Search
 
 
  Engleski
 
 
 
Open in this window (click to change)
Forum@DeGiorgi: Početna
Forum za podršku nastavi na PMF-MO
Login Registracija FAQ Smajlići Članstvo Pretražnik Forum@DeGiorgi: Početna

Dobro def. preslikavanje i homomorfizam grupa (zadatak)
WWW:

Moja sarma
 
Započnite novu temu   Odgovorite na temu   printer-friendly view    Forum@DeGiorgi: Početna -> Kolegiji 3. godine -> Algebarske strukture
Prethodna tema :: Sljedeća tema  
Autor/ica Poruka
Bug
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 06. 04. 2003. (17:31:11)
Postovi: (1A9)16
Spol: muško
Sarma = la pohva - posuda
20 = 35 - 15
Lokacija: Kako kad!!

PostPostano: 19:08 sri, 18. 4. 2012    Naslov: Dobro def. preslikavanje i homomorfizam grupa Citirajte i odgovorite

[img]http://img196.imageshack.us/img196/7379/clipboardimagewo.jpg[/img]

Znaci b) dio je problem...
Ako se mogu raspisati svi dijelovi!


Znaci b) dio je problem...
Ako se mogu raspisati svi dijelovi!



_________________
Everybody Dies...
Nobody is perfect...

Non scholae, sed vitae discimus
[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku MSNM
Gost






PostPostano: 20:24 sri, 18. 4. 2012    Naslov: Citirajte i odgovorite

za ovo dal je dobro definirano, mislim da bi trebali pokazati da f ne ovisi o reprezentantu g koji je iz G/N, (g je zapravo matrica) dakle ako uzmemo dva reprezentanta g1 i g2 trebali bi pokazati da je g1N=g2N, al ja ne znam dalje...pa ako netko ima ideju kako nastaviti
za ovo dal je dobro definirano, mislim da bi trebali pokazati da f ne ovisi o reprezentantu g koji je iz G/N, (g je zapravo matrica) dakle ako uzmemo dva reprezentanta g1 i g2 trebali bi pokazati da je g1N=g2N, al ja ne znam dalje...pa ako netko ima ideju kako nastaviti


[Vrh]
goranm
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 12. 11. 2002. (20:09:12)
Postovi: (906)16
Spol: kućni ljubimac
Sarma = la pohva - posuda
218 = 249 - 31

PostPostano: 20:49 sri, 18. 4. 2012    Naslov: Citirajte i odgovorite

Ako su [tex]\left(\begin{matrix} a_1&b_1\\ 0&a_1^{-1} \end{matrix}\right)[/tex] i [tex]\left(\begin{matrix} a_2&b_2\\ 0&a_2^{-1} \end{matrix}\right)[/tex] dva predstavnika iste klase, onda je [tex]\left(\begin{matrix} a_1&b_1\\ 0&a_1^{-1} \end{matrix}\right) N=\left(\begin{matrix} a_2&b_2\\ 0&a_2^{-1} \end{matrix}\right) N[/tex] pa je [tex]\left(\begin{matrix} a_1^{-1}&-b_1\\ 0&a_1 \end{matrix}\right)\cdot\left(\begin{matrix} a_2&b_2\\ 0&a_2^{-1} \end{matrix}\right)\in N[/tex], odnosno [tex]a_1^{-1}a_2=1[/tex] i još je [tex]a_1a_2^{-1}=1[/tex] pa je [tex]a_1=a_2[/tex], tj. [tex]f\left(\left(\begin{matrix} a_1&b_1\\ 0&a_1^{-1} \end{matrix}\right) N\right)=f\left(\left(\begin{matrix} a_2&b_2\\ 0&a_2^{-1} \end{matrix}\right) N\right).[/tex] Dakle, funkcija f je dobro definirana.

Jer je [tex]\left(\begin{matrix} a_1&x\\ 0&a_1^{-1} \end{matrix}\right)\cdot\left(\begin{matrix} a_2&y\\ 0&a_2^{-1} \end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix} a_1a_2&z\\ 0&(a_2a_1)^{-1} \end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix} a_1a_2&z\\ 0&(a_1a_2)^{-1} \end{matrix}\right)[/tex] onda se lako provjeri da je f homomorfizam.

