n, pa mi je dvostruka suma po n⇐x, d|n u stvari dvostruka suma po m*d⇐x,m⇐x,d⇐x, pa onda jedan uvjet (m⇐x) izbacim, jer je u stvari suvišan, te ostane suma po d⇐x, m⇐x/d.

Al mislim da je to upravo ono pridruživanje opisano ranije...

#35: Autor/ica: Braslav,

Postano: 20:03 pon, 19. 2. 2007
—

vinko (napisa):

Braslav (napisa):

Zar nije da je (x,y,z) trojka s najmanjom hipotenuzom koja ima svojstvo BSO da je x=a^2 z=b^2 za neke brojeve a,b ako bi (x,y,z)=(dx',dy',dz')
tada (x',y',z') ne mora imati svojstvo da su x' i z' kvadrati nekog broja pa prema tome ono prije ostaje najmanja trojka s tim svojstvom. Mozda nesto vidim krivo. Inace hvala na pomoci.

#36: Autor/ica: vinko, Lokacija: PMF-MO 214

Postano: 20:29 pon, 19. 2. 2007
—

Braslav (napisa):

Ispricavam se Embarassed

, nisam bas obratio paznju na detalje:

Koliko mi se cini, mislim da bi to moglo biti ovako nekako: Ako trojka nije primitivna, d je GCD nekih od brojeva.

Pogledajmo prvo slucaj d^2|z, d^2|x. (x i z su kvadrati)
Budući da vrijedi x^2+y^2=z^2, i y bi morao biti djeljiv sa d^2, pa bi onda imali 'manju' trojku (x/d^2,y/d^2,z/d^2).

P.S. U drugom slucaju imamo.

Situacija d^2|z i d|y povlaci d|x, a buduci je x kvadrat slijedi ili d kvadrat ili d^2|x ⇒ d^2|y... u svakom slucaju, NZM trojke je kvadrat prirodnog broja, pa kad podijelimo tim kvadratom, dobili bi ponovo manju trojku s trazenim svojstvom.

Zadnja promjena: vinko; 20:40 pon, 19. 2. 2007; ukupno mijenjano 1 put.

#37: Autor/ica: duje,

Postano: 20:37 pon, 19. 2. 2007
—

Braslav (napisa):

Neka je p neki prosti djelitelj od d. Tada iz px''=a^2, pz''=b^2, slijedi da p dijeli a, b, x'', z''. Zato p^2 dijeli x, z, y, pa je
(x/p^2, y/p^2, z/p^2) trojka s istim svojstvom i manjom hipotenuzom.

Edit: sporo pisem - pretekao me Vinko.

#38: Autor/ica: Braslav,

Postano: 21:03 pon, 19. 2. 2007
—

duje (napisa):

Braslav (napisa):

Hvala obojci. U medjuvremenu sam uspio sam raspisati, svejedno hvala.

#39: Autor/ica: Braslav,

Postano: 21:41 uto, 20. 2. 2007
—
Teorem 2.6

Zasto smo se ogranicili da uzimamo a prirodan kada cijeli teorem vrijedi i za a cijeli?

#40: Autor/ica: Braslav,

Postano: 19:17 sri, 21. 2. 2007
—
Teorem 2.21

Meni se cini i da za n=1 postoji primitivan korijen mod 1, zapravo to je trivijalno zadovoljeno. Jel bi teorem trebao ukljuciti i tu mogucnost znaci n=1? Zasto ne?

#41: Autor/ica: duje,

Postano: 19:53 sri, 21. 2. 2007
—

Braslav (napisa):

Teorem 2.21
Meni se cini i da za n=1 postoji primitivan korijen mod 1, zapravo to je trivijalno zadovoljeno. Jel bi teorem trebao ukljuciti i tu mogucnost znaci n=1? Zasto ne?

Cini se da bi mogao. Meni to izgleda kao "filozofsko" pitanje, a u takvima sam ja slab, pa obicno prepisem formulaciju iz standarne literature.

#42: Autor/ica: Braslav,

Postano: 14:17 pet, 23. 2. 2007
—
Teorem 4.7.

Kako iz x na 2 je kongruentno - y na 2 (mod p) dobijemo da je

-1 legenderovo s p = 1 ?

#43: Autor/ica: duje,

Postano: 14:38 pet, 23. 2. 2007
—

Braslav (napisa):

Teorem 4.7.
Kako iz x na 2 je kongruentno - y na 2 (mod p) dobijemo da je
-1 legenderovo s p = 1 ?

(x^2/p) =1
(-y^2/p) = (-1/p) (y^2/p) = (-1/p)
Buduci da je x^2 == -y^2 (mod p), zakljucujemo da je (-1/p)=1.

#44: Autor/ica: Braslav,

Postano: 20:57 pet, 23. 2. 2007
—
Hvala puno.

#45: Autor/ica: Gost,

Postano: 23:58 pon, 26. 2. 2007
—
ovako,ja imam par stvari koje mi nikako nisu jasne: Rolling Eyes

Zakon najb. apox.
zasto u dokazu ona tvrdnja pod(i) vrijedi,otkuda to,pise da se pozivamo na formulu od ranije?
kod(ii):zasto kad su mi i ni razliciti zbog uvijeta su suprotnih predznaka i kasnije u dokazu ona dva broja koja pretjode imaju isti predznak i na samom kraju posto je ni*mi razlicito 0 tvrdnja vrijedi?

teorem 7.3
u dokazu zakljucujemo(a,b)=1 pa postoje mi n t.d je a=m*2 a b=n*2 otkuda ,zasto to vrijedi? Crying or Very sad

teorem 4.6
a crtica=f(p,r)=n u desnom smjeru dokaza se nalazi ,otkuda to uvodimo?

