Zadaci iz nizova (iz skripte - vježbe)

[kenny]

Da, ideja je ista. Moje je možda malo više intuitivno, a tvoje je baš lijepo formalno, svaka čast. Kao što rekoh, ja sam to položio davne 2002., a nakon diplome se baš i nisam bavio tom stranom analize. Mea culpa.

_________________
Dvije stvari su beskonacne: svemir i ljudska glupost. Za ono prvo nisam siguran.

by A.Einstein

[Tomy007]

Nismo stigli ovaj zadatak na vjezbama pa ako bi netko mogao po koracima objasniti postupak za takve zadatke :

Treba izraćunati :

lim(x→0) od [(cosx*cos2x*....*cosnx)-1] / (x^2)

[pbakic]

ovaj se racuna rekurzivno:
oznacis sa Ln=lim [cos(x)cos(2x)...cos(nx)-1]/x^2
u brojniku dodas i oduzmes cos(x)cos(2x)...cos[(n-1)x] pa imas
Ln =lim [cos(x)cos(2x)...cos(nx) - cos(x)cos(2x)...cos[(n-1)x] + cos(x)cos(2x)...cos[(n-1)x]-1]/x^2
sad grupiras prva dva i zadnja dva i dobijes
Ln=lim cos(x)cos(2x)...cos[(n-1)x][cos(nx)-1]/x^2 + [cos(x)cos(2x)...cos[(n-1)x]-1]/x^2
sad uocis da znas izracunat limes prvog pribrojnika (ovi svi kosinusi idu u 1, a (cos(nx)-1)/x^2) si namjestis i dobijes da to ide u -0.5n^2
a ovaj drugi pribrojnik je isti ko pocetni limes al s clanom manje pa ga oznacis s L(n-1)

sad imamo dakle Ln=-0.5n^2+L(n-1)
spustis se po rekurziji (ko sto smo radili na vjezbama iz LA) i dobis
Ln=-0.5n^2-0.5(n-1)^2-....-0.5*2^2+L1
a sad to znas izracunat jer je L1=lim(1-cosx)/x^2=-0.5, dakle
Ln=-0.5(n^2+(n-1)^2+...+1)=-0.5n(n+1)(2n+1)/6=-n(n+1)(2n+1)/12