Pitanje vezano za gradivo

[diegobisbal]

Da li se u analizi radi ogranicenje skupova,ispitivanje skupova da li ima min i max,sup,inf...Ako se radi da li neko ima neke uradene zadatke da to malo prevjezbam.Unaprijed hvala

[Phoenix]

Za početak pogledaj ovo: LINK
To ćete raditi na vježbama poslije 1. kolokvija.

[diegobisbal]

To sam vec pogledala,al ne znam kako da uradim zadatke koji nisu uradeni
;(

[Tomislav]

Napisi zadatke koji te zanimaju, pa ce ti vec netko pokazati kako se to rjesava.

[diegobisbal]

Evo neki zadaci,nadam se da ce mi neko moci napisati kako se to radi.Unaprijed hvala

1.{n:n∈N}
2.{1/n:n∈N}
3.{1+〖(-1)〗^n/n:n∈N}
4.{(2n-2)/(n+3):n∈N}
5.{(x^2-2)/(x^2+4)∈R}
6.{x+4/x>0}
7.{〖(-1)〗^n n/(n+1) cos⁡(nπ/2):nϵN}

[kenny]

Ajmo riješiti nekoliko zadataka...

1. [tex]\{n:n\in \mathbb{N}\}[/tex]

Kako bi drugačije mogli zapisati ovaj skup? [tex]\{1, 2, 3, \ldots, \infty\}[/tex]. Sasvim je očito da je u ovom skupu [tex]\inf = \min = 1[/tex], a da supremum i maksimum ne postoji.

2. [tex]\{\frac{1}{n}:n\in\mathbb{N}\}[/tex]

Napišimo prvih nekoliko članova... [tex]\frac{1}{1}=1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \ldots[/tex]. Zapravo, vidimo [tex]\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0[/tex]. Čak ako i niste radili limes, a vjerujem da niste, očito je da sa povećanjem broja [tex]n\in\mathbb{N}[/tex], izraz [tex]\frac{1}{n}[/tex] približava se broju [tex]0[/tex], ali ga nikad neće doseći (zašto?). Zaključujemo......[tex]<0, 1][/tex]. Odavde sada vidimo da je [tex]\sup = \max = 1, \inf = 0[/tex], ali minimuma nema.

3. [tex]\{\frac{2n-2}{n+3}:n\in\mathbb{N}\}[/tex]

Postupimo na isti način kao u prethodnom... [tex]0, \frac{2}{5}, \frac{4}{6} = \frac{2}{3}, \frac{6}{7}, \frac{8}{8} = 1, \frac{10}{9}, \frac{12}{10} = \frac{6}{5}, \ldots[/tex]. S obzirom da niste radili limese, vjerojatno bi trebalo raspisati još nekoliko za zaključiti dokle će ići. Ajmo mi to skraćeno preko limesa... [tex]\lim_{n\to\infty}\frac{2n-2}{n+3} = 2[/tex]. Ukratko, bilo bi [tex][0, 2>[/tex]. Tj., [tex]\inf = \min = 0, \sup = 2[/tex], a minimuma nema.

EDIT: Prouči pozorno što Pheonix napisa...naime, to ispod napisano je baš sa dokazom zašto je to tako, dok sam ja napisao onako više intuitivno kako se dođe do rješenja, ali nisam strogo matematički opisao zašto je to zbilja tako.

_________________
Dvije stvari su beskonacne: svemir i ljudska glupost. Za ono prvo nisam siguran.

by A.Einstein

[Phoenix]

Evo moja verzija prva dva zadatka (natipkana prije kennya, ali postana poslije) i par hintova za preostale zadatke. Javi ako ih treba dovršiti do kraja.
(Inače, neke stvari ovdje je nešto lakše argumentirati s nizovima (osim preko limesa), ali ni njih još niste učili... Pa o tom potom.

Trebalo bi nekako naslutiti kako izgledaju članovi skupa pa bi znali odakle početi, tj. koji maksimum i minimum da tražimo. Često nam tu pomažu i neka druga svojstva, recimo ako su elementi skupa članovi strogo monotonog niza, varirajući predznaci elemenata i slično.

1. [tex]A=\{n:n \in \mathbb{N}\}=\mathbb{N}= \{1,2,3,...\}[/tex]. Tu naslućujemo da je [tex]inf(A)=min(A)=1[/tex], dok [tex]sup(A)[/tex], a ujedno i [tex]max(A)[/tex] ne postoje. Prvo argumentiraš time da ne postoji prirodan broj [tex]n < 1[/tex], a drugu činjenicom da za svaki prirodan broj [tex]n[/tex] postoji prirodan broj [tex]m[/tex] veći od njega, tj. [tex](\forall n \in \mathbb{N})(\exists m \in \mathbb{N}) n<m[/tex] (Arhimedov aksiom).

2. [tex]B=\{\frac{1}{n}:n\in\mathbb{N}\}[/tex]Prema prethodnom zadatku, očekujemo [tex]sup(B)=max(B)=1[/tex], a [tex]inf(B)=0[/tex], [tex]min(B)[/tex] ne postoji. Naime, za [tex]n=1[/tex] je [tex]\frac{1}{n}=\frac{1}{1}=1[/tex], a kada bi vrijedilo [tex]\frac{1}{n}>1[/tex], to bi povlačilo [tex]1>n[/tex], što nije moguće jer je [tex]n \in \mathbb{N}[/tex]. Slično, po Arhimedovom aksiomu vrijedi: [tex](\forall n \in \mathbb{N})(\exists m \in \mathbb{N}) \frac{1}{m}<\frac{1}{n}[/tex] (ista nejednakost podijeljena s [tex]mn[/tex]). Znači da uvijek postoji manji broj od [tex]\frac{1}{n}[/tex] koji je element istog skupa (iz ovoga znaš da minimum ne postoji), ali znaš da je [tex]\frac{1}{n}>0[/tex] (jer je pozitivan) - iz toga slijedi infimum.

