Search
 
 
  Engleski
 
 
 
Open in this window (click to change)
Forum@DeGiorgi: Početna
Forum za podršku nastavi na PMF-MO
Login Registracija FAQ Smajlići Članstvo Pretražnik Forum@DeGiorgi: Početna

Metoda sukcesivnih aproksimacija (zadatak)

Moja sarma
 
Započnite novu temu   Odgovorite na temu   printer-friendly view    Forum@DeGiorgi: Početna -> Ostalo - ozbiljno -> Čistilište
Prethodna tema :: Sljedeća tema  
Autor/ica Poruka
HijenA
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 23. 01. 2004. (16:46:04)
Postovi: (3D2)16
Spol: muško
Sarma = la pohva - posuda
-26 = 44 - 70
Lokacija: Prazan skup ;-)

PostPostano: 14:50 uto, 23. 3. 2010    Naslov: Metoda sukcesivnih aproksimacija Citirajte i odgovorite

nemam pojma gdje bi trebao ovaj zadatak zavrsiti, pa ga postam ovdje. ne znam na kojem se kolegiju rade integralne jednadzbe.

[b]1. Tekst zadatka i sve poznate varijable[/b]
Cestica je ispaljena iz tocke na povrsini Zemlje sa zemljopisnom sirinom [latex]\frac{\pi}{2}-\lambda[/latex] u smjeru zapada pod kutem [latex]\alpha[/latex] prema horizontali. Ako pocetna brzina iznosi [latex]v_0[/latex], izracunajte polozaj cestice nakon vremena t.
[b]2. Bitnije jednadžbe[/b]
metoda sukcesivnih aproksimacija

[b]3. Pokušaj rješenja[/b]

isao sam kao u skripti. uzeo sam kao pocetni uvjet [latex]x(0)=y(0)=z(0)=0[/latex] i koordinatni sam sustav orjentirao tako da mi x-os gleda prema jugu (smjer sjever - jug), y-os prema istoku (smjer istok - zapad), a z-os vertikalno u zrak (okomita na x i y osi). vektor pocetne brzine iznosi:

[latex]\vec{v}_0=-v_0\cos\alpha\vec{\jmath}+v_0\sin\alpha\vec{k}[/latex]

u ovom slucaju, u smjeru x-osi nema komponente brzine. jednadzbe gibanja su:

[latex]\ddot{x}=2\omega\cos\lambda\cdot\dot{y}[/latex]
[latex]\ddot{y}=-2(\omega\cos\lambda\cdot\dot{x}+\omega\sin\lambda\cdot\dot{z})[/latex]
[latex]\ddot{z}=-g+2\omega\sin\lambda\cdot\dot{y}[/latex]

nakon prvog integriranja po vremenu, dobijem iduci set jednadzbi:

[latex]\dot{x}(t)=2\omega\cos\lambda\cdot y(t)[/latex]
[latex]\dot{y}(t)=-2[\omega\cos\lambda\cdot x(t)+\omega\sin\lambda\cdot z(t)]-v_0\cos\alpha[/latex]
[latex]\dot{z}(t)=-gt+v_0\sin\alpha+2\omega\sin\lambda\cdot y(t)[/latex]

nakon drugog integriranja, dobijem jednadzbe polozaja (integralne jednadzbe):

[latex]x(t)=2\omega\cos\lambda\int\limits_0^t y(t')\mathrm{d}t'[/latex]
[latex]y(t)=-2\omega\left [\cos\lambda\int\limits_0^t x(t')\mathrm{d}t'+\sin\lambda\int\limits_0^t z(t')\mathrm{d}t' \right ]-v_0t\cos\lambda[/latex]
[latex]z(t)=-\frac{1}{2}gt^2+v_0t\sin\alpha+2\omega\sin\lambda\int\limits_0^t y(t')\mathrm{d}t'[/latex]

dalje ne kuzim. u skripti pise da koristimo metodu sukcesivnih aproksimacija i da kao najjednostavnije rjesenje pretpostavimo [latex]x_0(t)=y_0(t)=z_0(t)=0[/latex] medjutim ja ne kuzim uopce gdje da taj rezultat upotrijebim u ovom kontekstu. ta rjesenja bi se trebala uvrstiti u gornje integralne jednadzbe da bi se dobili [latex]x_1(t),y_1(t),z_1(t)[/latex] ali gdje i kako?

PS. znam da je zadatak iz fizike, ali buduci da se radi o integralnim jednadzbama, mislim da bi mi i matematicari mogli pomoci vezano za ovaj zadatak. ak je nesto nejasno, budem objasnio.
nemam pojma gdje bi trebao ovaj zadatak zavrsiti, pa ga postam ovdje. ne znam na kojem se kolegiju rade integralne jednadzbe.

