Forum@DeGiorgi :: Pogledajte temu - Očekivanje i varijanca

through

[^/[Print]\]

Forum@DeGiorgi -> Vjerojatnost

#1: Očekivanje i varijanca - zadaci Autor/ica: Gost,

Postano: 13:27 čet, 25. 5. 2006
—
Da li netko riješio 7. zadatak sa dodatnih materijala? Glasi ovako:

Slucajna varijabla X ima razdiobu P(X = (n − 1)^2 ) = 2^(− n) /(n ln 2).
Izracunajte EX.

Meni ispada 0, a piše da je rješenje 2/ln 2 + 1.

Hvala Smile

#2: Autor/ica: Unnamed One,

Postano: 18:00 ned, 28. 5. 2006
—
Meni ispada da je očekivanje 1. Dvaput sam provjerio i ne vidim gdje griješim.
U svakom slučaju mislim da očekivanje nije jednako nuli jer je ono jednako nekakvoj beskonačnoj sumi nenegativnih članova pri čemu su neki od njih i strogo pozitivni.

#3: Autor/ica: Gost,

Postano: 19:29 ned, 28. 5. 2006
—
Isla sam ponovno rjesavat i ja sam dobila 1.

Smile

#4: Autor/ica: vkojic,

Postano: 19:32 ned, 28. 5. 2006
—
Meni je također rezultat ispao 1.

#5: Autor/ica: Gost,

Postano: 21:33 ned, 28. 5. 2006
—
Bok!
Moze li mi tko pomoci oko 4. zadatka:
Iz skupa {1,2,...,n} biramo dva broja (mozemo 2 puta izabrati isti broj).Oznacimo s X veci od njih.Izracunajte EX.

Hvala

#6: Autor/ica: vkojic,

Postano: 23:36 ned, 28. 5. 2006
—
Hm, meni je rezultat u tom 4. zadatku ispao "malo" drukciji, vrlo moguce da sam pogrijesio,pa ako je netko dobio kao sto je sluzbeno rjesenje [(n+1)(4n-1)]/(6n), neka kaze, da znamo da je to rjesenje dobro... inace rezultat mi ispadne [(n-1)(2n-1)]/(6n).

Hvala

#7: Autor/ica: vkojic,

Postano: 0:58 pon, 29. 5. 2006
—
Ponovo sam racunao i vidio gresku pa se ispravljam sad. Da, sad sam dobio kao sto pise u rjesenjima s papira.

Naime,

neka je X_i = broj koji smo i-ti put izabrali (i=1,2). Slucajna varijabla X_i ima razdiobu P(X_i = k)=1/n, k=1,...,n. Oznacim X=max{X_1,X_2}. Kako sl. var. X_i poprimaju vrijednosti u skupu {1,2,...,n} to i X poprima vrijednosti iz tog skupa. Sad je:
E[X]=E[max{X_1,X_2}]=(prema Zad.1. s vjezbi iz ovog poglavlja)= SUMA(k=1 do k=n) P(max{X_1,X_2}⇒k)=SUMA(k=1 do k=n) [1-P(max{X_1,X_2}<k)]=(X_1 i X_2 su nezavisne, nezavisno biramo brojeve)= SUMA(k=1 do k=n) [1- P(X_1<k)*P(X_2<k)]= SUMA(k=1 do k=n)[1-[(k-1)(k-1)]/[n*n]]=....= [(4n-1)(n+1)]/(6n).

Nadam se da sam pomogao. Smile

#8: Autor/ica: Gost,

Postano: 11:20 pon, 29. 5. 2006
—
Jesi, hvala! Smile

#9: Autor/ica: Gost,

Postano: 18:50 pon, 29. 5. 2006
—
X_1, ...., X_n su nezavisene i imaju jednaku distribuciju.
X=X_1+...+X_n

Da li vrijedi E[X^3]=E[X]*E[X^2] ? Da li to uvijek vrijedi za bilo koji slučajni varijablu X?

Da li je E[X^4]=E[X]*E[X^3] ili E[X^4]=E[X^2]*E[X^2]?

Hvala!

#10: Autor/ica: vili, Lokacija: Keglić

Postano: 10:34 uto, 30. 5. 2006
—
Neovisno o gornjem zadavanju varijable X, to ne vrijedi uvijek (odn. vjerojatno se da iskonstruirati neki primjer kad vrijedi) zato jer je svaka slučajna varijabla X zavisna sama sa sobom, a E(X_1*X_2)=EX_1*EX_2 kad su X_1 i X_2 nezavisne sl. varijable.