teorem 3.1
zasto u dokazu kazemo da nam preostaje dokazati da je ocih p-1/2 brojeva medusobno nekongruentno.---veza s iskazom??

teorem 2.19
ovaj dokaz mi uopce nije blizak nimalo Crying or Very sad

zasto je dovoljno dokazati da ako je psi (d) razlicito nuli tada je psi (d)=phi(d) i obrat???
ovo mi nekak upoce nije jasno,,cijeli dokaz Crying or Very sad

eto to je to,pa bilotko ko ima volje i vremna da mi na neko pitanje odgovori biti cu mu unaprijed vema zahvalana!!! Laughing

hvala

#46: Autor/ica: vinko, Lokacija: PMF-MO 214

Postano: 0:54 uto, 27. 2. 2007
—

Anonymous (napisa):

teorem 3.1
zasto u dokazu kazemo da nam preostaje dokazati da je ocih p-1/2 brojeva medusobno nekongruentno.—veza s iskazom??

Zato sto imamo nekih (p-1)/2 brojeva za koje znamo da su kvadrati i znamo da su to svi kvadrati (mod p) - iz prve polovice prve rečenice dokaza.

Možda bi moglo biti da su neki od tih tih brojeva međusobno kongruentni mod p, pa bi onda u stvari imali manje od (p-1)/2 kvadrata mod p (kvadratna ostatka), a više kv. neostataka. Stoga dokazujemo da su svi međusobno različiti (mod p), odnosno da kv. ostataka ima točno (p-1)/2.

#47: Autor/ica: vinko, Lokacija: PMF-MO 214

Postano: 1:12 uto, 27. 2. 2007
—

Anonymous (napisa):

teorem 4.6
a crtica=f(p,r)=n u desnom smjeru dokaza se nalazi ,otkuda to uvodimo?

Nije mi baš jasno pitanje.

f'(x,y)=a'x^2+b'xy+c'y^2 je dobivena iz f matricom {{p,q},{r,s}}.

(4.1) kaže da je a'=f(p,q).

#48: Autor/ica: vinko, Lokacija: PMF-MO 214

Postano: 1:28 uto, 27. 2. 2007
—

Anonymous (napisa):

teorem 7.3
u dokazu zakljucujemo(a,b)=1 pa postoje mi n t.d je a=m*2 a b=n*2 otkuda ,zasto to vrijedi? Crying or Very sad

Krećemo od primitivne Pitagorine trojke (x, y, z). Specijalno (x,z)=1.

Budući je z=a+b, x=a-b, slijedi da (a,b)|(x,z) ⇒ (a,b)=1

Iz c^2=a*b i (a,b)=1 (a i b imaju različite proste faktore) slijedi da je i a i b kvadrat nekog broja, nazovimo ih m i n...

#49: Autor/ica: vinko, Lokacija: PMF-MO 214

Postano: 2:34 uto, 27. 2. 2007
—

Anonymous (napisa):

teorem 2.19
ovaj dokaz mi uopce nije blizak nimalo Crying or Very sad

zasto je dovoljno dokazati da ako je psi (d) razlicito nuli tada je psi (d)=phi(d) i obrat???
ovo mi nekak upoce nije jasno,,cijeli dokaz Crying or Very sad

Kako bas ne mogu spavat, pokusat cu pomoc pri ovom teormu. Dakle, dio je razrijesen nekoliko postova ranije, a valjda je nesto nejasno u drugom dijelu dokaza (raspisujem djelove iz skripte a neke i ne prepisujem).

Neka je a broj koji priprada eksponentu d modulo p (on postoji, jer je psi(d)!=0). Dakle, po definiciji, d je najmanji broj takav da vrijedi a^d==1 (mod p).

x^d==1 (mod p) ima po Lagr. teoremu d rjesenja.

Promotrimo brojeve a, a^2, ..., a^d. Ocito su svi oni rjesenja prethodne kongruencije. I svi su medj. nekongruentni, jer bi iz a^k==a^l (mod p) (1⇐k<l⇐d) slijedilo a^(l-k)==1 (mod p), sto bi bilo u suprotnosti s tim da je d najmanji eksponent za kojeg to vrijedi, pa su to dakle svih d rjesenja prethodne jednadzbe. (Uocimo da neki od tih brojeva ne pripadaju eksponentu d modulo p, nego nekom manjem; npr a^d pripada eksponentu 1; pa pogledajmo koliko ih ima koji pripadaju eksponentu d)

Ako je (m,d)=1 ⇒ a^m pripada eksponentu d modulo p. Stoga phi(d)⇐psi(d).

S druge strane imamo:
Ako je b bilo koji broj koji pripada ekponentu d, b je rjesenje gornje kongruencije, pa je jednak nekom od a^m. Pokazimo da u tom slucaju mora biti (d,m)=1.
Buduci je b^{d/(m,d)}==1(mod p), ako bi bilo (m,d)>1 imali bi kontradikciju s tim da b pripada eksponentu d modulo p (d je po definiciji najmanji eksponent za kojeg to vrijedi, a d/(m,d)<d). Stoga je (m,d)=1.
Pa imamo psi(d)⇐phi(d).

Ukupno imamo phi(d)=psi(d).

