neprekidnost i derivabilnost

[michelangelo]

može opet mala pomoć sa zadacima za vježbu?
1.89. glasi: ispitaj neprekidnost od f definirane na zadane formulom .
u kojim točkama je f derivabilna, a u kojima neprekidno derivabilna?

1.92. zadana je fja
je li f derivabilna? je li ?
i 1.94 ispitaj neprekidnost i derivabilnost fje

[pbakic]

evo za pocetak 1.89 (ostali mozda poslije rucka ):
ispitivanje neprekidnosti se u ovom zadatku svodi na trazenje
s l'Hopitalom ili razlikaom kvadrata dobijes da je taj lim stvarno 1/2, dakle f je neprekidna
Za derivabilnost ocito nema problema izvan nule (dapace, dobije se neprekidna derivacija )
Sad samo treba provjerit derivabilnost u nuli (po definiciji; ovdje ce nam lijevi i desni limes bit isti)
evo recimo lijevi:
To se sredi, i onda ili l'Hopitalom, ili razlikom kvadrata (2put) dobije se da limes postoji i jednak je -1/8, iz cega zakljucujemo da je f derivabilna i u 0
Takodjer, sad se moze pogledat limes derivacije kad x→0 i dobije se da je on takodjer jednak -1/8, dakle i derivacija je neprekidna u tocki x=0

edit: tek sad vidim da je -1 ukljuceno u domenu, pa bi trebalo valjda provjerit i derivabilnost posebno u toj tocki. Ocito nece bit derivabilna u pravom smislu rijeci jer je to rubna tocka (nema okolinu) ali nije cak ni desno-derivabilna jer vrijedi

zakljucak je da je funkcija derivabilna na cijeloj domeni osim u -1, i ima neprekidnu derivaciju svugdje gdje je ona definirana

[Mr.Doe]

Ne mozes derivabilnost provjeravati L'Hospitalovim pravilom.

[pbakic]

Moguce da sam nesto promasio, ali ovdje je potrebno provjeriti derivabilnost u tocki... To po definiciji znaci trazenje nekog limesa, a onda (jer valjda je svejedno na koji nacin racunamo limes) ne kuzim zasto ne bi isao l'H? (Iako ovdje konkretno l'H stvarno nije bitan, posto se mogu svi limesi racunat bez njega)

[Mr.Doe]

Neka je , funkcija takva da je u njenoj domeni (i neka to nije izolirana tocka). Zasada ne stavljam aposlutno nikakve pretpostavke na funkciju. Pogledaj sta se dogada ako provjeravam derivabilnost u tocki preko L'H pravila. Dakle, trazis se sljedeci limes;
.
Rezoniranje bi moglo biti sljedece; "pa, da ide u , onda ce brojnik biti jednak nuli (jer dobijem ), i nazivnik takoder, pa buduci da imam sljedecu situaciju , onda mogu primjeniti L'H, pa dobivam;
, i sada samo pustim da taj limes, i dobijem .
Dakle, ja sam implicitno pretpostavio da , ima limes (sa lijeva i desna) u , da je on bas jednak vrijednosti funkcije u toj tocki (i.e. da je funkcija neprekidna), te da je ona derivabilna u spomenutoj tocki (cak sam i pretpostavio da je derivacija neprekidna). A zapravo sam htio pogledati da li postoji limes sa pocetka.

Primjenjivanje raznih teorema bez razumijevanja vodi ka suludim zaključcima.
I daj me prosvijetli, di vidis razliku kvadrata?

[pbakic]

Shvacam u potpunosti sta hoces rec i ima smisla, stvarno treba bit oprezan kod ovog... ali svejedno, ne znam dal se tvoj argument moze primjeniti na ovaj slucaj... mislim tvoj primjer pogresnog rezoniranja naravno stoji, ali ovdje nisam bas mislio derivirati na taj nacin (vjerojatno je trebalo dodat koji redak u originalnom postu), ali zato tamo ona recenica pocinje sa "To se sredi..."
Mislio sam zapisat ovaj razlomak u obliku

Tada bi definirali dvije nove funkcije,
i


Te dve su ocito derivabilne, pa sa na njih moze primjeniti l'Hopital?

edit: razlika kvadrata je cilj koji zelimo postic
npr, razlomak prosirimo s da bi dobili razliku kvadrata i rijesili se korijena...

[Ilja]

[michelangelo]

hvala svima! u tom sam zadatku stala s ovim limesom kad ide u -1. ovo beskonačno me malo zbunilo, tj nisam bila sigurna kako interpretirati. uglavnom hvala na zadatku, a ako može vi ostali bila bih zahvalana...

edit: evo riješila sam ove ostale pa nema potrebe da vas zamaram

[niveus]

Ispitajte derivabilnost funkcije f(x)=-(|4^x -16|-1)^2. Odredite derivaciju funkcije tamo gdje postoji

Hvala

[genchy]

f je neprekidna na citavoj domeni, tj na , zbog neprekidnosti od Dakle, Zbog restrikcija derivabilnih funkcija na intervalima i f je derivabilna na istim sa: Sad još ostaje provjera za točku 2, gdje možeš gledat odmah lijevi i desni limes od funkcije , i dobiješ da limesi postoje i da su različiti ( mislim da je ), dakle f nije derivabilna u točki 2, jer da jest, funkcija bi morala imati prekid druge vrste, što je nemoguće. Vjerojatno se ne traži,no je klase tamo gdje je derivabilna, tj. na .

[niveus]

Hvala genchy, ako bi mogo još samo objasniti zašto si gledao za x>=2 i x<= 2, zašto 2

[derle]

To je nultočka izraza unutar apsolutne vrijednosti, tj. u x=2 se nalazi "špic"!

_________________
www.bhc-zagreb.hr

[niveus]

hvala derle

[A_je_to]

Koliko trebaju ispasti beta i gama u 3. zadatku:
http://web.math.hr/nastava/analiza/kolokviji/ma2-0809-kol1.pdf

[kaj]

sh2 , ch2 ili nešto tako slično...

[gego]

f(x)= x + e^(1/x) ,x<0
sinx, x>=0

je li f iz C2(R) ?

[pmli]

[Genaro]

[pmli]

[A_je_to]