Dokaz integrabilnosti (zadatak)

[Lafiel]

Hej,

Bi li mi mogao netko pokazati da je funkcija [tex]f(x)[/tex] integrabilna na [tex]U[/tex], pri čemu je

[tex]U = \{ (x,y) : 0 < x^2 + y^2 < 1 \}[/tex]
i
[tex]f(x) = log( \sqrt{x^2 + y^2} )[/tex]

Molim.

_________________
Weit von hier fällt Gold von den Sternen

[sz]

f nije R-integrabilna (jer nije ograničena), ali nepravi integral konvergira: kad pređemo na polarne koordinate, radi se o [dtex]\int_0^{2\pi}\int_{0\leftarrow}^1r \ln{r}dr d\varphi.[/dtex]
Zapravo gledamo postoji li
[dtex]\lim_{a\to 0+}\int_0^{2\pi}\int_a^1r \ln{r}dr d\varphi=\lim_{a\to 0+}\int_0^{2\pi}(-\frac{a^2}{2}\ln{a}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}a^2)d\varphi=\lim_{a\to 0+}2\pi(-\frac{a^2}{2}\ln{a}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}a^2)=-\frac{\pi}{2}.[/dtex]
Valjda.