Prostori - pojmovi

[Bubsi]

Ne znam u koji kolegij svrstam ova pitanja ( iz St-a sam ).

U kojim prostorima pojam niza, C-niza, diferencijala, i limesa fje ima uvijek smisla? (svaki posebno, u kojem prostoru)
ponudjeni su vektorski, euklidski, normirani, unitarni, metricki i topoloski.

Hvala

[goranm]

Npr. niz u svakom prostoru ima smisla, a C-niz ima smisla samo na prostorima na kojima je definirana metrika. To su očito metrički i euklidski prostori. Jer je unitarni prostor normiran, a svaki normiran je i metrički, onda ima smisla i u tim prostorima. Na topološkom prostoru nema uvijek smisla jer postoje topološki prostori koji nisu metrizabilni.

Slično ide sa ostalim pojmovima.

_________________
The Dude Abides

[nenad]

Pojam Cauchyjevog niza (i hiperniza=mreže) ima smisla i u uniformnim prostorima.
Svaki se metrički prostor može opskrbiti uniformnošću, pa je to prirodno poopćenje.

- Nenad

[Bubsi]

Sto je pak sa diferencijalom? Kao linearni operator on je neprekidan, pa vrijedi li onda da on ima smisla svugdje gdje ima smisla neprekidnost? Pa i u topoloskim prostorima?

[MB]

Kako biste definirali linearnost u prostoru koji nije vektorski?
Linearan operator na konacnodimenzionalnom vektorskom prostoru je neprekidan, opcenito ne mora biti. Pogotovo, nije svaka neprekidna funkcija linearan operator.
Mozda bi bilo dobro da prvo razjasnite definicije samih prostora:
vektorski → normiran → unitaran; topoloski → metricki...

_________________

[nenad]

Pojam derivacije kako je definirana na analizi ima smisla na Banachovim prostorima.

Poopćenja mogu ići u sljedećim smjerovima (vrlo grubo, i ne iscrpno):
- topološki vektorski prostori
- subdiferencijali u konveksnoj analizi
- diferencijabilne mnogostrukosti,
a da ne govorimo o mogućim poopćenjima na poznatim prostorima
(recimo, za f:R->R imamo Dinijeve derivacije, distribucijske, ...)

Previše široko da bih i pokušao dati odgovor.

- Nenad