#50: Autor/ica: Gost,

Postano: 14:26 uto, 27. 2. 2007
—

Anonymous (napisa):

Zakon najb. aprox.
kod(ii):zasto kad su mi i ni razliciti zbog uvijeta su suprotnih predznaka i kasnije u dokazu ona dva broja koja pretjode imaju isti predznak i na samom kraju posto je ni*mi razlicito 0 tvrdnja vrijedi?

teorem 3.1
zasto u dokazu kazemo da nam preostaje dokazati da je ocih p-1/2 brojeva medusobno nekongruentno.—veza s iskazom??

meni takodjer nisu jasne ove stvari, pa nek nas netko udostoji odgovorom !!
plus imam jos nekih dilema, pa ak se nekom da odgovorit bila bih zahvalna Very Happy

:

tm. 2.14.
zasto se mnoze bas oni umnosci - jer zelimo tako dobit rjesenje kongruencije ili ??

gaussov kv. zakon reciprociteta:
zasto u s1 ima onoliko parova?? i dal na usmenom kad prof pita otkud krajnji zakljucak i mi kazemo da slijedi iz prethodnog tm-a pita i taj tm??

kod definicije mobiusove fje, sta nije mi(1)=-1?? (iako 1 nije prost br, al nismo mi(1) nigdje posebno definirali)

prop.5.4. 2)
otkud znamo sum {m⇐x/d} od m= 1/2 [x/d] ([x/d]+1) ??

tm. 5.5.
ne kuzim kako tocno krajnji zakljucak slijedi iz prethone dvostruke sume..

eto, znam da ima toga, al valjda se jos nekom nece spavati..

u svakom slucaju, hvala!!

#51: Autor/ica: duje,

Postano: 16:30 uto, 27. 2. 2007
—

Citat:

mi i ni su razlicitih predznaka zbog
mi*q_n + ni*q_{n-1} = q i 1 ⇐ q ⇐ q_n
(ako bi oba bili negativni, onda bi bilo q<0, a ako bi oba bili pozitivni, onda bi bilo q> q_n).
"Ona dva broja" imaju iste preznake jer se mi i ni tu mnoze s dvije zagrade koje imaju razlicite preznake (vidi npr. dokaz Teorema 6.6),
pa nakon tog mnozenja produkti imaju iste predznake.
"Ono na samom kraju": ako je mi*ni <>0, onda je |mi|>=1 ili |mi|>=1.
Kad se to uvrsti, dobije se trazeni zakljucak.

Citat:

teorem 3.1
zasto u dokazu kazemo da nam preostaje dokazati da je ocih p-1/2 brojeva medusobno nekongruentno.—veza s iskazom??
meni takodjer nisu jasne ove stvari, pa nek nas netko udostoji odgovorom !!

Meni se cini da je Vinko sasvim lijepo objasnio ovo vezano uz Teorem 3.1.

Citat:

tm. 2.14.
zasto se mnoze bas oni umnosci - jer zelimo tako dobit rjesenje kongruencije ili ??

Zelimo dobiti rjesenje. Ovo je jedan nacin.

Citat:

gaussov kv. zakon reciprociteta:
zasto u s1 ima onoliko parova?? i dal na usmenom kad prof pita otkud krajnji zakljucak i mi kazemo da slijedi iz prethodnog tm-a pita i taj tm??

Redovito pita iskaz. A dokaz ne pita, osim ako sam student ne pokaze zelju dokazivati ga.

Citat:

kod definicije mobiusove fje, sta nije mi(1)=-1?? (iako 1 nije prost br, al nismo mi(1) nigdje posebno definirali)

Koliko broj 1 ima prostih faktora? Odgovor: 0.
Zato je mi(1)=(-1)^0 = 1.

Citat:

prop.5.4. 2)
otkud znamo sum {m⇐x/d} od m= 1/2 [x/d] ([x/d]+1) ??

Zato sto je 1+2+...+n=1/2*n*(n+1).

Citat:

tm. 5.5.
ne kuzim kako tocno krajnji zakljucak slijedi iz prethone dvostruke sume..

Pogledajte definiciju od Lambda. Iz nje se vidi da se u obje sume u zadnjoj jednakosti sumiraju pribrojnici oblika ln(p_i). I sada treba samo vidjeti koliko se puta u drugoj (zadnjoj) sumi pojavljuje pribrojnik
ln(p_i). A to je tocno onoliko puta koliko ima brojeva oblika (p_i)^e koji dijele n.

#52: Autor/ica: Gost,

Postano: 23:13 uto, 27. 2. 2007
—
hvala hvala svima....
ja jos imam par pitanja vezanih uz teorem 2.19.
u biti sada mi je vec vecina toga jasna kroz sami dokaz i sama ideja ,ali

Ako je (m,d)=1 ==> a^m pripada eksponentu d modulo p. Stoga phi(d)<=psi(d).

zasto ova tvrdnja gore vrijedi u vinkovom raspisu?kakve konkretne veze ima phi(d) i psi(d) s time da je (m,d)=1 to nemogu nikako povezati?

Pokazimo da u tom slucaju mora biti (d,m)=1.
Buduci je b^{d/(m,d)}==1(mod p), ako bi bilo (m,d)>1 imali bi kontradikciju s tim da b pripada eksponentu d modulo p (d je po definiciji najmanji eksponent za kojeg to vrijedi, a d/(m,d)<d). Stoga je (m,d)=1.
Pa imamo psi(d)<=phi(d).
opet zasto ovo prethodno vrijedi jasno mi je zasto (m,d) mora biti jedan al kakve to ima veze s psi i phi?kako povlacimo paralelu???

hvala

drugo pitanje da li se pod pitanjem jacobijev simbol definicija i osnovna svojstva misli i na ona dva dokaza (dvije propozicije s (1/Q) i (P/Q)) ili samo na iskaz odnosno samo definicija i vezana svojatva?

hvala

#53: Autor/ica: duje,

Postano: 6:07 sri, 28. 2. 2007
—

Citat:

da li se pod pitanjem jacobijev simbol definicija i osnovna svojstva misli i na ona dva dokaza (dvije propozicije s (1/Q) i (P/Q)) ili samo na iskaz odnosno samo definicija i vezana svojatva?

Misli se na Propozicije 3.7, 3.8 i 3.9. Dakle, i na ta dva dokaza.