Očito je epimorfizam jer za [tex]a\in\mathbb{R}^\times[/tex] je [tex]f(mN)=a[/tex], pri čemu je [tex]m[/tex] matrica koja na mjestu (1,1) ima broj [tex]a[/tex], a biti će izomorfizam akko mu je jezgra trivijalna, tj. akko je ker f = N. To ostavljam vama da provjerite. :)
Ako su [tex]\left(\begin{matrix} a_1&b_1\\ 0&a_1^{-1} \end{matrix}\right)[/tex] i [tex]\left(\begin{matrix} a_2&b_2\\ 0&a_2^{-1} \end{matrix}\right)[/tex] dva predstavnika iste klase, onda je [tex]\left(\begin{matrix} a_1&b_1\\ 0&a_1^{-1} \end{matrix}\right) N=\left(\begin{matrix} a_2&b_2\\ 0&a_2^{-1} \end{matrix}\right) N[/tex] pa je [tex]\left(\begin{matrix} a_1^{-1}&-b_1\\ 0&a_1 \end{matrix}\right)\cdot\left(\begin{matrix} a_2&b_2\\ 0&a_2^{-1} \end{matrix}\right)\in N[/tex], odnosno [tex]a_1^{-1}a_2=1[/tex] i još je [tex]a_1a_2^{-1}=1[/tex] pa je [tex]a_1=a_2[/tex], tj. [tex]f\left(\left(\begin{matrix} a_1&b_1\\ 0&a_1^{-1} \end{matrix}\right) N\right)=f\left(\left(\begin{matrix} a_2&b_2\\ 0&a_2^{-1} \end{matrix}\right) N\right).[/tex] Dakle, funkcija f je dobro definirana.

Jer je [tex]\left(\begin{matrix} a_1&x\\ 0&a_1^{-1} \end{matrix}\right)\cdot\left(\begin{matrix} a_2&y\\ 0&a_2^{-1} \end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix} a_1a_2&z\\ 0&(a_2a_1)^{-1} \end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix} a_1a_2&z\\ 0&(a_1a_2)^{-1} \end{matrix}\right)[/tex] onda se lako provjeri da je f homomorfizam.

Očito je epimorfizam jer za [tex]a\in\mathbb{R}^\times[/tex] je [tex]f(mN)=a[/tex], pri čemu je [tex]m[/tex] matrica koja na mjestu (1,1) ima broj [tex]a[/tex], a biti će izomorfizam akko mu je jezgra trivijalna, tj. akko je ker f = N. To ostavljam vama da provjerite. Smile



_________________
The Dude Abides


Zadnja promjena: goranm; 22:07 sri, 18. 4. 2012; ukupno mijenjano 5 put/a.
[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku Pošaljite e-mail
Bug
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 06. 04. 2003. (17:31:11)
Postovi: (1A9)16
Spol: muško
Sarma = la pohva - posuda
20 = 35 - 15
Lokacija: Kako kad!!

PostPostano: 20:50 sri, 18. 4. 2012    Naslov: Citirajte i odgovorite

mozda ovako nesto:

[latex](g_1 H)( g_2 H)=(g_2 H)( g_1 H)[/latex]

[latex]g_1^{-1}g_2^{-1}/ g_1 g_2 H=g_2 g_1H[/latex]

[latex]g_1^{-1}g_2^{-1}g_1 g_2 H=H[/latex]

i sad pokazati da vrijedi [latex]g_1^{-1}g_2^{-1}g_1 g_2 \in H[/latex]

tako jel??
mozda ovako nesto:







i sad pokazati da vrijedi

tako jel??



