|
[quote="goranm"][quote="setebos93"]Ja sam riješio na način da sam 4. jednadžbu dobio oduzimanje 2*druge od treće. Onda mi 4. jednadžba glasi 5b-4c-7d. Probaj sad sama pa ako ne bude išlo napišem svoj postupak. Rješenja su mi došla a=1463/735, b=353/245, c=32/147 i d=13/21.[/quote]
Oduzimanjem druge od treće jednadžbe ne dobivaš nove informacije, tako da ti to ne može poslužiti kao 4. jednadžba. Taj sustav imati će beskonačno rješenja u ovisnosti o jednom ili više realnih parametara.
[/quote]
Mislim da je ovdje korisno, za kolegu setebos93, napomenuti da taj sustav nikako ne može imati jedinstveno rješenje. Pogledajmo vektorsku interpretaciju sustava. Prvi stupac sustava (koeficijenti uz a) predstavlja jedan vektor, u ovom slučaju u trodimenzionalnom vektorskom prostoru. Neka je on [tex]x=(3,1,2)[/tex] ili, ako je tako pristupačnije, [tex]x=3\vec i+\vec j+2\vec k[/tex]. Analogno su preostali vektori [tex]y=(-1,-2,1), z=(5,3,2), v=(-1,2,-3)[/tex] i [tex]w=(5,1,4)[/tex]. Kako je dimenzija vektorskog prostora u kojem se ti vektori nalaze očito 3, baza za taj prostor ima 3 vektora, a mi u sustavu imamo linearnu kombinaciju njih 4. Dakle, najmanje jedan vektor iz linearne kombinacije se može prikazati kao linearna kombinacija preostalih (sada ne gledamo vektor [tex]w[/tex]).
Naš sustav ekvivalentan je vektorskoj jednadžbi [tex]ax+by+cz+dv=w[/tex].
Želim još samo napomenuti da je goranm-ova tvrdnja ispravna za ovaj sustav, ali to nije nešto što sada trebaš uzeti za ovakve sustave općenito. Naime, "sličan" sustav će ili imati beskonačno mnogo rješenja ili neće uopće imati rješenja. Primjer: [tex]\alpha (1,0,0)+\beta (2,3,0)+\gamma (3,2,0)+\delta (4,4,0)=(0,0,1)[/tex], što je ekvivalentno sustavu [dtex]\begin{array}{ccccccccc} \alpha & + & 2\beta & + & 3\gamma & + & 4\delta & = & 0\\
& & 3\beta & + & 2\gamma & + & 4\delta & = & 0\\
& & & & & & 0 & = & 1
\end{array}[/dtex]
Nepostojanje rješenja neće uvijek biti očito kao što je to u ovom primjeru.
| goranm (napisa): | | setebos93 (napisa): | | Ja sam riješio na način da sam 4. jednadžbu dobio oduzimanje 2*druge od treće. Onda mi 4. jednadžba glasi 5b-4c-7d. Probaj sad sama pa ako ne bude išlo napišem svoj postupak. Rješenja su mi došla a=1463/735, b=353/245, c=32/147 i d=13/21. |
Oduzimanjem druge od treće jednadžbe ne dobivaš nove informacije, tako da ti to ne može poslužiti kao 4. jednadžba. Taj sustav imati će beskonačno rješenja u ovisnosti o jednom ili više realnih parametara.
|
Mislim da je ovdje korisno, za kolegu setebos93, napomenuti da taj sustav nikako ne može imati jedinstveno rješenje. Pogledajmo vektorsku interpretaciju sustava. Prvi stupac sustava (koeficijenti uz a) predstavlja jedan vektor, u ovom slučaju u trodimenzionalnom vektorskom prostoru. Neka je on [tex]x=(3,1,2)[/tex] ili, ako je tako pristupačnije, [tex]x=3\vec i+\vec j+2\vec k[/tex]. Analogno su preostali vektori [tex]y=(-1,-2,1), z=(5,3,2), v=(-1,2,-3)[/tex] i [tex]w=(5,1,4)[/tex]. Kako je dimenzija vektorskog prostora u kojem se ti vektori nalaze očito 3, baza za taj prostor ima 3 vektora, a mi u sustavu imamo linearnu kombinaciju njih 4. Dakle, najmanje jedan vektor iz linearne kombinacije se može prikazati kao linearna kombinacija preostalih (sada ne gledamo vektor [tex]w[/tex]).
Naš sustav ekvivalentan je vektorskoj jednadžbi [tex]ax+by+cz+dv=w[/tex].
Želim još samo napomenuti da je goranm-ova tvrdnja ispravna za ovaj sustav, ali to nije nešto što sada trebaš uzeti za ovakve sustave općenito. Naime, "sličan" sustav će ili imati beskonačno mnogo rješenja ili neće uopće imati rješenja. Primjer: [tex]\alpha (1,0,0)+\beta (2,3,0)+\gamma (3,2,0)+\delta (4,4,0)=(0,0,1)[/tex], što je ekvivalentno sustavu [dtex]\begin{array}{ccccccccc} \alpha & + & 2\beta & + & 3\gamma & + & 4\delta & = & 0\\
& & 3\beta & + & 2\gamma & + & 4\delta & = & 0\\
& & & & & & 0 & = & 1
\end{array}[/dtex]
Nepostojanje rješenja neće uvijek biti očito kao što je to u ovom primjeru.
|