#54: Autor/ica: vinko, Lokacija: PMF-MO 214

Postano: 8:35 sri, 28. 2. 2007
—

Anonymous (napisa):

hvala hvala svima....
ja jos imam par pitanja vezanih uz teorem 2.19.
u biti sada mi je vec vecina toga jasna kroz sami dokaz i sama ideja ,ali

Ako je (m,d)=1 ⇒ a^m pripada eksponentu d modulo p.

Imamo: a pripada eksp. d, to znaci: a^d=1 (mod p) i d je najmanji takav broj. Stoga za svaki e vrijedi a^e=1(mod p) ⇒ d|e.

Ako je d' bilo koji prirodni broj za koji vrijedi (a^m)^d'=a^{m*d'}=1 (mod p) ⇒ d|m*d'.
Buduci da (m,d)=1 slijedi da mora biti i d|d', odnosno da d' nije manji od d, odnosno da je d najmanji, odnosno da a^m pripada eksp. d

Anonymous (napisa):

Stoga phi(d)⇐psi(d).

zasto ova tvrdnja gore vrijedi u vinkovom raspisu?kakve konkretne veze ima phi(d) i psi(d) s time da je (m,d)=1 to nemogu nikako povezati?

Po definiciji (2.3), phi(d) je broj brojeva u nizu 1, 2, ..., d koji su relativno prosti sa d, a psi(d) nam je broj brojeva koji pripadaju eksponentu d.
Kako smo pokazali da za svaki broj m koji je relativno prost sa d (uz uvjet iz skripte m⇐d) postoji broj (a^m, koji su medj. razliciti) koji pripada eksp. d (ako je zgodnije skupovno: imamo injekciju sa prvog na drugi skup),
zakljucujem phi(d)⇐psi(d)

Anonymous (napisa):

Pokazimo da u tom slucaju mora biti (d,m)=1.
Buduci je b^{d/(m,d)}==1(mod p), ako bi bilo (m,d)>1 imali bi kontradikciju s tim da b pripada eksponentu d modulo p (d je po definiciji najmanji eksponent za kojeg to vrijedi, a d/(m,d)<d). Stoga je (m,d)=1.
Pa imamo psi(d)⇐phi(d).
opet zasto ovo prethodno vrijedi jasno mi je zasto (m,d) mora biti jedan al kakve to ima veze s psi i phi?kako povlacimo paralelu???

Isto kao proslo pitanje. Mislim da fali dio recenice iz mog posta:

Ako je b bilo koji broj koji pripada ekponentu d, .... Pokazimo da u tom slucaju mora biti (d,m)=1.

Nadam se da je jasnije.

#55: Autor/ica: Gost,

Postano: 0:12 čet, 1. 3. 2007
—
imam pitanje vezano jos uz asimptotsko ponasanje arit funkcija,od sigma i tau:
Sto konkretno znaci 0(x) ili 0(x/d) znamo sto znaci kada pise f(x)=(0(g(x))).
zasto u dokazu kos asimptotike tau funkcije suma po d ovima od(x/d +0(1)) prelazi u lnx i 0(x) i kakve ima veze u drugom dijelu dokaza od sigma(n) s ***onim sumama *** iz kojih dobivamo 0(1/x)?
zasto u raspisu sigma (n) dobivamo 0(x)+0(xlnx)--konkretno opet sta to znaci??

hvala

#56: Autor/ica: duje,

Postano: 7:10 čet, 1. 3. 2007
—

Citat:

Sto konkretno znaci 0(x) ili 0(x/d) znamo sto znaci kada pise f(x)=(0(g(x))).
zasto u dokazu kos asimptotike tau funkcije suma po d ovima od(x/d +0(1)) prelazi u lnx i 0(x)

O je zamjena za (razlicite) konstante (koje cu dolje uznaciti ca C,D,E,F,...), koje ili ne znamo izracunati ili nas ne zanimaju u tom trenutku.
suma_{d⇐x} (x/d + O(1)) ⇐ suma_{d⇐x} (x/d + C*1) = x*suma_{d⇐x) 1/d + C*suma_{d⇐x} 1 ⇐ x*(ln(x)+D)+C*x = x*ln(x) + E*x = x*ln(x) + O(x).

Citat:

i kakve ima veze u drugom dijelu dokaza od sigma(n) s ***onim sumama *** iz kojih dobivamo 0(1/x)?

Kod tau(n) smo iz sume izlucili x, pa je ostalo suma_d 1/d, sto je divergentan red cije smo asimptotsko ponasanje ocjenjivali.
Kod sigma(n) se izluci x^2, pa ostane suma_d 1/d^2. Ovo je suma konvergentnog reda i tu sumu onda treba izracunati, te ocjeniti ostatak kad se suma "odreze" na d⇐x.

Citat:

zasto u raspisu sigma (n) dobivamo 0(x)+0(xlnx)–konkretno opet sta to znaci??

Imamo:
1/2*x^2 suma_{d⇐x} 1/d^2 + F*x suma_{d⇐x} 1/d ⇐
1/2*x^2 (pi^2/6 + G*1/x) + F*X*(ln(x) + H) ⇐
1/12*pi^2*x^2 + I*x + F*x*ln(x) + J*x =
1/12*pi^2*x^2 + F*x*ln(x) + K*x ⇐
1/12*pi^2*x^2 + L*x*ln(x) = 1/12*pi^2*x^2 + O(x*ln(x)).

#57: Autor/ica: Ada,

Postano: 19:28 pet, 2. 3. 2007
—
evo,ja tek pocela ucit i vec zapela. Embarassed

Kod dokaza Kineskog teorema:
Kad promatramo x_0,zasto vrijedi da je x_0==n_j*x_j?iz cega to slijedi?

#58: Autor/ica: duje,

Postano: 20:11 pet, 2. 3. 2007
—

Ada (napisa):

Kod dokaza Kineskog teorema:
Kad promatramo x_0,zasto vrijedi da je x_0==n_j*x_j?iz cega to slijedi?

