Ucini ga konacnodimenzionalnim.

[Hiroaki]

Elem, dragi brucosi, imadem pitanje za vas:
Mogu li se na nekom beskonacnodimenzionalnom vektorskom prostoru definirati nove operacije zbrajanja i mnozenja skalarom tako da taj prostor "postane" konacnodimenzionalan nad istim poljem uz nove operacije?
Ako je odgovor potvrdan - dajte primjer.
Ako je negativan - dokazite da nema rjesenja.

Hvala.

p.s. Ako je nekom pitanje glupo, sta se moze.

[Debela_Oprah]

Ovo pitanje zaista nije trivijalno.
Odgovor je NE;
Dokaz: Pretpostavimo suprotno, tj. da postoji vektorski prostor sa takvim svojtvom i oznacimo sa S klasu svih takvih prostora.
Prema Teichmuller-Tukeyovoj lemi postoji Stiefel-Whitneyeva klasa beskonacnodimenzionalnih vektorskih prostora koja obzirom antiordinalnu karakteristiku nije dualni skelet niti S-kobordizam, a buduci da su u S beskonacnodimenzionalni prostori (obzirom na jedno od tih dvaju zbrajanja), svaki je funktor definiran na toj klasi u tu klasu samu identicni funktor; dakle dana klasa S nije konfinitalna. Dakle, dobili smo da klasa S nije konfinitalna, nije dulani skelet i nije S-kobordizam, sto je naravno kontradikcija s pretpostavkom da takva klasa postoji.

Znam da odgovor nije trivijalan i da zahtjeva znanje teorije kategorija, ali nisam nasla trivijalnije rjesenje.


The Fat_Oprah is out there

[Hiroaki]

Pa, uzmimo na primjer skup svih realnih nizova. Uz standardne operacije, ovaj skup je beskonacnodimenzionalan. Ali, njegov kardinalitet je c na alef nula sto je opet c pa je bijektivan sa R. Neka je f bijekcija sa skupa svih realnih nizova na R, a g njen inverz.
Definirajmo operacije +' i *' na skupu svih nizova na sljedeci nacin:

a +' b = g(f(a) + f(b))
t *' a = g(t * f(a))

Pri cemu su a i b nizovi, a t realan broj.
Operacije su dobro definirane i imaju sva trazena svojstva. Ko ne vjeruje neka provjerava.

Skup je, zacudo, jednodimenzionalan. Dokaz:
Uzmimo skup koji se preslikava u jedinicu i oznacimo ga sa j.
Uzmimo proizvoljni niz a. f(a) je ujedno i skalar.
f(a) *' j = g(f(a) * f(j)) = g(f(a) * 1) = g(f(a)) = a.

Dakle, skup izvodnica ima jedan element.

Hvala na paznji i dovidjenja.

I.M. i J.T

[Hiroaki]

Ispravak:
Napisao sam: "Uzmimo skup koji se preslikava u jedinicu i oznacimo ga sa j."
Treba biti: "Uzmimo niz koji se preslikava u jedinicu i oznacimo ga sa j.
"
Nadam se da je bilo jasno da tu ide niz.

[Exodus]

Ja uopce ne razumijem sto je gospodja Oprah htjela reci svojim rjesenjem; pa bi ju lijepo zamolio da nam ga svima protumaci, ako zna.

[Gost]

Nema se tu kaj za objasnjavat; vi jedni heretici. Nema ni malo vatre u vama.

The Fat_Oprah is out there

[vsego]