#11: Mama me prodala trgovačkom putniku. Autor/ica: Mama me prodala trgovačk,

Postano: 16:39 uto, 30. 5. 2006
—

vili (napisa):

E(X_1*X_2)=EX_1*EX_2 kad su X_1 i X_2 nezavisne sl. varijable.

Ali ne vrijedi obrat pa ti argument nije baš dobar. Samo si obrazložio zašto tvrdnja ne bi morala vrijediti.
Protuprimjer za sve je X sa razdiobom P(X=-2)=1/4, P(X=0)=1/4, P(X=1)=1/2.
Uvjet X=X_1+...+X_n, za neke X_1, ...., X_n n.j.d. ne znaci baš ništa, uvijek možemo uzeti n=1.

#12: Re: Mama me prodala trgovačkom putniku. Autor/ica: vili, Lokacija: Keglić

Postano: 13:00 sri, 31. 5. 2006
—

Mama me prodala trgovačkom putniku (napisa):

vili (napisa):

E(X_1*X_2)=EX_1*EX_2 kad su X_1 i X_2 nezavisne sl. varijable.

Ali ne vrijedi obrat pa ti argument nije baš dobar. Samo si obrazložio zašto tvrdnja ne bi morala vrijediti.

Ne kužim kaj hoćeš reći. Šta će mi obrat? Pitanje je bilo da li ono gore vrijedi općenito, a ja sam obrazložio zašto tvrdnja ne mora vrijediti. Gdje je tu greška? Kotacici rade 100 na sat

Mama me prodala trgovačkom putniku (napisa):

Protuprimjer za sve je X sa razdiobom P(X=-2)=1/4, P(X=0)=1/4, P(X=1)=1/2.

Protuprimjer za šta? Primjer da ono gore ne vrijedi je lagano naći. Vjerojatno prva slučajna varijabla koju bezveze uzmeš neće zadovoljavati ništa od onoga. Kompliciranije je naći neku netrivijalnu sl. varijablu koja zadovoljava bilo šta od onoga gore.

Mama me prodala trgovačkom putniku (napisa):

Uvjet X=X_1+...+X_n, za neke X_1, ...., X_n n.j.d. ne znaci baš ništa, uvijek možemo uzeti n=1.

Slažem se da je to sasvim nebitno, zato se na to nisam nisam niti osvrtao nego sam govorio općenito.

#13: Autor/ica: Mr.Doe,

Postano: 14:12 sri, 31. 5. 2006
—
Molim pomoc oko dva zadatka:

Neka je X slucajna varijabla,te Fx njena f-ija distribucije i m medijan f-ije Fx,tj realan broj t.d. Fx(m-)<=1/2<=Fx(m) Dokazite da vrijedi inf(-bek<a<+bek) E abs(X-a) =E abs(X-m)

te,

neka su X i Y sl varijable takve da EX=EY=0 i VarX=VarY=1 i neka je p=p(X,Y) koef. korelacije medu njima.Dokazite da vrijedi
Emax{X^2,Y^2} <= 1+(1-p)^(1/2)

#14: Autor/ica: spuzvica,

Postano: 18:51 sri, 31. 5. 2006
—

Mr.Doe (napisa):

neka su X i Y sl varijable takve da EX=EY=0 i VarX=VarY=1 i neka je p=p(X,Y) koef. korelacije medu njima.Dokazite da vrijedi
Emax{X^2,Y^2} ⇐ 1+(1-p)^(1/2)

Ovaj zadatak smo radili na vjezbama. Ovako ti ide rjesenje:
Neka su x,y iz R i x<y
Max se moze prikazat ovako: max{x,y}=(x+y)/2 + |x-y|/2
Sada je E[max{X^2,Y^2}] = E[(X^2+Y^2)/2 + |X^2 - Y^2|/2]= (EX^2 + EY^2)/2 + E|X-Y||X+Y|/2 = *
Sad se tu ka malo odmoris od te racunice i pribacis se na ovu:
VarX=EX^2 – (EX)^2 ⇔ 1=EX^2 – 0 ⇔ EX^2=1