1. Tekst zadatka i sve poznate varijable
Cestica je ispaljena iz tocke na povrsini Zemlje sa zemljopisnom sirinom u smjeru zapada pod kutem prema horizontali. Ako pocetna brzina iznosi , izracunajte polozaj cestice nakon vremena t.
2. Bitnije jednadžbe
metoda sukcesivnih aproksimacija

3. Pokušaj rješenja

isao sam kao u skripti. uzeo sam kao pocetni uvjet i koordinatni sam sustav orjentirao tako da mi x-os gleda prema jugu (smjer sjever - jug), y-os prema istoku (smjer istok - zapad), a z-os vertikalno u zrak (okomita na x i y osi). vektor pocetne brzine iznosi:



u ovom slucaju, u smjeru x-osi nema komponente brzine. jednadzbe gibanja su:





nakon prvog integriranja po vremenu, dobijem iduci set jednadzbi:





nakon drugog integriranja, dobijem jednadzbe polozaja (integralne jednadzbe):





dalje ne kuzim. u skripti pise da koristimo metodu sukcesivnih aproksimacija i da kao najjednostavnije rjesenje pretpostavimo medjutim ja ne kuzim uopce gdje da taj rezultat upotrijebim u ovom kontekstu. ta rjesenja bi se trebala uvrstiti u gornje integralne jednadzbe da bi se dobili ali gdje i kako?

PS. znam da je zadatak iz fizike, ali buduci da se radi o integralnim jednadzbama, mislim da bi mi i matematicari mogli pomoci vezano za ovaj zadatak. ak je nesto nejasno, budem objasnio.



_________________
Chuck Norris can divide by zero.

I bow before you Veliki Limun, on je kiseo i zut Bow to the left

[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku Pošaljite e-mail
Mr.Doe
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 11. 01. 2005. (21:20:57)
Postovi: (21A)16
Sarma = la pohva - posuda
20 = 50 - 30

PostPostano: 19:28 uto, 23. 3. 2010    Naslov: Re: Metoda sukcesivnih aproksimacija Citirajte i odgovorite

[quote="HijenA"][latex]\dot{x}(t)=2\omega\cos\lambda\cdot y(t)[/latex]
[latex]\dot{y}(t)=-2[\omega\cos\lambda\cdot x(t)+\omega\sin\lambda\cdot z(t)]-v_0\cos\alpha[/latex]
[latex]\dot{z}(t)=-gt+v_0\sin\alpha+2\omega\sin\lambda\cdot y(t)[/latex]
...nakon drugog integriranja...
[/quote]
Nece to bas tako ici. Oznaci [latex]X(t)^{\tau}=[x(t),y(t),z(t)]^{\tau}[/latex], tvoj sustav prelazi u
[latex]\frac{d}{dt}X(t)=AX(t)+f(t)[/latex], gdje je A neka matrica (koju mi se neda napisati), a f vektor sa ostatkom (koji mi se takoder neda napisati). Ovo je onda "isto" kao da imas obicni odj, rjesenje je dano sa;
[latex]X(t)=\mathcal{L}(t)X(0)+(\mathcal{L}\ast f )(t)[/latex], gdje je [latex]\mathcal{L}(t)=\operatorname{exp}\{A(t-t_0)\}[/latex].
Poanta je naci priblizno rjesenje [i]Picardovim[/i] iteracijama. Wikipedija pomaze ako nisi cuo za to...

Edit: Naravno, ne ulazim u to, da li si uopce dobro postavio sustav, niti kakvu interpretaciju imaju dane dif. jednadzbe.
HijenA (napisa):



...nakon drugog integriranja...

Nece to bas tako ici. Oznaci , tvoj sustav prelazi u
, gdje je A neka matrica (koju mi se neda napisati), a f vektor sa ostatkom (koji mi se takoder neda napisati). Ovo je onda "isto" kao da imas obicni odj, rjesenje je dano sa;
, gdje je .
Poanta je naci priblizno rjesenje Picardovim iteracijama. Wikipedija pomaze ako nisi cuo za to...

Edit: Naravno, ne ulazim u to, da li si uopce dobro postavio sustav, niti kakvu interpretaciju imaju dane dif. jednadzbe.