Svi ostali pribrojnici n_i*x_i za i<>j su kongruentni 0 modulo m_j, zato sto je n_i produkt svih m_k-ova osim i-tog, pa se u tom produktu nalazi m_j.

#59: Autor/ica: Ada,

Postano: 20:19 pet, 2. 3. 2007
—
Aaaahaaa Idea

Puno hvala!!

#60: Autor/ica: Ada,

Postano: 9:42 uto, 6. 3. 2007
—
Dokaz Gaussovog kvadratnog zakona reciprociteta:
Nije mi jasno zasto se skup S dijeli na dva disjunktna skupa prema tome da li je qx>py ili <?zasto ne moze biti qx=py?

#61: Autor/ica: duje,

Postano: 10:22 uto, 6. 3. 2007
—

Ada (napisa):

Dokaz Gaussovog kvadratnog zakona reciprociteta:
Nije mi jasno zasto se skup S dijeli na dva disjunktna skupa prema tome da li je qx>py ili <?zasto ne moze biti qx=py?

Razmislite moze li p dijeliti q i moze li p dijeliti x. (Odgovor je ne, na oba pitanja.)

#62: Autor/ica: Ada,

Postano: 15:24 pet, 9. 3. 2007
—
U jednom od prethodih postova rekli ste da se pod "svojstva i karakterizacija NZD" podrazumjevaju teorem1.2. i prop.1.3.Treba znat i njihove dokaze?

#63: Autor/ica: duje,

Postano: 15:29 pet, 9. 3. 2007
—

Ada (napisa):

U jednom od prethodih postova rekli ste da se pod "svojstva i karakterizacija NZD" podrazumjevaju teorem1.2. i prop.1.3.Treba znat i njihove dokaze?

Da.

#64: Autor/ica: Ema,

Postano: 0:52 sub, 10. 3. 2007
—
imam i ja jedno pitanje
2.12.
n=p_1^a_1*...*p_k^a_k
zasto zbog multiplikativnosti od phi imamo suma[d|n]phi(d)=pi[i=1 do k] (1+phi(p_i)+...+phi(p_i^a_i)) ? i kako dalje ?
hvala

#65: Autor/ica: goranm,

Postano: 2:20 sub, 10. 3. 2007
—
Što sve spada pod pitanje o linearnim kongruencijama?
Sve propozicije (Prop 2.1,2.2,2.3) i svi teoremi (2.4,2.5,2.6)?

#66: Autor/ica: duje,

Postano: 7:51 sub, 10. 3. 2007
—

goranm (napisa):

Što sve spada pod pitanje o linearnim kongruencijama?
Sve propozicije (Prop 2.1,2.2,2.3) i svi teoremi (2.4,2.5,2.6)?

Misli se na teorem 2.6 (s dokazom). Kroz potpitanja bi se vjerojatno mogli pojaviti i iskazi teorema 2.4 i 2.5.

#67: Autor/ica: duje,

Postano: 7:58 sub, 10. 3. 2007
—

Ema (napisa):

imam i ja jedno pitanje
2.12.
n=p_1^a_1*...*p_k^a_k
zasto zbog multiplikativnosti od phi imamo suma[d|n]phi(d)=pi[i=1 do k] (1+phi(p_i)+...+phi(p_i^a_i)) ? i kako dalje ?
hvala

Objasnjenje je dano u recenici nakon formule (mozda je malo nespretno sto je najprije navedena formula, a tek onda njezino obrazlozenje, ali mislio da ce to biti jasno zbog onog "Naime"). Ako i dalje nije jasno, pitajte.

A za dalje bi trebalo biti lako. Samo se iskoristi formula
phi(p^a)=p^a - p^{a-1} (dokazana u prethodnom teoremu); uvrsti se u formulu i skoro sve se pokrati.

#68: Autor/ica: Ema,

Postano: 21:29 sub, 10. 3. 2007
—
tm 2.11.
pokazujemo da je phi multiplikativna, tj moramo dobiti za neke relativno proste m i n da je phi(m)phi(n)=phi(mn)
i sada brojimo sve (a,b) koji idu po reduciranim skupovima ostataka modulo m i modulo n i njih ima phi(m)*phi(n)
i sada bi trebali pokazati da za a i b koji idu po reduciranim skupovima ost mod m i mod n, broj an+bm ide po reduciranom skupu ostataka modulo mn.tj,
1) da je an+bm relativno prost sa mn
2) da su svaka dva broja tog oblika medusobno nekongruentna (inace bi ih bilo manje nego sto nam treba)
3) da za svaki broj c koji je relativno prost s mn vrijedi
c==an+bm(mod mn)

i sada u dokazu ovog treceg djela za (c,mn)=1 i zbog (m,n)=1 postoje x i y t.d. mx+ny=1,
zasto je ocito (cy,m)=1
moze li to ovako (c,mn)=1, i (m,n)=1 => (c,m)=1 i iz jednakosti slijedi (m,y)=1, pa je onda i (cy,m)=1 ?
i da li je sada cy==a(mod m) zbog pretpostavke na a (da prolazi skupom reduciranih ostataka mod m)?

samo me zanima da li su ova moja objasnjenja dobra, i postoje li neka jednostavnija?

hvala

Zadnja promjena: Ema; 21:59 sub, 10. 3. 2007; ukupno mijenjano 1 put.