Sad se vratis opet na * i uvrstis to:
*= (1+1)/2 + ½ E[|X-Y||X+Y|] ⇐( S.C.B.) ⇐1 + 1/2 [E[(X-Y)^2] E[(X+Y)^2] ]ˇ1/2 = 1 + ½ [( EX^2-2E(XY) + EY^2)( EX^2+2E(XY) + EY^2)]^1/2 = 1+1/2 [(2-2E(XY))(2+2E(XY)]^1/2= 1+[(1-E(XY))^2]^1/2=**

I sad opet racunas malo ovo:
(ja cu upotrijebit p umisto fi Wink

P(X,Y)=Cov(X,Y)/(VarXVarY)^1/2 = (E(XY) – EXEY )/ 1= E(XY)

I sad se s tim vratis gori u **

**= 1 + (1-p^2)^1/2 I to je to.

#15: Re: Očekivanje i varijanca - zadaci Autor/ica: akki,

Postano: 19:17 sri, 31. 5. 2006
—

Anonymous (napisa):

Da li netko riješio 7. zadatak sa dodatnih materijala? Glasi ovako:

Slucajna varijabla X ima razdiobu P(X = (n − 1)^2 ) = 2^(− n) /(n ln 2).
Izracunajte EX.

Meni ispada 0, a piše da je rješenje 2/ln 2 + 1.

Hvala Smile

Ja sam dobila da je rješenje slijedeće:
EX= 1/ln2*( suma[n=1,oo](n/2^n) - 2*suma[n=1,oo](1/2^n) + suma[n=1,oo](1/n*2^n) ) = -2/ln2

suma[n=1,oo](n/2^n)= (1/2) / (1-1/2)^2 =2
2*suma[n=1,oo](1/2^n) = 2* 1/(1-1/2) = 4
suma[n=1,oo](1/n*2^n) = ln(1/2) - ln(1-1/2) = 0
Question

#16: Autor/ica: spuzvica,

Postano: 19:28 sri, 31. 5. 2006
—

vkojic (napisa):

Meni je također rezultat ispao 1.

I meni je u 7 zad. ocekivanje ispalo 1.

#17: Autor/ica: akki,

Postano: 22:50 sri, 31. 5. 2006
—

spuzvica (napisa):

vkojic (napisa):

Meni je također rezultat ispao 1.

I meni je u 7 zad. ocekivanje ispalo 1.

Jel može netko malo pojasnit kako ste došli do tog rješenja?

Isto tako me zanima kako se može prikazat min{x,y}?

#18: Autor/ica: Gost,

Postano: 23:29 sri, 31. 5. 2006
—

akki (napisa):

Isto tako me zanima kako se može prikazat min{x,y}?

min{x,x]=(x+y)/2-|x-y|/2

#19: Autor/ica: Unnamed One,

Postano: 23:53 sri, 31. 5. 2006
—
@akki

U drugoj sumi koristiš formulu za G-red, ali G-red ide od nule, a ne od 1. Kad oduzmeš od dobivene četvorke 2 nulta člana, tj. dvije jedinice dobiješ 2. Dakle, prve dvije sume su nula.

3. suma:
Kreneš od

suma[n=0,oo]x^n = 1/(1-x)

integriraš, dobije se

suma[n=0,oo]( x^(n+1) )/(n+1) = -ln(1-x)

što je upravo treća suma (pomaknu se indeksi za 1). Dakle, treća suma je

-ln(1-(1/2))=-ln(1/2)=ln2.

#20: Autor/ica: Gost,

Postano: 14:25 čet, 1. 6. 2006
—
Da li netko zna ovo rijesit:

3. Neka su X i Y nezavisne slucajne varijable koje poprimaju vrijednosti u skupu N U { 0 } . Pretpostavimo da je EX < + beskonacno .
(a) Pokazite da postoji ocekivanje slucajne varijable min { X, Y } .
(b) Pokazite da vrijedi E[min { X, Y } ] =(suma od n=0 do beskonacno)
P(X > n)P(Y > n).

Hvala

#21: Autor/ica: Mr.Doe,

Postano: 15:05 čet, 1. 6. 2006
—
E[X]=Suma(n=0 do besk)P(X>n)

tada

E[min{X,Y}]=suma(n=0 do besk)P(min{X,Y}>n)=(ako je minimum od {X,Y} veci do n; tada je i X veci od n ,te Y veci od n,slijedi)=suma (n=0 do besk)P(X>n,Y>n)={nezavisnost}=suma(n=0 do besk)P(X>n)*P(Y>n).