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
HijenA
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 23. 01. 2004. (16:46:04)
Postovi: (3D2)16
Spol: muško
Sarma = la pohva - posuda
-26 = 44 - 70
Lokacija: Prazan skup ;-)

PostPostano: 23:13 uto, 23. 3. 2010    Naslov: Re: Metoda sukcesivnih aproksimacija Citirajte i odgovorite

[quote="Mr.Doe"][quote="HijenA"][latex]\dot{x}(t)=2\omega\cos\lambda\cdot y(t)[/latex]
[latex]\dot{y}(t)=-2[\omega\cos\lambda\cdot x(t)+\omega\sin\lambda\cdot z(t)]-v_0\cos\alpha[/latex]
[latex]\dot{z}(t)=-gt+v_0\sin\alpha+2\omega\sin\lambda\cdot y(t)[/latex]
...nakon drugog integriranja...
[/quote]
Nece to bas tako ici. Oznaci [latex]X(t)^{\tau}=[x(t),y(t),z(t)]^{\tau}[/latex], tvoj sustav prelazi u
[latex]\frac{d}{dt}X(t)=AX(t)+f(t)[/latex], gdje je A neka matrica (koju mi se neda napisati), a f vektor sa ostatkom (koji mi se takoder neda napisati). Ovo je onda "isto" kao da imas obicni odj, rjesenje je dano sa;
[latex]X(t)=\mathcal{L}(t)X(0)+(\mathcal{L}\ast f )(t)[/latex], gdje je [latex]\mathcal{L}(t)=\operatorname{exp}\{A(t-t_0)\}[/latex].
Poanta je naci priblizno rjesenje [i]Picardovim[/i] iteracijama. Wikipedija pomaze ako nisi cuo za to...

Edit: Naravno, ne ulazim u to, da li si uopce dobro postavio sustav, niti kakvu interpretaciju imaju dane dif. jednadzbe.[/quote]

sustav je dobro postavljen (jedino tako je logicno postaviti sustav), a velim radio sam po skripti. takodjer je zadatak do ovog dijela istovjetan rjesavanju u skripti, nije da sam nesto novo uvodio. kolega sa fizike (na raspravama, http://rasprave.fizika.org/viewtopic.php?p=62140#p62140 ) mi je jednostavno rekao da se ovo pretpostavljeno rjesenje ubaci umjesto gornjeg integrala, i da se onda rjesenje koje se dobije ponovo ubaci umjesto integrala i integrira.

sto se tice Picardovih iteracija, trazio sam na wikipediji "Method of successive approximations" ali nisam nista pametno nasao. tak da, nije da nisam trazio. takodjer ne razumijem zasto dobijes ovo:

[latex]\frac{d}{dt}X(t)=AX(t)+f(t)[/latex]

ovo nisu neodredjeni integrali, njihove granice su od pocetnog vremena 0 do nekog vremena t. ovo tvoje bi bilo ako bi to bili neki opceniti integrali. medjutim, kod integracije jednadzbi gibanja, sasvim je u redu napisati ovo sto sam ja napisao: druga derivacija polozaja oznacava akceleraciju, a njezin integral daje brzinu cestice. ponovnom integracijom dolazim do ovisnosti polozaja o vremenu.
Mr.Doe (napisa):
HijenA (napisa):



...nakon drugog integriranja...

Nece to bas tako ici. Oznaci , tvoj sustav prelazi u
, gdje je A neka matrica (koju mi se neda napisati), a f vektor sa ostatkom (koji mi se takoder neda napisati). Ovo je onda "isto" kao da imas obicni odj, rjesenje je dano sa;
, gdje je .
Poanta je naci priblizno rjesenje Picardovim iteracijama. Wikipedija pomaze ako nisi cuo za to...

Edit: Naravno, ne ulazim u to, da li si uopce dobro postavio sustav, niti kakvu interpretaciju imaju dane dif. jednadzbe.


sustav je dobro postavljen (jedino tako je logicno postaviti sustav), a velim radio sam po skripti. takodjer je zadatak do ovog dijela istovjetan rjesavanju u skripti, nije da sam nesto novo uvodio. kolega sa fizike (na raspravama, http://rasprave.fizika.org/viewtopic.php?p=62140#p62140 ) mi je jednostavno rekao da se ovo pretpostavljeno rjesenje ubaci umjesto gornjeg integrala, i da se onda rjesenje koje se dobije ponovo ubaci umjesto integrala i integrira.

sto se tice Picardovih iteracija, trazio sam na wikipediji "Method of successive approximations" ali nisam nista pametno nasao. tak da, nije da nisam trazio. takodjer ne razumijem zasto dobijes ovo:



ovo nisu neodredjeni integrali, njihove granice su od pocetnog vremena 0 do nekog vremena t. ovo tvoje bi bilo ako bi to bili neki opceniti integrali. medjutim, kod integracije jednadzbi gibanja, sasvim je u redu napisati ovo sto sam ja napisao: druga derivacija polozaja oznacava akceleraciju, a njezin integral daje brzinu cestice. ponovnom integracijom dolazim do ovisnosti polozaja o vremenu.