#69: Autor/ica: duje,

Postano: 21:54 sub, 10. 3. 2007
—

Citat:

samo me zanima da li su ova moja objasnjenja dobra

Skoro.
"neke relativno proste m i n" bi trebalo biti "sve relativno proste m i n"
"3) da za svaki broj c koji je relativno prost s mn vrijedi c==an+bm(mod mn)" ovdje fali "za neki a relativno prost s m i neki b relativno prost s n"
"(c,mn)=1, i (m,n)=1 ⇒ (c,m)=1" ovdje je "(m,n)=1" suvisno; ako c nema zajendicki faktora sa mn, onda nema ni sa m.
"i da li je sada cy==a(mod m) zbog pretpostavke na a (da prolazi skupom reduciranih ostataka mod m)?" treba naci neki a s trazenim svojstvom i mi smo upravo pokazali da cy ima to svojstvo, pa mozemo staviti a=cy (ili a==cy (mod m)).

#70: Autor/ica: Ema,

Postano: 0:45 ned, 11. 3. 2007
—
hvala profesore evo imam jos jedno pitanje prije spavanja
Teorm o 4 kvadrata

kako iz prvog identiteta slijedi da je tvrdnju provjeriti samo za proste brojeve?

... po Dirichletovom principu dva među njima daju isti ostatak pri djeljenju s p. ovo sto dalje slijedi mi nije jasno ni zasto slijedi, ni kako to negdje primjenimo?

#71: Autor/ica: duje,

Postano: 1:18 ned, 11. 3. 2007
—

Ema (napisa):

Teorm o 4 kvadrata
kako iz prvog identiteta slijedi da je tvrdnju provjeriti samo za proste brojeve?

Identitet pokazuje da ako se svi faktori nekog broja mogu prikazati kao sume 4 kvadrata, onda se i taj broj moze prikazati kao suma 4 kvadrata. A znamo da je svaki prirodan broj produkt prosti faktora. Pa povezemo ove dvije tvrdnje.

Citat:

... po Dirichletovom principu dva među njima daju isti ostatak pri djeljenju s p. ovo sto dalje slijedi mi nije jasno ni zasto slijedi, ni kako to negdje primjenimo?

Imamo p+1 brojeva (kuglica), a p mogucih ostataka (kutija), pa barem dva od navedenih brojeva daju isti ostatak pri dijeljenju sa p.
Brojeve smo napisali u dva reda: oni u prvom imaju oblik nesto na kvadrat, a oni u drugom (- kvadrat -1). Ta dva koji daju isti ostatak su ili oba iz prvog reda ili oba iz drugog ili jedan iz prvog, a jedan iz drugog. No, iz Teorema 3.1 slijedi da brojevi u istom redu daju razlicite ostatke.
Stoga postiji jedan broj iz prvog reda (recimo x^2) i jedan broj iz drugog reda (recimo -y^2-1) koji daju isti ostatak pri dijeljenju sa p. To mozemo zapisati kao x^2 == -y^2 -1 (mod p), odnosno x^2+y^2+1 == 0 (mod p), odnosno p|(x^2+y^2+1).

#72: Autor/ica: goranm,

Postano: 20:46 čet, 15. 3. 2007
—
U propoziciji 5.4 b), iz čega slijedi da je

#73: Autor/ica: vinko, Lokacija: PMF-MO 214

Postano: 21:38 čet, 15. 3. 2007
—

goranm (napisa):

U propoziciji 5.4 b), iz čega slijedi da je

Duje je na to odgovorio: http://degiorgi.math.hr/forum/viewtopic.php?p=73510#73510

#74: Autor/ica: goranm,

Postano: 22:34 čet, 15. 3. 2007
—

vinko (napisa):

goranm (napisa):

U propoziciji 5.4 b), iz čega slijedi da je

Duje je na to odgovorio: http://degiorgi.math.hr/forum/viewtopic.php?p=73510#73510

Ispričavam se onda na ponavljanju pitanja, vidio sam taj post, ali nisam prepoznao izraz u plain textu.

#75: Autor/ica: goranm,

Postano: 20:58 ned, 18. 3. 2007
—
Može li netko pojasniti zašto u Teoremu 5.5. vrijedi

Zašto se izgube ove alphe?

#76: Autor/ica: duje,

Postano: 21:23 ned, 18. 3. 2007
—

goranm (napisa):

Može li netko pojasniti zašto u Teoremu 5.5. vrijedi

Zašto se izgube ove alphe?

broji koliko ima potencija od p_i koje dijele n, a njih ima upravo

, jer e moze biti 1 ili 2 ili ... ili

#77: Autor/ica: Lara,

Postano: 17:43 čet, 22. 3. 2007
—
Kod Gaussova zakona reciprociteta...

Zasto S1 i S2 imaju ovoliko elemenata? Mislim, sve mi je jasno osim zasto je nuzno qx/p<(q-1)/2 odnosno zasto je py/q<(p-1)/2.

Dakle, pitam zasto uvjet:
1=<y<=(q-1)/2 & qx>py
mogu zamijeniti s
1=<y<qx/p?

#78: Autor/ica: duje,

Postano: 18:26 čet, 22. 3. 2007
—

Lara (napisa):

Kod Gaussova zakona reciprociteta...

Zasto S1 i S2 imaju ovoliko elemenata? Mislim, sve mi je jasno osim zasto je nuzno qx/p<(q-1)/2 odnosno zasto je py/q<(p-1)/2.

Dakle, pitam zasto uvjet:
1=<y⇐(q-1)/2 & qx>py
mogu zamijeniti s
1=<y<qx/p?

Iz qx/p ⇐ q(p-1)/(2p) < q/2 slijedi [qx/p] ⇐ (q-1)/2.
Iz py/q ⇐ p(q-1)/(2q) < p/2 slijedi [py/q] ⇐ (p-1)/2.
(Ovdje mi [ ] oznacava najvece cijelo.)

#79: Autor/ica: Lara,

Postano: 0:43 pet, 23. 3. 2007
—
Hvala:)

I imam jos jedno pitanje:

Zasto vrijede ova dva izraza na dnu 62.stranice? Radi se o teoremu 6.3. odnosno rekurziji za pn i qn?