3. Slično kao i 2., samo moraš posebno gledati što ako je [tex]n[/tex] paran, odnosno neparan (da se riješiš izraza [tex](-1)^n[/tex]). Dobiješ dva slučaja koja se svode na 2. zadatak. (Konačno rješenje je veći supremum, odnosno manji infimum ta dva slučaja.)

4. [tex]\frac{2n-2}{n+3}=\frac{2n+6-4}{n+3}=2-\frac{4}{n+3}[/tex]. Zadatak se svodi na promatranje nastaloga razlomka, a to je opet slično 2. zadatku.

5. [tex]\frac{x^2-2}{x^2+4}=1+\frac{6}{x^2+4}[/tex]
U ovom zadatku je osnovna razlika što je [tex]x \in \mathbb{R}[/tex], znači nije nužno prirodni broj. Međutim, znaš da je razlomak manji što je nazivnik veći, a kako je [tex]x^2 \geq 0[/tex], odnosno [tex]x^2 + 4 \geq 4[/tex], promatraš izraz sličnom argumentacijom kao i u 2. zadatku.

6. Ne znam što da ti natuknem, a da ne riješim zadatak. Probaj uvrštavanjem nekih "korisnih" vrijednosti naslutiti rješenje pa probaj i dokazati da je to tako.

7. Slično 3. zadatku, ali moraš dodatno paziti zbog kosinusa. Odnosno, kakve sve vrijednosti ima [tex]cos(\frac{n \pi}{2}), n \in \mathbb{N}[/tex] i kada? Uvrsti prvih nekoliko i nasluti.

Eto! Nisu riješeni svi zadaci, ne bi bilo u redu da ti pokvarimo zadovoljstvo pa da nemaš što više rješavati.
Probaj sama pa, ako zapneš, pitaj za drugi hint ili za rješenje zadatka.

[PermutiranoPrase]

Imam i ja jedno pitanje vezano uz jedinstvenost inverzne funkcije (znam da je nevezano uz ono što se sada radi, ali ipak).
Ovako smo mi dokazivali da je inverzna funkcija nejedinstvena:
Pretpostavimo da postoje dvije inverzne funkcije, [tex]g_1, g_2 : A \to B[/tex].
[tex]g_1 = g_1 \circ i_A = g_1 \circ (f \circ g_2) = (g_1 \circ f) \circ g_2 = i_B \circ g_2 = g_2[/tex]

Prije toga smo rekli da vrijedi [tex]g \circ f = i_A[/tex] te [tex]f \circ g = i_B[/tex].
Zašto smo onda pisali [tex]g_1 = g_1 \circ i_A = g_1 \circ (f \circ g_2)[/tex] kad je [tex]f \circ g_2[/tex] jednako [tex]i_B[/tex] ?

(P.S. Nadam se da nema tipfelera.)

[goranm]

[PermutiranoPrase]

Jest, da je jedinstvena. Ok, to ima više smisla. Preinačih, modificirah i sad sve ima smisla. Hvala!

[slonic~tonic]

Koliko je th(2Arthx) ??

_________________
Lakše je naučiti matematiku nego raditi bez nje.

[piccola]

Wolfram kaže:

2x/(1+x^2)

[jax]

NIje mi jasan detalj u dokazu L'Hospitalova pravila iz skripte prof. Guljaša.

Neka su f i g funkcije definirane na
I \ {c} ⊂ R, neka su diferencijabilne na tom skupu i neka vrijedi
lim f(x) = 0
x→c
lim g(x) = 0
x→c
g(x) != 0, g′(x) != 0, ∀ x ∈ I \ {c}.

Ako je lim f′(x)/g′(x) = L tada je limf(x)/g(x)= L.
x→c x→c
Sada na pocetku dokaza kaze da (BSO) mozemo pretpostaviti da su f i g neprekidne na I te f(c) = g(c) = 0. Zasto to pretpostavljamo BSO?

[dalmatinčica]

ako se dobro sjećam, profesor je za to, na predavanju rekao
da i ako nisu neprekidne, dodefiniramo ih u c td je f(c)=g(c)=0
i onda su neprekidne u c

[jax]

jasno je sad...
inace nisam bio na tom predavanju pa nisam shvatio iz skripte.
hvala

[dalmatinčica]

nema na čemu

[kiara]

Ako moze pomoc oko Taylorovog teorema,zasto slijedi na kraju dokaza ako je F'(cx)=0 da je A=f^(n+1)(cx)?
Sta ne bi to trebalo znaciti da je (x-t)^n/n! kad uvrstis cx umjesto t,jednako 1?Zasto je to tako? Hvala! (113. stranica u skripti)[/quote]

[jema]

nisam sigurna ali mislim da zbog ovog... naime, imas sljedece:
F'(t)=(x-t)^n /n * [A- f (n+1 der) (t)] ....e sad po Rolleovom tm je F(cx)=0, pa je i derivarija F'(cx)=0, a onda kad se to gore ubaci u onu jednakost upravo ti daje da je A=f(n+1 der)(cx) jer (cx-t)^n nece bit 0 jer je cx po rolleovom tm strogo izmedju x i t (dakle nikad t)..... jasnije sad?

[kiara]

[satja]

[tex]F'(c_x) = 0 \quad \Rightarrow \quad \displaystyle\frac{(x-c_x)^n}{n!}(A - f^{(n+1)}(c_x)) = 0 \quad \Rightarrow \quad (A - f^{(n+1)}(c_x)) = 0 \quad \Rightarrow \quad A = f^{(n+1)}(c_x) [/tex]