Search
 
 
  Engleski
 
 
 
Open in this window (click to change)
Forum@DeGiorgi: Početna
Forum za podršku nastavi na PMF-MO
Login Registracija FAQ Smajlići Članstvo Pretražnik Forum@DeGiorgi: Početna

tangenta (zadatak)
WWW:

Moja sarma
 
Započnite novu temu   Odgovorite na temu   printer-friendly view    Forum@DeGiorgi: Početna -> Kolegiji 1. godine, nastavnički studiji -> Analitička geometrija
Prethodna tema :: Sljedeća tema  
Autor/ica Poruka
Principessa
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 24. 10. 2010. (15:18:58)
Postovi: (26)16
Spol: kućni ljubimac
Sarma = la pohva - posuda
= 4 - 3

PostPostano: 19:04 sri, 26. 1. 2011    Naslov: tangenta Citirajte i odgovorite

kako pronaći zajedničku tangentu kruznice i parabole ?
kruznica mi je zadana: 10x^2+10y^2=81 i prabaola: y^2=4x

unaprijed hvala
kako pronaći zajedničku tangentu kruznice i parabole ?
kruznica mi je zadana: 10x^2+10y^2=81 i prabaola: y^2=4x

unaprijed hvala



_________________
Pametan voli učiti, a budala podučavati.
[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
kenny
Petica iz zalaganja
Petica iz zalaganja


Pridružen/a: 28. 03. 2003. (09:18:36)
Postovi: (3B7)16
Spol: kućni ljubimac
Sarma = la pohva - posuda
43 = 94 - 51
Lokacija: ...somewhere over the rainbow...

PostPostano: 0:36 čet, 27. 1. 2011    Naslov: Citirajte i odgovorite

Idemo prvo malo transformirati zapis kružnice i parabole - kružnicu želimo u obliku [latex](x-p_1)^2 + (y-q)^2 = r^2[/latex], a parabolu u obliku [latex]y^2 = 2p_2x[/latex] (namjerno sam istaknuo razliku između [latex]p_1[/latex] i [latex]p_2[/latex] da se kasnije ne bi pomiješale oznake).

Krenimo prvo od kružnice:
[latex]10x^2 + 10y^2 = 81 \\
x^2+y^2 = 8.1[/latex]

Odavde je očito da je [latex]p_1=q=0[/latex], a da je [latex]r^2 = 8.1[/latex].

Napravimo sada to isto za parabolu:
[latex]y^2 = 4x \\
y^2 = 2\cdot 2x[/latex]

Odavde je očito da je [latex]p_2 = 2[/latex].

Nadalje znamo da je uvjet dodira pravca i kružnice dan sa [latex]r^2(1+k^2) = (q-kp_1-l)^2[/latex] te da je uvjet dodira pravca i parabole dan sa [latex]p_2 = 2kl[/latex], gdje je [latex]k[/latex] koeficijent smjera traženog pravca (tangente), a [latex]l[/latex] odsječan na ordinati.

Uvrstimo naše prijašnje nalaze u ove dvije relacije te rješimo taj sustav dvije jednadžbe sa dvije nepoznanice:

[latex]8.1(1+k^2) = (0-k\cdot 0 - l)^2 \implies 8.1+8.1k^2 = l^2 \\
2 = 2kl \implies kl = 1 \implies k = \frac{1}{l}[/latex]

Uvrštavajući [latex]k = \frac{1}{l}[/latex] u prvu jednadžbu dobijemo:

[latex]8.1+8.1\left(\frac{1}{l}\right)^2 - l^2 = 0 \\
\frac{8.1l^2 + 8.1 - l^4}{l^2} = 0 \\
\frac{-l^4 + 8.1l^2 + 8.1}{l^2} = 0[/latex]

Rješimo brojnik (bikvadratna jednadžba!) i obratimo pozornost da postoji uvjet [latex]l \neq 0[/latex].

Uglavnom, dobijemo 2 rješenja za [latex]l[/latex], a iz toga 2 rješenja za [latex]k[/latex], a potom i te dvije tangente. Rješenja koja ti tu sada dajem su aproksimativna (dobio sam da je [latex]l_{1, 2} = \frac{-8.1\pm \sqrt{97.01}}{-2}[/latex]):

[latex]t_1 \equiv y = \frac{1}{3}x + 3 \\
t_2 \equiv y = -\frac{1}{3}x - 3[/latex]

(Provjerih u GeoGebri...konstrukcija je na mjestu ;))
Idemo prvo malo transformirati zapis kružnice i parabole - kružnicu želimo u obliku , a parabolu u obliku (namjerno sam istaknuo razliku između i da se kasnije ne bi pomiješale oznake).

Krenimo prvo od kružnice:


Odavde je očito da je , a da je .

Napravimo sada to isto za parabolu:


Odavde je očito da je .

Nadalje znamo da je uvjet dodira pravca i kružnice dan sa te da je uvjet dodira pravca i parabole dan sa , gdje je koeficijent smjera traženog pravca (tangente), a odsječan na ordinati.

Uvrstimo naše prijašnje nalaze u ove dvije relacije te rješimo taj sustav dvije jednadžbe sa dvije nepoznanice:



Uvrštavajući u prvu jednadžbu dobijemo:



Rješimo brojnik (bikvadratna jednadžba!) i obratimo pozornost da postoji uvjet .

Uglavnom, dobijemo 2 rješenja za , a iz toga 2 rješenja za , a potom i te dvije tangente. Rješenja koja ti tu sada dajem su aproksimativna (dobio sam da je ):



(Provjerih u GeoGebri...konstrukcija je na mjestu Wink)



_________________
Dvije stvari su beskonacne: svemir i ljudska glupost. Za ono prvo nisam siguran.

by A.Einstein
[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
Principessa
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 24. 10. 2010. (15:18:58)
Postovi: (26)16
Spol: kućni ljubimac
Sarma = la pohva - posuda
= 4 - 3

PostPostano: 10:19 čet, 27. 1. 2011    Naslov: Citirajte i odgovorite

hvala najljepše :weee: :D :) :sreca: :w00t: :happycow:
hvala najljepše Weeeeeee!!!!!!!!!!! Very Happy Smile Trcim u krug od srece! w00t! Krava pleshe



_________________
Pametan voli učiti, a budala podučavati.
[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
Prethodni postovi:   
Započnite novu temu   Odgovorite na temu   printer-friendly view    Forum@DeGiorgi: Početna -> Kolegiji 1. godine, nastavnički studiji -> Analitička geometrija Vremenska zona: GMT + 01:00.
Stranica 1 / 1.

 
Forum(o)Bir:  
Ne možete otvarati nove teme.
Ne možete odgovarati na postove.
Ne možete uređivati Vaše postove.
Ne možete izbrisati Vaše postove.
Ne možete glasovati u anketama.
You can attach files in this forum
You can download files in this forum


Powered by phpBB © 2001, 2002 phpBB Group
Theme created by Vjacheslav Trushkin
HR (Cro) by Ančica Sečan