#22: Autor/ica: Gost,

Postano: 18:44 čet, 1. 6. 2006
—
8. Neka su X i Y diskretne slucajne varijable takve da je
P( | X − Y | <=M) = 1 za neki M € R i da slucajna varijabla X ima ocekivanje.
(a) Pokazite da slucajna varijabla Y ima ocekivanje.
(b) Pokazite da vrijedi | EX − EY |<=M.

#23: Autor/ica: Unnamed One,

Postano: 19:02 čet, 1. 6. 2006
—
(a)

Računamo očekivanje od Y (ako postoji)

E[Y]=suma{po svim w iz veliko_omega}p(w)Y(w)
⇐suma{po svim w iz veliko_omega}p(w)(X(w)+M)
=E[x]+M

što je manje od +beskonačno.

(b)

|EX-EY|=|E[X-Y]|=
=|suma{po svim w iz veliko_omega}p(w)(X-Y)(w)|⇐
⇐suma{po svim w iz veliko_omega}|p(w)||(X-Y)(w)|⇐
⇐suma{po svim w iz veliko_omega}|p(w)|M
=M.

("veliko_omega" mi je pripadni vjerojatnosni prostor)

#24: Autor/ica: MB, Lokacija: Molvice

Postano: 19:06 čet, 1. 6. 2006
—
E(Y)=E(X)-E(X-Y) (*)

zbog danog uvjeta vrijedi P({X-Y=k})=0 za k>M i k←M.
kako je

ovo odmah daje b), ali i a) jer zbog ovog postoji E(X-Y), pa zbog (*) postoji i E(Y). Very Happy

#25: Autor/ica: Gost,

Postano: 22:39 čet, 1. 6. 2006
—
Hvala obojici Smile

#26: Autor/ica: Gost,

Postano: 1:23 pet, 2. 6. 2006
—
Neka je X ~P(lambda), lambda > 0.
(a) Izracunajte E[E[(X + 1)^− 1 ].
(b) Pokazite da vrijedi E[(X + 1)^− 1 ] >= (E[X + 1])^− 1 .
(c) Pokazite da nejednakost iz (b) vrijedi za sve pozitivne slucajne varijable.

Samo c) treba rijesiti. Hvala

#27: Autor/ica: vili, Lokacija: Keglić

Postano: 11:22 pet, 2. 6. 2006
—
Kao što uputa kaže, iskoristiš gorenapisanu Jensenovu nejednakost. U ovom slučaju je f(X)=X^-1 što je konveksna f-ja na <0,+besk.> na sl. varijablu X+1.

#28: Autor/ica: Gost,

Postano: 8:38 uto, 18. 7. 2006
—
Bio bih zahvalan, ako bi netko mogao rjesiti sljedeci zadatak:

Neka su X1, X2, ... ,Xn nezavisne eksponencijalne slucajne varijable s istim ocekivanjem μ. Neka je M=min{ X1, X2, ... Xn }. Pokazite da je M eksponencijalno distribuirana. Koliko je ocekivanje od M?

#29: Autor/ica: Luuka, Lokacija: Hakuna Matata

Postano: 17:01 pon, 15. 12. 2008
—
kratko, ali slatko pitanje Very Happy

:

X i Y binomne sl var, nisu nezavisne,
X~B(n,p1) , Y~B(n,p2).

Kako izračunat E(XY) ?

Trebalo bi ispast n(n-1)*p1*p2

Hvala bilo kome na pomoći

#30: Autor/ica: nlo,

Postano: 21:45 pon, 15. 12. 2008
—
Ne znam to pokazati, no izgleda mi to veoma sumnjivo, pretpostavimo da je doista tako, tj. da

, gdje pripadne slucajne varijable imaju distribuciju koju si naveo. Izracunajmo stoga kovarijancu, dakle dobivamo;

odnosno slijedilo bi da su

nuzno negativno korelirane, a ne mora biti tako!
Ispravi me ako grijesim.

#31: Autor/ica: Novi,

Postano: 22:08 pon, 15. 12. 2008
—
Jeli ovo dobar kontraprimjer?

OMEGA = {w1,w2,w3} s vjerojatnostima 1/4 1/2 1/4 redom.