I zasto na pocetku 63.stranice iz jednakosti dva razlomka zakljucujemo da je brojnik prvog jednak brojniku drugog i isto za nazivnik?

Vjerojatno je blesavo pitanje, al nije mi ostalo vremena za razmisljanje. Embarassed

#80: Autor/ica: Gost,

Postano: 16:52 uto, 8. 5. 2007
—
Što znači da je broj n kvadratno slobodan?

#81: Autor/ica: Gost,

Postano: 20:16 uto, 8. 5. 2007
—

Anonymous (napisa):

Što znači da je broj n kvadratno slobodan?

prosti faktori se u njegovoj faktorizaciji pojavljuju s potencijama 0 ili 1

#82: Autor/ica: goranm,

Postano: 22:14 sri, 9. 5. 2007
—

Anonymous (napisa):

Što znači da je broj n kvadratno slobodan?

n je kvadratno slobodan ako je 1 najveći kvadrat koji ga dijeli.

Skripta strana 8, ispod zadatka 1.4.

#83: Autor/ica: Gost,

Postano: 11:42 čet, 10. 5. 2007
—
Kako znamo da vrijedi:

(p-1)!=[1*2*...*((p-1)/2)]*[(p-1)(p-2)(p-(p-1)/2)]==[((p-1)/2)!]^2 (mod p)

To je u dokazu onog teorema poslije Wilsonovog.
Hvala.

#84: Autor/ica: vinko, Lokacija: PMF-MO 214

Postano: 11:52 čet, 10. 5. 2007
—

Anonymous (napisa):

Kako znamo da vrijedi:

(p-1)!=[1*2*...*((p-1)/2)]*[(p-1)(p-2)(p-(p-1)/2)]==[((p-1)/2)!]^2 (mod p)

To je u dokazu onog teorema poslije Wilsonovog.
Hvala.

U drugom dijelu izraza su svi brojevi djeljivi sa p osim -1*-2*-3...*-(p-1)/2
Budući da p daje ostatak 1 pri djeljenju sa 4, taj broj je jednak prvom djelu izraza.

#85: Autor/ica: Meri, Lokacija: Zagreb, Zaaaaagreb...tararam...

Postano: 0:48 uto, 10. 7. 2007
—
ahm....pitanje Smile

59.strana, tm koji govori o rekurzijama za p' i q';
otkuda se vidi da je
p'(n-1) = a(n)*p'(n-2) + p'(n-3) i
q'(n-1) = a(n)*q'(n-2) + q'(n-3)?

hvala:)

Zadnja promjena: Meri; 1:21 sri, 11. 7. 2007; ukupno mijenjano 1 put.

#86: Autor/ica: vinko, Lokacija: PMF-MO 214

Postano: 1:33 uto, 10. 7. 2007
—

Meri (napisa):

ahm....pitanje Smile

59.strana, tm koji govori o rekurzijama za p' i q';
otkuda se vidi da je
p'(n-1) = a(n-1)*p'(n-2) + p'(n-3) i
q'(n-1) = a(n-1)*q'(n-2) + q'(n-3)?

hvala:)

Dokaz ide indukcijom. Pretpostavili smo da tvrdnja vrijedi za n-1, pa stoga i za ver. razlomak [a1,a2, ..., a_{n-1},a_n]

#87: Autor/ica: Meri, Lokacija: Zagreb, Zaaaaagreb...tararam...

Postano: 17:34 uto, 10. 7. 2007
—
jos jedno pitanje:)
prop. 3.7. (i)
iz ceg mogu zakljucit (p/q)*(p/q') = (p/q*q')?
hvala:)

#88: Autor/ica: Glupko_3.14,

Postano: 22:31 čet, 27. 9. 2007
—
zanima me u Propoziciji 1.6. kako je moguce da

(prvi red dokaza, druga opcija)
jer se meni cini da je nemoguce! Joj, joj, joj,... JOOOJ!

#89: Autor/ica: vinko, Lokacija: PMF-MO 214

Postano: 23:58 čet, 27. 9. 2007
—

Glupko_3.14 (napisa):

zanima me u Propoziciji 1.6. kako je moguce da

(prvi red dokaza, druga opcija)
jer se meni cini da je nemoguce! Joj, joj, joj,... JOOOJ!

Mislim da treba ići

(što je očito), a dovoljno da u sljedećem redu zaključimo da je

, a iz prve polovice te nejednakosti se vidi

#90: Autor/ica: duje,

Postano: 8:25 pet, 28. 9. 2007
—

Glupko_3.14 (napisa):

zanima me u Propoziciji 1.6. kako je moguce da

(prvi red dokaza, druga opcija)
jer se meni cini da je nemoguce!

Davno sam to obecao popraviti Embarassed

#91: Autor/ica: Glupko_3.14,

Postano: 14:08 pet, 28. 9. 2007
—
hvala na odgovorima, bas me to jako mucilo, a onda jos i to sto me muci nesto na 6. stranici skripte Laughing

#92: Autor/ica: Glupko_3.14,

Postano: 14:45 ned, 30. 9. 2007
—
u Tm. 6.3. na str. 59

i analogna rekurzija za

mi nisu bas najjasnije. da li se to lako vidi?
jer nije nista komentirano, a meni se na prvi pogled cini jednako ocito kao i sama tvrdnja teorema, dakle ne toliko ocito da ne treba dokaz Very Happy

#93: Autor/ica: duje,

Postano: 14:52 ned, 30. 9. 2007
—

Glupko_3.14 (napisa):

u Tm. 6.3. na str. 59

i analogna rekurzija za

mi nisu bas najjasnije. da li se to lako vidi?
jer nije nista komentirano, a meni se na prvi pogled cini jednako ocito kao i sama tvrdnja teorema, dakle ne toliko ocito da ne treba dokaz

Jednakosti

vrijede po pretpostavci indukcije.