_________________
Everybody Dies...
Nobody is perfect...

Non scholae, sed vitae discimus
[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku MSNM
goranm
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 12. 11. 2002. (20:09:12)
Postovi: (906)16
Spol: kućni ljubimac
Sarma = la pohva - posuda
218 = 249 - 31

PostPostano: 21:44 sri, 18. 4. 2012    Naslov: Citirajte i odgovorite

[quote="Bug"]mozda ovako nesto:

[latex](g_1 H)( g_2 H)=(g_2 H)( g_1 H)[/latex]

[latex]g_1^{-1}g_2^{-1}/ g_1 g_2 H=g_2 g_1H[/latex]

[latex]g_1^{-1}g_2^{-1}g_1 g_2 H=H[/latex]

i sad pokazati da vrijedi [latex]g_1^{-1}g_2^{-1}g_1 g_2 \in H[/latex]

tako jel??[/quote]
Ne. Što je H, a što su g1 i g2? Zašto započinješ s [latex](g_1 H)( g_2 H)=(g_2 H)( g_1 H)[/latex]? To ne vrijedi općenito, to vrijedi samo ako je G/H komutativna grupa,a u ovom trenutku ne znam ni što ti je G, niti što ti je H.

Što znači [latex]g_1^{-1}g_2^{-1}/ g_1 g_2 H=g_2 g_1H[/latex]? Ovdje kvocijent [latex]g_1^{-1}g_2^{-1}/ g_1 g_2 H[/latex] nije dobro definiran.
Bug (napisa):
mozda ovako nesto:







i sad pokazati da vrijedi

tako jel??

Ne. Što je H, a što su g1 i g2? Zašto započinješ s ? To ne vrijedi općenito, to vrijedi samo ako je G/H komutativna grupa,a u ovom trenutku ne znam ni što ti je G, niti što ti je H.

Što znači ? Ovdje kvocijent nije dobro definiran.



_________________
The Dude Abides


Zadnja promjena: goranm; 21:50 sri, 18. 4. 2012; ukupno mijenjano 1 put.
[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku Pošaljite e-mail
pravipurger
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 11. 07. 2009. (10:29:44)
Postovi: (128)16
Spol: muško
Sarma = la pohva - posuda
29 = 37 - 8

PostPostano: 21:47 sri, 18. 4. 2012    Naslov: Citirajte i odgovorite

[quote="goranm"]

Što znači [latex]g_1^{-1}g_2^{-1}/ g_1 g_2 H=g_2 g_1H[/latex]? Ovdje kvocijent [latex]g_1^{-1}g_2^{-1}/ g_1 g_2 H[/latex] nije dobro definiran.[/quote]

Kolega je krenuo dokazivat komutativnost umjesto injektivnosti.
To, ako ja dobro shvaćam, nije kvocijent već prikaz kao da (g_1)^-1 i (g_2)^-1 dijeluju na g1g2
goranm (napisa):


Što znači ? Ovdje kvocijent nije dobro definiran.


Kolega je krenuo dokazivat komutativnost umjesto injektivnosti.
To, ako ja dobro shvaćam, nije kvocijent već prikaz kao da (g_1)^-1 i (g_2)^-1 dijeluju na g1g2


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
Bug
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 06. 04. 2003. (17:31:11)
Postovi: (1A9)16
Spol: muško
Sarma = la pohva - posuda
20 = 35 - 15
Lokacija: Kako kad!!

PostPostano: 21:58 sri, 18. 4. 2012    Naslov: Citirajte i odgovorite

[quote="goranm"][quote="Bug"]mozda ovako nesto:

[latex](g_1 H)( g_2 H)=(g_2 H)( g_1 H)[/latex]

[latex]g_1^{-1}g_2^{-1}/ g_1 g_2 H=g_2 g_1H[/latex]

[latex]g_1^{-1}g_2^{-1}g_1 g_2 H=H[/latex]

i sad pokazati da vrijedi [latex]g_1^{-1}g_2^{-1}g_1 g_2 \in H[/latex]

tako jel??[/quote]
Ne. Što je H, a što su g1 i g2? Zašto započinješ s [latex](g_1 H)( g_2 H)=(g_2 H)( g_1 H)[/latex]? To ne vrijedi općenito, to vrijedi samo ako je G/H komutativna grupa,a u ovom trenutku ne znam ni što ti je G, niti što ti je H.