X(w1)=0
X(w2)=1
X(w3)=2

Y(w1)=0
Y(w2)=1
Y(w3)=2

XY(w1)=0
XY(w2)=1
XY(w3)=4

Ocito E(XY)=3/2

A X i Y su binomne ~B(2,1/2) i ocito zavisne jer npr. P(X=0,Y=2)=0!=1/4 * 1/4.

No 2*1*1/2 *1/2=1/2!=3/2

#32: Autor/ica: Luuka, Lokacija: Hakuna Matata

Postano: 12:21 uto, 16. 12. 2008
—
Za obične binomne se to ne može pokazati, ali ja imam specijalne pa je ok... al hvala dečki na trudu...

a i ovim putem bih zahvalio nani na pomoći za moj specijalni problem Zaljubljen(a)

#33: Autor/ica: slonic~tonic,

Postano: 20:29 pet, 28. 12. 2012
—
koje je rjesenje zadatka?

Bacate simetricnu kocku sve dok se ne pojavi sestica. Odredite ocekivani broj bacanja kocke.

#34: Autor/ica: Loo,

Postano: 21:45 pet, 28. 12. 2012
—
označi sa [tex]X[/tex] broj potrebnih bacanja.
[tex]X[/tex] je geometrijska slučajna varijabla s parametrom [tex]p= \frac {1}{6}[/tex](vjerojatnost uspjeha),
a očekivanje geometrijske slučajne varijable jednako je [tex]\frac {1}{p}[/tex], pa je očekivani broj bacanja [tex]6[/tex]

#35: Autor/ica: Froggy,

Postano: 18:29 sri, 9. 1. 2013
—
Zadatak 4.21
Marko je na piknik ponio 5 konzervi: 2 graha, 2 paprike i 1 tunjevinu.
Nakon sto ga je uhvatila kisa i oprala naljepnice, Marko je odlucio otvarati konzerve sve dok ne dobije sva tri jela. Odredite ocekivani broj otvorenih konzervi.

Moze pomoc kako uopce postaviti zadatak?

#36: Autor/ica: BlameGame,

Postano: 1:28 ned, 13. 1. 2013
—

Froggy (napisa):

Zadatak 4.21
Marko je na piknik ponio 5 konzervi: 2 graha, 2 paprike i 1 tunjevinu.
Nakon sto ga je uhvatila kisa i oprala naljepnice, Marko je odlucio otvarati konzerve sve dok ne dobije sva tri jela. Odredite ocekivani broj otvorenih konzervi.

Moze pomoc kako uopce postaviti zadatak?

Mene isto zanima, molim pomoc

#37: Autor/ica: pedro,

Postano: 12:08 ned, 13. 1. 2013
—
ja imam samo rješenje:

X= broj otvaranja dok ne dobije sva 3 jela

znači otvorit će min 3 konzerve, max 5 konzerve dok ne dobije sva tri jela

ili 3 ili 4 ili 5

razdioba od X:

P(X=3)=24/60
P(X=4)=12/60
P(X=5)=24/60

I dobije se EX=4

i sad ne znam kako se to obrazloži dobije ta vjerojatnost pa ako netko od vas skuži neka napiše. hvala Very Happy

#38: Autor/ica: BlameGame,

Postano: 19:43 ned, 13. 1. 2013
—
Mozda netko 5.11

http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/uuv/files/chap5.pdf

#39: Autor/ica: pedro,

Postano: 22:39 ned, 13. 1. 2013
—
to ima rješeno negdje na forumu

#40: Autor/ica: simon11, Lokacija: FunkyTown

Postano: 1:46 ned, 12. 1. 2014
—

Citat:

Mozda netko 5.11

Dakle sjeti se kod definicije fje distribucije da vrijedi
[tex]F_X(x)=\sum\limits_{x \leq y}f_X(y)[/tex]
Sada koristeci to i "viticastu zagradu" odmah slijedi distribucija sl. var. X
P{X=0}=1/4,P{X=1}=1/4,P{X=2}=1/2 (probaj si nacrtati graf ove zadane fje bit ce ti lakse) te od sl. var Y
P{Y=0}=1/4,P{Y=1}=1/4,P{Y=4}=1/2

a) [tex]P\{0.5 \leq X \leq 1.5\}=P\{X \in [0.5,1.5]\}[/tex] sada se opet sjeti predavanja i da je to zapravo= [tex]\sum\limits_{x \in [0.5,1.5]}f_X(x)=\frac{1}{4}[/tex]

b) [tex]P\{Y \leq X\}=P\{Y \leq 2\}=\sum\limits_{x \leq 2}f_Y(x)=\frac{1}{2}[/tex]

c)[tex]P\{X+Y \leq 0.75\}=P\{Y \leq 0.75-X\}=P\{Y \leq 0.25\}=\sum\limits_{x \leq 0.25}f_Y(x)=\frac{1}{4}[/tex]

