Redovi

[Zenon]

Ispitajte konvergenciju reda [tex]\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\arctan \frac{1}{2n^2}[/tex] i odredite mu sumu ako konvergira.

Unaprijed hvala!

_________________
It's a wonderful, wonderful life!
[tex]\heartsuit \ \mathcal{PMF-MO} \ \heartsuit[/tex]
[tex]\mathbb Z\Sigma\mathbb N\emptyset\mathbb N[/tex]

[gflegar]

[Zenon]

Opet je zadatak malo zalutao. Taj zadatak je odmah iza prve lekcije, gdje se ne spominju nikakvi kriteriji osim nužnog uvjeta konvergencije reda.

Hvala na tako lijepom raspisu



Added after 49 minutes:

Molio bih pomoć oko još dva reda, u ovom slučaju treba samo ispitati konvergenciju. Prvi je [tex]\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\ln (n!)}[/tex], a drugi [tex]\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\sin\frac 1n \sinh\frac 1n \cos n[/tex].

Unaprijed puno hvala!

_________________
It's a wonderful, wonderful life!
[tex]\heartsuit \ \mathcal{PMF-MO} \ \heartsuit[/tex]
[tex]\mathbb Z\Sigma\mathbb N\emptyset\mathbb N[/tex]

[malalodacha]

prvi usporediš sa redom 1/(n*lnn) za koji dokažeš lako integralnim krinterijem da divergira, a drugi dokaži apsolutnu konvergenciju za funkciju sin(1/n) sh(1/n) i usporedi sa 1/n^2

Added after 1 minutes:

tj, dokaži apsolutnu konvergenciju tako da sin(1/n) sh(1/n) usporediš s 1/n^2

[Zenon]

Uspio sam oba, hvala ti

_________________
It's a wonderful, wonderful life!
[tex]\heartsuit \ \mathcal{PMF-MO} \ \heartsuit[/tex]
[tex]\mathbb Z\Sigma\mathbb N\emptyset\mathbb N[/tex]

[ebartos]

Jel može pomoć oko 3.b zadatka iz bilo koje grupe (moze i obje)? http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/analiza/kolokviji/ma2-1011-kol2.pdf

[Zenon]

Pretpostavljam da te muči apsolutna konvergencija s obzirom da je obična trivijalna.
[tex]e^{-H_n}=\frac{1}{e^{H_n}}[/tex] i sada to usporediš s [tex]\frac 1n[/tex]
[dtex]\frac{\frac{1}{e^{H_n}}}{\frac 1n}=\frac{n}{e^{H_n}}=\frac{1}{e^{H_n}\cdot n^{-1}}=\frac{1}{e^{H_n}\cdot e^{-\ln n}}=\frac{1}{e^{H_n-\ln n}}[/dtex]
i tu imaš Euler-Mascheronijevu konstantu.

Za ovaj drugi trenutno nemam ideju, pa ću ti odgovoriti kad/ako dobijem i ako nitko drugi u međuvremenu ne odgovori. Trenutno radim nešto drugo, pa nemam vremena sada baviti se tim zadatkom

_________________
It's a wonderful, wonderful life!
[tex]\heartsuit \ \mathcal{PMF-MO} \ \heartsuit[/tex]
[tex]\mathbb Z\Sigma\mathbb N\emptyset\mathbb N[/tex]

[ebartos]

Puno hvala!

[dalmatinčica]

može li netko dati neku uputu za 4. b)
http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/analiza/kolokviji/ma2-0809-kol2.pdf
može obe grupe

i 3.33 e)
http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/analiza/files/ch3_3.pdf


hvala

[ebartos]

Za 4.b u prvoj grupi: gledaj Taylorove redove oko točke 0 za funkcije cos(x) i ch(x) (ovaj drugi red možeš lagano dobit preko definicije ch(x) i reda funkcije e^x). Kad imaš ta 2 reda probaj ih zbrojit i i onda rezultat pomnozit s 1/2 i trebao bi se dobit red koji u nazivniku ima (4n!) i onda uvrstiš x=1.