Što znači [latex]g_1^{-1}g_2^{-1}/ g_1 g_2 H=g_2 g_1H[/latex]? Ovdje kvocijent [latex]g_1^{-1}g_2^{-1}/ g_1 g_2 H[/latex] nije dobro definiran.[/quote]

Ma krivo sam stavio... umjesto H trebalo jhe pisati N, a [latex]g_1 i g_2 [/latex] su iz G

[size=9][color=#999999]Added after 2 minutes:[/color][/size]

[quote="pravipurger"][quote="goranm"]

Što znači [latex]g_1^{-1}g_2^{-1}/ g_1 g_2 H=g_2 g_1H[/latex]? Ovdje kvocijent [latex]g_1^{-1}g_2^{-1}/ g_1 g_2 H[/latex] nije dobro definiran.[/quote]

Kolega je krenuo dokazivat komutativnost umjesto injektivnosti.
To, ako ja dobro shvaćam, nije kvocijent već prikaz kao da (g_1)^-1 i (g_2)^-1 dijeluju na g1g2[/quote]

da bas to :)
goranm (napisa):
Bug (napisa):
mozda ovako nesto:







i sad pokazati da vrijedi

tako jel??

Ne. Što je H, a što su g1 i g2? Zašto započinješ s ? To ne vrijedi općenito, to vrijedi samo ako je G/H komutativna grupa,a u ovom trenutku ne znam ni što ti je G, niti što ti je H.

Što znači ? Ovdje kvocijent nije dobro definiran.


Ma krivo sam stavio... umjesto H trebalo jhe pisati N, a su iz G

Added after 2 minutes:

pravipurger (napisa):
goranm (napisa):


Što znači ? Ovdje kvocijent nije dobro definiran.


Kolega je krenuo dokazivat komutativnost umjesto injektivnosti.
To, ako ja dobro shvaćam, nije kvocijent već prikaz kao da (g_1)^-1 i (g_2)^-1 dijeluju na g1g2


da bas to Smile



_________________
Everybody Dies...
Nobody is perfect...

Non scholae, sed vitae discimus
[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku MSNM
Gost






PostPostano: 8:56 čet, 19. 4. 2012    Naslov: Citirajte i odgovorite

ja sam dobila da nije izomorfizam, jel to točno?
ja sam dobila da nije izomorfizam, jel to točno?


[Vrh]
kkarlo
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 19. 05. 2010. (08:43:59)
Postovi: (1B2)16
Spol: zombi
Sarma = la pohva - posuda
64 = 72 - 8

PostPostano: 10:17 čet, 19. 4. 2012    Naslov: Citirajte i odgovorite

[quote="Anonymous"]ja sam dobila da nije izomorfizam, jel to točno?[/quote]
Ja mislim da je suprotno...A evo zašto tako mislim:
ako uzmeš bilo koje dvije različite klase, sigurno će ih preslikati u različite elemente R-a pošto je već gore pokazano da bi dva elementa bila u istoj klasi mora bit x1=x2, onda ako su u različitim klasama onda x1!=x2, a onda ih preslikava u različite elemente. Pa po tome injektivnost vrijedi, a surjektivnost također jer koji god nenul broj uzmeš, recimo x, možeš ga preslikati nazad u matricu koja izgleda ovako
(x b)
(0 x)
pri cemu b može biti bilo što pošto je iz R. A ta matrica ponovo određuje točno jednu klasu, bez obzira na b.
Nisam siguran da je sve ovo što sam napisao točno, ali eto to je moje mišljenje...
Anonymous (napisa):
ja sam dobila da nije izomorfizam, jel to točno?

Ja mislim da je suprotno...A evo zašto tako mislim:
ako uzmeš bilo koje dvije različite klase, sigurno će ih preslikati u različite elemente R-a pošto je već gore pokazano da bi dva elementa bila u istoj klasi mora bit x1=x2, onda ako su u različitim klasama onda x1!=x2, a onda ih preslikava u različite elemente. Pa po tome injektivnost vrijedi, a surjektivnost također jer koji god nenul broj uzmeš, recimo x, možeš ga preslikati nazad u matricu koja izgleda ovako
(x b)
(0 x)
pri cemu b može biti bilo što pošto je iz R. A ta matrica ponovo određuje točno jednu klasu, bez obzira na b.
Nisam siguran da je sve ovo što sam napisao točno, ali eto to je moje mišljenje...