_________________
Chuck Norris can divide by zero.

I bow before you Veliki Limun, on je kiseo i zut Bow to the left

[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku Pošaljite e-mail
Mr.Doe
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 11. 01. 2005. (21:20:57)
Postovi: (21A)16
Sarma = la pohva - posuda
20 = 50 - 30

PostPostano: 16:04 sri, 24. 3. 2010    Naslov: Citirajte i odgovorite

Dakle, ono sto je kolega napisao na forumu od fizike su upravo Picardove iteracije, a da pogledas sta je to formalno, upisi u browser: Picard iteration wiki, i prvi hit ce te baciti na pravu stranicu na wikipediji 8) .

Ono sto sam ja napisao je [b]egzaktno rjesenje[/b] danog sustava. Dakle, zapisimo tvoj sustav;
[latex]\dot{x}(t)=2\omega\cos\lambda\cdot y(t)\newline
\dot{y}(t)=-2[\omega\cos\lambda\cdot x(t)+\omega\sin\lambda\cdot z(t)]-v_0\cos\alpha\newline
\dot{z}(t)=-gt+v_0\sin\alpha+2\omega\sin\lambda\cdot y(t)[/latex],
koristeci moje oznake, dobijemo;
[latex]
\frac{d}{dx}X(t)=\begin{bmatrix}0 & 2\omega \cos{\lambda} & 0 \\ -2\omega \cos{\lambda} & 0 & -2\omega\sin{\lambda} \\ 0 & 2\omega\sin{\lambda} & 0 \end{bmatrix}X(t) + \begin{bmatrix}0 \\ -v_0\cos{\alpha} \\ -gt+v_0\sin{\alpha}\end{bmatrix}[/latex].

Sada treba uociti da je [latex]A^{\tau}=-A[/latex], stoga je [latex]A^{\tau}A=AA^{\tau}[/latex], odnosno operator cija je matricna reprezentacija dana sa A je dijagonalizibilan, dakle postoji M unitarna matrica i D dijagonalna sa svojstvenim vrijednostima od A na dijagonali, t.d. [latex]A=MDM^{\tau}[/latex], stoga ce onaj eksponencijalni dio biti jedank [latex]\exp\{A(t-t_0)\}=M\exp\{D(t-t_0)\}M^{\tau}=M\operatorname{diag}\{e^{\lambda_1}(t-t_0),e^{\lambda_2}(t-t_0),e^{\lambda_3}(t-t_0)\}M^{\tau}[/latex].

Dakle, prvi dio sume si rijesio, drugi dio je konvolucija, ponovno napravis spomenutu dekompoziciju da bi dobio eksponencijalni dio, pomnozis to sa vektorom [latex]f[/latex], i integriras.

Svjestan sam cinjenice da su u fizici dovoljne razne aproksimacije, no mislio sam da ces (kao bivsi matematicar ?) vise cijeniti egzaktno rijesenje, a ovaj put rijesenje doista nije tesko dobiti.
Dakle, ono sto je kolega napisao na forumu od fizike su upravo Picardove iteracije, a da pogledas sta je to formalno, upisi u browser: Picard iteration wiki, i prvi hit ce te baciti na pravu stranicu na wikipediji Cool .

Ono sto sam ja napisao je egzaktno rjesenje danog sustava. Dakle, zapisimo tvoj sustav;
,
koristeci moje oznake, dobijemo;
.

Sada treba uociti da je , stoga je , odnosno operator cija je matricna reprezentacija dana sa A je dijagonalizibilan, dakle postoji M unitarna matrica i D dijagonalna sa svojstvenim vrijednostima od A na dijagonali, t.d. , stoga ce onaj eksponencijalni dio biti jedank .

Dakle, prvi dio sume si rijesio, drugi dio je konvolucija, ponovno napravis spomenutu dekompoziciju da bi dobio eksponencijalni dio, pomnozis to sa vektorom , i integriras.

Svjestan sam cinjenice da su u fizici dovoljne razne aproksimacije, no mislio sam da ces (kao bivsi matematicar ?) vise cijeniti egzaktno rijesenje, a ovaj put rijesenje doista nije tesko dobiti.


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
Prethodni postovi:   
Započnite novu temu   Odgovorite na temu   printer-friendly view    Forum@DeGiorgi: Početna -> Ostalo - ozbiljno -> Čistilište Vremenska zona: GMT + 01:00.
Stranica 1 / 1.

 
Forum(o)Bir:  
Ne možete otvarati nove teme.
Ne možete odgovarati na postove.
Ne možete uređivati Vaše postove.
Ne možete izbrisati Vaše postove.
Ne možete glasovati u anketama.
You can attach files in this forum
You can download files in this forum


Powered by phpBB © 2001, 2002 phpBB Group
Theme created by Vjacheslav Trushkin
HR (Cro) by Ančica Sečan