[vjekovac]

[Zenon]

LOL.
Onaj prvi sam riješio za 5 minuta, a ovaj vjerovatno ne bih nikad
Nisu baš podjednako teški, ma da sam i ja raspisao po binomnoj formuli, samo nisam znao što dalje.



Added after 40 minutes:

Usput, evo i zadatak:
[tex]\displaystyle \sum \frac{(n!)^5}{(5n)!}(x-2)^n[/tex] → dobio sam da je radijus konvergencije [tex]5^5[/tex] i kako sada provjeriti rubne točke intevrala konvergencije? Meni se čini da tamo ne konvergira jer ovo prebrzo raste, ali ne znam to pokazati (ako je točno).

Unaprijed puno hvala!

_________________
It's a wonderful, wonderful life!
[tex]\heartsuit \ \mathcal{PMF-MO} \ \heartsuit[/tex]
[tex]\mathbb Z\Sigma\mathbb N\emptyset\mathbb N[/tex]

[R2-D2]

Probaj s D'Alambertovim kriterijem to pokazati, ali s onom "originalnom verzijom", tj. da je kvocijent dva člana veći ili jednak 1.

[rom]

kako bi išlo ispitivanje kovergenicije [tex]\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\ln(cos\frac{1}{n})[/tex]
hvala

[Zenon]

Tvrdimo da konvergira apsolutno. Prvo naštimamo na poznati limes [tex]\ln (1+(\cos\frac 1n -1))[/tex] i onda usporedimo na način [tex]\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{\vert\ln (1+(\cos\frac 1n -1))\vert}{\vert\cos\frac 1n -1\vert}=1[/tex]
Znači, sve ovisi o konvergenciji reda [tex]\sum \vert\cos\frac 1n -1\vert[/tex], no i to znamo.
Njega sad usporedimo na način [tex]\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{\vert\cos\frac 1n -1\vert}{\frac{1}{n^2}}=\lim_{n\to\infty}\frac{\vert 1-\cos\frac 1n \vert}{ \frac{1}{n^2}}=\frac 12[/tex].

Znam da to nisu redovi s pozitivnim članovima, ali zato i jesam stavljao apsolutno, a apsolutna vrijednost je neprekidna pa limes može "ući" unutra.

_________________
It's a wonderful, wonderful life!
[tex]\heartsuit \ \mathcal{PMF-MO} \ \heartsuit[/tex]
[tex]\mathbb Z\Sigma\mathbb N\emptyset\mathbb N[/tex]

[kiara]

Moze li pomoc oko 3.a) od prosle godine?

[Zenon]

[tex]\displaystyle \sum \left(\cosh\frac 1n -\cos\frac 1n\right)^a[/tex] pisat ću [tex]a[/tex] da ne pišem alfa, ne da mi se.
Prvo primjeti da su svi članovi reda pozitivni jer je kosinus hiperbolni u nuli jednak 1, za x>0 je >1, dok je cos ⇐1.
I sada uspoređuješ:
[dtex]\lim_{n\to\infty}\frac{\left(\cosh\frac 1n-1+1 -\cos\frac 1n\right)^a}{\frac{1}{n^{2a}}}=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{\cosh\frac 1n -1}{n^2}+\frac{1-\cos\frac 1n}{n^2}\right)^a=1[/dtex].

I sad gledaš za koji [tex]2a[/tex] red [tex]\sum\frac{1}{n^{2a}}[/tex] konvergira. Konvergira za sve [tex]2a>1 \Longrightarrow a>\frac 12[/tex].

_________________
It's a wonderful, wonderful life!
[tex]\heartsuit \ \mathcal{PMF-MO} \ \heartsuit[/tex]
[tex]\mathbb Z\Sigma\mathbb N\emptyset\mathbb N[/tex]

[kiara]

Hvala!

[Zenon]

[R2-D2]

Evo, ovako sam ja (možda sam nešto krivo): opći član je (n!)^5*(5^5n)/(5n)!, zar ne? kad središ kvocijent dvaju članova imaš (n+1)^4/((n+1/5)*(n+2/5)*(n+3/5)*(n+4/5)). To je sigurno veće od 1.