#94: Autor/ica: Glupko_3.14,

Postano: 14:58 ned, 30. 9. 2007
—
Hvala na odgovoru, nisam ja nepromisljeno odabrala forumski nick Laughing

#95: Autor/ica: Glupko_3.14,

Postano: 18:59 ned, 30. 9. 2007
—
u Teoremu 6.17. (Liuville) na str.71. u dokazu imamo:

, gdje je

,
kako smo dobili tu ocjenu?
vidim da mozemo izluciti

iz sume, i

se valjda upotrijebi, ali ne znam kako tocno.

#96: Autor/ica: duje,

Postano: 19:19 ned, 30. 9. 2007
—

Glupko_3.14 (napisa):

u Teoremu 6.17. (Liuville) na str.71. u dokazu imamo:

, gdje je

,
kako smo dobili tu ocjenu?
vidim da mozemo izluciti

iz sume, i

se valjda upotrijebi, ali ne znam kako tocno.

Osim izlucivanja

i pretpostavke

, koristi se jos nejednakost trokuta (apsolutna vrijednost sume ⇐ suma apsolutnih vrijednosti) i nejednakost

#97: Autor/ica: Glupko_3.14,

Postano: 21:07 ned, 30. 9. 2007
—
hvala, nikako da podignem kvalitetu pitanja Laughing

u dokazu Tm.8.2. na str.85.

je nultocka polinoma

pa zakljucujemo da brojevi a i c moraju biti cijeli jer je

algebarski cijeli broj.
kako znamo da je f(x) minimalni polinom od

i da li je to uopce potrebno da bi zakljucili da su a i c cijeli brojevi?

#98: Autor/ica: duje,

Postano: 21:22 ned, 30. 9. 2007
—

Glupko_3.14 (napisa):

hvala, nikako da podignem kvalitetu pitanja Laughing

u dokazu Tm.8.2. na str.85.

je nultocka polinoma

pa zakljucujemo da brojevi a i c moraju biti cijeli jer je

algebarski cijeli broj.
kako znamo da je f(x) minimalni polinom od

i da li je to uopce potrebno da bi zakljucili da su a i c cijeli brojevi?

Pa vi ste dosli skoro do kraja skripte Shocked

Ovdje se koristi Tm.6.16 i definicija algebarskog cijelog broja.

#99: Autor/ica: Glupko_3.14,

Postano: 21:51 ned, 30. 9. 2007
—
hvala jos jednom.
dakle, ovakav je slijed zakljucivanja: iz Tm 6.16.imamo da minimalni polinom sigurno dijeli f, a jedini polinom stupnja manjeg od 2 (sto je onda 1) i ponistava alfa bi bio

, no on nema racionalne koeficijente posto

nije racionalan → f je minimalni polinom koji ponistava alfa. (?)

duje (napisa):

Pa vi ste dosli skoro do kraja skripte Shocked

mislite li da je to cudno s obzirom na moje intelektualne sposobnosti? Laughing

retoricko je pitanje, naravno Very Happy

#100: Autor/ica: duje,

Postano: 6:16 pon, 1. 10. 2007
—
Dobro je zakljucivanje.

#101: Autor/ica: Glupko_3.14,

Postano: 15:56 pon, 1. 10. 2007
—
u zakonu najboljih aproksimacija, tm. 6.12., str 64, pretpostavka na p i q (druga tvrdnja) je da su cijeli brojevi?
hvala!

#102: Autor/ica: duje,

Postano: 16:46 pon, 1. 10. 2007
—

Glupko_3.14 (napisa):

u zakonu najboljih aproksimacija, tm. 6.12., str 64, pretpostavka na p i q (druga tvrdnja) je da su cijeli brojevi?

Da.

#103: Autor/ica: Gost,

Postano: 16:08 ned, 6. 7. 2008
—
Je li mozete objasnit zadnji korak u dokazu Wilson-ovog teorema, tj. otkud sad (p-1)!==1*1*(p-1)==-1(mod p)
znam da su ove jedinice tu kako bi mi lakse shvatli postupak al meni ne pomazu
hvala

#104: Autor/ica: duje,

Postano: 16:19 ned, 6. 7. 2008
—

Citat:

Je li mozete objasnit zadnji korak u dokazu Wilson-ovog teorema, tj. otkud sad (p-1)!==1*1*(p-1)==-1(mod p)
znam da su ove jedinice tu kako bi mi lakse shvatli postupak al meni ne pomazu
hvala

(p-1)! = 1*(2*3*...*(p-2))*(p-1).
Ova zagrada (2*3*...*(p-2)) je == 1 (mod p), pa je
(p-1)! == 1*1*(p-1) = p-1 == -1 (mod p).

#105: Autor/ica: frutabella,

Postano: 11:03 pet, 8. 6. 2012
—
Pod prvim pitanjem: najveci zajednicki djelitelj; svojstva i karakterizacija ---> Ja bi odgovorila sam DEF 1.2., da li se tu podrazumjeva pod svojstvima i TM 1.2., ako da, da li onda i dokaz tog teorema?

#106: Autor/ica: duje,

Postano: 13:01 pet, 8. 6. 2012
—

frutabella (napisa):

Pod prvim pitanjem: najveci zajednicki djelitelj; svojstva i karakterizacija → Ja bi odgovorila sam DEF 1.2., da li se tu podrazumjeva pod svojstvima i TM 1.2., ako da, da li onda i dokaz tog teorema?

definicija je def.1.2; a karakterizacija je Teorem 1.2 (i dokaz).

Forum@DeGiorgi -> (Elementarna) teorija brojeva

output generated using printer-friendly topic mod. Vremenska zona: GMT + 01:00.

Stranica 1 / 1.