Vidim da je u rjesenjima [tex]\frac{1}{2}[/tex] pa ako netko vidi gdje je greska neka javi. Smile

#41: Autor/ica: simon11, Lokacija: FunkyTown

Postano: 19:34 ned, 19. 1. 2014
—
ovaj dio je dobar

Citat:

X= broj otvaranja dok ne dobije sva 3 jela

znači otvorit će min 3 konzerve, max 5 konzerve dok ne dobije sva tri jela

ili 3 ili 4 ili 5

ali ovaj

Citat:

razdioba od X:

P(X=3)=24/60
P(X=4)=12/60
P(X=5)=24/60

i ne bas

Naime to da se otvorilo 3 konzerve znaci da sam odabrao tocno jednu limenku graha (od njh dvije) i tocno jednu limenku paprike (od njh dvije) i normalno onda jednu tunjevine odabira limenke graha i paprike se svodi na slucajan odabir 1clanoga podskupa 2clanoga skupa sto se moze izvesti na [tex]\dbinom{2}{1}[/tex] nacina, tj :
[tex]P\{X=3\}=\frac{\dbinom{2}{1}\dbinom{2}{1}\dbinom{1}{1}}{\dbinom{5}{3}}=\dfrac{2}{5}[/tex]

Sada, ako je otvoreno 4 konzerve to znaci da sam grah ili papriku otvorio na dva nacina, na [tex]\dbinom{2}{1}[/tex] biram koju cu otvoriti a kasnije moram otvoriti jednu od te dvije i to je svejedno kako i potom naravno tunjevinu, tj moze biti grah,grah, paprika, tuna ili grah, paprika, paprika, tuna, svi ostali slucajevi su isti ovima npr: paprika, grah, paprika tuna i sl. pa slijedi
[tex]P\{X=4\}=\frac{\dbinom{2}{1}\dbinom{1}{1}\dbinom{1}{1}}{\dbinom{5}{4}}=\dfrac{2}{5}[/tex].
Koonacno:
[tex]X \sim \begin{pmatrix} 3 & 4 & 5 \\ \frac{2}{5}&\frac{2}{5}&\frac{1}{5}\end{pmatrix}[/tex]

#42: Autor/ica: MatematicarSamraa,

Postano: 20:22 sri, 10. 12. 2014
—
Zamolila bih vas za pomoć pri izradi ovog zadatka imam poteškoće pri rješavanju...hitno mi je potrebna pomoć...zadatak glasi:

Iz kvadrata K sa tjemenima (0,0), (2,0), (2,2), (0,2) na slučajan način se bira točka A(x,y). Ako su obje koordinate izabrane točke manje od 1 izvlači se dva puta po jedna kuglica sa vraćanjem iz kutije koja sadrži 1 plavu i 2 žute kuglice. U suprotnom se izvlači jedna kuglica iz iste kutije. Naći zakon raspodjele slučajne promjenljive X koja predstavlja broj izvučenih plavih kuglica. Odrediti matematičko očekivanje slučajne promjenljive X.

#43: Autor/ica: room,

Postano: 17:30 uto, 6. 1. 2015
—
U jednoj napomeni na vježbama smo rekli: ako su X i Y nezavisne slučajne varijable, tada je E(X*Y)=(EX)*(EY).
Ali obrat ne vrijedi, tj. E(X*Y)=(EX)*(EY) ne povlači da su X i Y nezavisne.

I sad smo za zadaćicu malu dobili da smislimo jedan protuprimjer. Jel bi mi mogao netko reći koji bi to npr. bio? Smile

Forum@DeGiorgi -> Vjerojatnost

output generated using printer-friendly topic mod. Vremenska zona: GMT + 01:00.

Stranica 1 / 1.