Jezgra, slika, defekt i rang linearnog operatora (zadatak)

[Gost]

Pozdrav...

Jel mi moze netko, pliz, objasniti na ovome primjeru šta je

jezgra slika defekt i rang linearnog operatora

g : M_2(R) → M_2(R) s g ([a b,c d])=[a b 0 d] - to je matrica

Prvo, kako dokazati da je to lin. oper?

Homogenost i aditivnost treba biti zadovoljena, znam. Ali kako bi to izgledalo u ovom slucaju?

te koliko iznose jezgra slika defekt i rang?

[tomi365]

HELP!

Itko?

[behemont]

pokazi da vrijedi da je g(cA+B)=cg(A)=g(B), za linearnost... (c je konstanta neka)

slika su ocito sve matrice koje na mjestu 21 imaju 0.
jezgra...pogledaj sto se preslika u nul-matricu
rang je dimenzija slike, znaci 3;
defekt je dimenzija jezgre, kad nades jezgru vidjet ces da je dimenzije 1.

[Luuka]

Gdje si točno zapeo, i što ti je najasno? Jer ima tu posla, a ništa previše pametno, samo raspisivanja.

1. kako dokazati da je linearni operator? Pa uzmu se 2 skalara (alfa,beta), i 2 matrice(A i B), izračuna se g na njih (u ovom slučaju sve ostavi isto, samo element na poziciji (2,1) stavi na nulu). To što se dobije se rastavi i proba napisati kao alfa g(A)+beta g(B). Čista šablona.

2. jezgra je ovdje prilično očita U jezgri su sve matrice A t.d. g(A)=0 (tj nula matrica). Pa uzmeš matricu neku matricu A=[a b ; c d], na nju djeluješ s A i to što dobiješ izjednačiš s nul matricom. Dobiju se uvjeti na a,b,c,d koji će dati izgled matrice A za jezgru. Dimenzija jezgre (iliti defekt) je u ovom slučaju broj slobodnih parametara koji se dobiju u traženju matrice. (ako ispadne a=b+1, b=b, c=c, d=c-9, onda imamo 2 slobodna parametra, b i c, pa je dimenzija jezgre=2. Btw neće ovako ispast )

3. slika je još lakša, odmah se vidi iz djelovanja operatora. Zanima te kako izgledaju matrice koje se dobiju djelovanjem g na proizv matricu. Pa te matrice izgledaju [a b 0 d], samo napisat tu matricu u kanonskoj bazi i dobiju se matrice koje su baza za sliku. Rang je dimenzija slike, tj broj matrica koje čine bazu za sliku.

_________________
"Bolje bi prolazio na faxu da sam na drogama nego na netu" - by a friend of mine
"Poslije spavanja doma spavanje bilo di mi je najdraža stvar" - by the same guy

[tomi365]

Moram si to posložit u glavi...

Dokaz da je to lin. oper. bi izgledao onda:

g(alfa M1+beta M2)=(alfa M1)+(beta M2)=alfa (M1)+beta (M2)=

= alfa g(M1)+beta g(M2)

- tako bi to izgledalo raspisano

sada uvrstim M1 i M2

te izgleda

=(alfa g [a, b ; c, d])+(beta g [a, 0 ; 0, d]) - valjda

jezgra → A = [0, 0;0, 0] i B = [a, b, c, d]

ne kužim kak dobijem više matrica da bi složio sliku

imam A i B i to je to...

Kako bi trebale izgledati te ostale?

Jel znate gdje ima riješenih zadataka iz ovog područja, lin. algebra 2, s postupkom za download?

[Luuka]

NE

evo za jezgru i lin operator da raspišem:

Neka su alfa i beta skalari, A i B matrice,
,

Računamo g(alfaA+betaB):





što pokazuje da je g linearan operator.