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
goranm
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 12. 11. 2002. (20:09:12)
Postovi: (906)16
Spol: kućni ljubimac
Sarma = la pohva - posuda
218 = 249 - 31

PostPostano: 16:07 čet, 19. 4. 2012    Naslov: Citirajte i odgovorite

[quote="Anonymous"]ja sam dobila da nije izomorfizam, jel to točno?[/quote]
Nije. Neka je [tex]\left(\begin{matrix}a&b\\0&a^{-1}\end{matrix}\right)N \in \ker f[/tex].

Onda je [tex]f\left(\left(\begin{matrix}a&b\\0&a^{-1}\end{matrix}\right)N\right)=1[/tex], pa je a=1 i još [tex]\left(\begin{matrix}a&b\\0&a^{-1}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&b\\0&1\end{matrix}\right)[/tex]. Jer je [tex]\left(\begin{matrix}1&b\\0&1\end{matrix}\right) \in N[/tex], onda je [tex]\left(\begin{matrix}1&b\\0&1\end{matrix}\right)N=N[/tex]. Dakle, [tex]\ker f \subseteq N[/tex].

Obratno, ako je [tex]\left(\begin{matrix}a&b\\0&a^{-1}\end{matrix}\right) \in N[/tex], onda je a=1 pa je [tex]f\left(\left(\begin{matrix}a&b\\0&a^{-1}\end{matrix}\right)N\right)=a=1[/tex], tj. [tex]\left(\begin{matrix}a&b\\0&a^{-1}\end{matrix}\right)N \in \ker f[/tex] pa je [tex]N\subseteq \ker f[/tex].

Dakle, ker f = N pa je homomorfizam f monomorfizam. Ranije je ustanovljeno da je epimorfizam pa je i izomorfizam
Anonymous (napisa):
ja sam dobila da nije izomorfizam, jel to točno?

Nije. Neka je [tex]\left(\begin{matrix}a&b\\0&a^{-1}\end{matrix}\right)N \in \ker f[/tex].

Onda je [tex]f\left(\left(\begin{matrix}a&b\\0&a^{-1}\end{matrix}\right)N\right)=1[/tex], pa je a=1 i još [tex]\left(\begin{matrix}a&b\\0&a^{-1}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&b\\0&1\end{matrix}\right)[/tex]. Jer je [tex]\left(\begin{matrix}1&b\\0&1\end{matrix}\right) \in N[/tex], onda je [tex]\left(\begin{matrix}1&b\\0&1\end{matrix}\right)N=N[/tex]. Dakle, [tex]\ker f \subseteq N[/tex].

Obratno, ako je [tex]\left(\begin{matrix}a&b\\0&a^{-1}\end{matrix}\right) \in N[/tex], onda je a=1 pa je [tex]f\left(\left(\begin{matrix}a&b\\0&a^{-1}\end{matrix}\right)N\right)=a=1[/tex], tj. [tex]\left(\begin{matrix}a&b\\0&a^{-1}\end{matrix}\right)N \in \ker f[/tex] pa je [tex]N\subseteq \ker f[/tex].

Dakle, ker f = N pa je homomorfizam f monomorfizam. Ranije je ustanovljeno da je epimorfizam pa je i izomorfizam



_________________
The Dude Abides
[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku Pošaljite e-mail
Prethodni postovi:   
Započnite novu temu   Odgovorite na temu   printer-friendly view    Forum@DeGiorgi: Početna -> Kolegiji 3. godine -> Algebarske strukture Vremenska zona: GMT + 01:00.
Stranica 1 / 1.

 
Forum(o)Bir:  
Možete otvarati nove teme.
Možete odgovarati na postove.
Ne možete uređivati Vaše postove.
Ne možete izbrisati Vaše postove.
Ne možete glasovati u anketama.
You cannot attach files in this forum
You can download files in this forum


Powered by phpBB © 2001, 2002 phpBB Group
Theme created by Vjacheslav Trushkin
HR (Cro) by Ančica Sečan