|
[quote="PItanje"]1.Da li bi me netko mogao reci pravu formulu za granicu kod iteracija, tj,da li idemo dok ne vrijedi da je|x_n -x_n-1|<epsilon ili |x_n -x_n-1|<(epsilon*(1-q)/q) ili pak |x_n -x_n-1|<(epsilon*(1-q)/q^n) ?[/quote]
Iteracije _čega_?
I sve ovisi o tome što želiš postići. Npr. ako se želiš približiti na manje od eps do rješenja, a uspio si dokazati da skakućeš oko njega (npr. parne iteracije su ti manje od rješenja, a neparne veće), očito ti je dovoljno čekati dok ne bude |x_n-x_{n-1}|<eps .
Ako želiš da ti neka funkcija na tim x-evima bude što bliža funkciji u rješenju, tada bi bilo dobro da ta funkcija bude uniformno neprekidna, odnosno Lipschitzova ( |f(x)-f(y)|<=M|x-y| uniformno), pa ti je dovoljno približiti se na eps/M .
Ako ne skakućeš oko rješenja, nego konvergiraš npr. odozdo prema njemu, onda probaš stvar ograničiti geometrijskim redom. Dakle, ako npr. znaš da je svaki sljedeći korak manji od trećine prethodnog, onda, ako si u određenom trenutku imao x_n=x_{n-1}+delta , sljedeći mora biti x_{n+1}<=x_n+1/3*delta , pa onaj nakon njega x_{n+2}<=x_{n+1}+1/9*delta<=x_{n-1}+delta*(1+1/3+1/9) , .... na limesu mora biti x<=x_{n-1}+(x_n-x_{n-1})/(1-1/3) . Dakle, kad delta:=x_n-x_{n-1} postane dovoljno malen da delta/(1-1/3)=3/2*delta bude manji od eps , možeš se zaustaviti (dakle, na x_n-x_{n-1}<2/3*eps ).
I tako dalje...
[quote]2. Kako drugačije možemo odrediti intervale za nultočku osim preko grafa funkije? Kako znam koliko imam nultočki tj.intervala bez crtanja slike?[/quote]
Općenito, nikako. Npr. kod polinomâ, imaš teorem za gornju ogradu nultočaka, i neko pravilo s predznacima derivacijâ za razdvajanje nultočaka, ali za općenite funkcije... sve što ti ostaje je B-W teorem (ako za neprekidnu funkciju na [a,b] vrijedi f(a)f(b)<0 , tad ima nultočku), i asimptotsko ponašanje (npr. iz dokaza da je limf=+oo u +oo , često možeš očitati nakon kojeg će x vrijednost od f sigurno biti veća od 0 , pa nakon tog x više neće imati nultočku).
[quote]3. Kod rješavanja integrala kod kojih imam npr. integral=w1*f(4)+w2*f(x_2), dobijem sustav jednadžbi s tri nepoznanice i uzimam bazu {1,x,x^2}. Kod rješavanja dobivam npr. 2 x-a. Koji je uzimam za rjesenje?[/quote]
?? Parse error.
| PItanje (napisa): | | 1.Da li bi me netko mogao reci pravu formulu za granicu kod iteracija, tj,da li idemo dok ne vrijedi da je|x_n -x_n-1|<epsilon ili |x_n -x_n-1|<(epsilon*(1-q)/q) ili pak |x_n -x_n-1|<(epsilon*(1-q)/q^n) ? |
Iteracije _čega_?
I sve ovisi o tome što želiš postići. Npr. ako se želiš približiti na manje od eps do rješenja, a uspio si dokazati da skakućeš oko njega (npr. parne iteracije su ti manje od rješenja, a neparne veće), očito ti je dovoljno čekati dok ne bude |x_n-x_{n-1}|<eps .
Ako želiš da ti neka funkcija na tim x-evima bude što bliža funkciji u rješenju, tada bi bilo dobro da ta funkcija bude uniformno neprekidna, odnosno Lipschitzova ( |f(x)-f(y)|⇐M|x-y| uniformno), pa ti je dovoljno približiti se na eps/M .
Ako ne skakućeš oko rješenja, nego konvergiraš npr. odozdo prema njemu, onda probaš stvar ograničiti geometrijskim redom. Dakle, ako npr. znaš da je svaki sljedeći korak manji od trećine prethodnog, onda, ako si u određenom trenutku imao x_n=x_{n-1}+delta , sljedeći mora biti x_{n+1}⇐x_n+1/3*delta , pa onaj nakon njega x_{n+2}⇐x_{n+1}+1/9*delta⇐x_{n-1}+delta*(1+1/3+1/9) , .... na limesu mora biti x⇐x_{n-1}+(x_n-x_{n-1})/(1-1/3) . Dakle, kad delta:=x_n-x_{n-1} postane dovoljno malen da delta/(1-1/3)=3/2*delta bude manji od eps , možeš se zaustaviti (dakle, na x_n-x_{n-1}<2/3*eps ).
I tako dalje...
| Citat: | | 2. Kako drugačije možemo odrediti intervale za nultočku osim preko grafa funkije? Kako znam koliko imam nultočki tj.intervala bez crtanja slike? |
Općenito, nikako. Npr. kod polinomâ, imaš teorem za gornju ogradu nultočaka, i neko pravilo s predznacima derivacijâ za razdvajanje nultočaka, ali za općenite funkcije... sve što ti ostaje je B-W teorem (ako za neprekidnu funkciju na [a,b] vrijedi f(a)f(b)<0 , tad ima nultočku), i asimptotsko ponašanje (npr. iz dokaza da je limf=+oo u +oo , često možeš očitati nakon kojeg će x vrijednost od f sigurno biti veća od 0 , pa nakon tog x više neće imati nultočku).
| Citat: | | 3. Kod rješavanja integrala kod kojih imam npr. integral=w1*f(4)+w2*f(x_2), dobijem sustav jednadžbi s tri nepoznanice i uzimam bazu {1,x,x^2}. Kod rješavanja dobivam npr. 2 x-a. Koji je uzimam za rjesenje? |
?? Parse error.
|