JEZGRA:
uzmemo A proizvoljnu matricu, pa idemo vidjet što za njene elemente treba vrijedit da bude u jezgri:
, gledamo g(A)=0



dakle, čitano po komponentama:
da bi A bila u jezgri za g, mora vrijediti:
a1=0, a2=0, a4=0.
Na a3 nemamo uvjeta, pa su u jezgri sve matrice oblika , tj možemo pisati:

dimenzija jezgre je sad očita

_________________
"Bolje bi prolazio na faxu da sam na drogama nego na netu" - by a friend of mine
"Poslije spavanja doma spavanje bilo di mi je najdraža stvar" - by the same guy

[behemont]

cemu komplicirati sa 2 skalara?

[tomi365]

Da, dimenzija jezgre ili defekt je 1 , tj. to je ovaj a3 koji je preostao kao neispunjen uvjet.

Dakle,

d(g)=1

Rang iznosi

r(g)=n-d(g)=4-1=3

e, sad još preostaje slika te matrica od g u kan. bazi

Hm..

slika su te matrice koje sadrže izgledaju {a b 0 d}?

A kako se formiraju i kako se pretvori u kanonsku?

[tomi365]

Onda, folks,

kako izgleda slika te matrice ?

G= {1 1 0 1} ili....?

Te u kanonskoj, kako bi izgledala?

[Luuka]

ne

Za sliku imaš:


jel sad vidiš koje su matrice u bazi za sliku?

_________________
"Bolje bi prolazio na faxu da sam na drogama nego na netu" - by a friend of mine
"Poslije spavanja doma spavanje bilo di mi je najdraža stvar" - by the same guy

[tomi365]

Da, matrice a_1, a_2 i a_4

te bi njih trebalo spojit u jednu veću matricu koja će tvoriti sliku

To će biti matrica s 2 retka i 6 stupaca?

I izgledat će a1, a2,a3 - spojeno, jedno do drugoga...

Jel to to?

A onda bi kanonska iz toga bila

G={1 0 0 0, 0 1 0 0, 0 0 0 1}

[Luuka]

Da ti odgovorim tu za oba topica... probaj si nekako razjasnit što radiš i zašto jer to što pišeš nema nikakvog smisla... također, predlažem da odeš na neke demonstrature jer ovako preko foruma nećeš niš shvatit, bojim se

_________________
"Bolje bi prolazio na faxu da sam na drogama nego na netu" - by a friend of mine
"Poslije spavanja doma spavanje bilo di mi je najdraža stvar" - by the same guy

[Gost]

Ok, hvala...

Možda se javi netko tko će mi pokazati koji korak još...

To se nadam, pa ak riješimo ovaj zadatak, znat ću o čemu se radi samo da imam detaljan postupak...

Puno si mi pomogao do sada, ali stvarno imam malo materijala i ne mogu se snaći s tim zadacima...

I na kraju toga slijedit će novi zadaci novih poglavlja, al neće još dugo.

Do 01 mjeseca...

[behemont]

odi na demonstrature, konzultacije, instrukcije....nesto uglvnom, gdje ce ti netko kvalitetno objasniti...stvari su zaista trivijalne, samo ih trebas razumjeti...nazalost zasad odajes dojam da ti je vrlo malo toga jasno...

[Gost]

Ako je toliko trivijalno , zašto mi netko ne napiše rješenje mog problema zadatka?

slika?

kanonska baza?

[Gogs]

[tomi365]

Ok

[Gost]

E, da... ostao je još jedan detaljčić—

Kako bi izgledala mat. od g : M_2(R) → M_2(R) s g ([a b,c d])=[a b 0 d] - to je matrica, u bazi:

B={[1 1 ;1 0],[1 0; 1 0],[2 3; 1 1], [2 0; 0 3]} ???

[tomi365]

Sad bi se tu trebalo valjda pomnožiti matricu

g=[1 1 0 1] sa svakom od ovih 4 u bazi B...

te se dobije nova baza novih matrica:

B2={[2 1 ;1 0],[2 0; 1 0],[3 4; 1 1], [2 3; 0 3]}

Jel točno?

Added after 9 minutes:

Pardon ,nije, nego postoji formula za prijelaz iz jedne baze u drugu i glasi:

A'= T^-1 *A* T