Search
 
 
  Engleski
 
 
 
Open in this window (click to change)
Forum@DeGiorgi: Početna
Forum za podršku nastavi na PMF-MO
Login Registracija FAQ Smajlići Članstvo Pretražnik Forum@DeGiorgi: Početna

Picard / separabilne jednadžbe (zadatak)
WWW:

Moja sarma
 
Započnite novu temu   Odgovorite na temu   printer-friendly view    Forum@DeGiorgi: Početna -> Kolegiji 3. godine -> Obične diferencijalne jednadžbe
Prethodna tema :: Sljedeća tema  
Autor/ica Poruka
Gost






PostPostano: 17:22 pon, 5. 11. 2012    Naslov: Picard / separabilne jednadžbe Citirajte i odgovorite

Može li netko napisati koja su rješenja zadatka sa današnjeg kolokvija:

Zadana je diferencijalna jednadžba:

[dtex]u' = \frac{x | u - 1 |}{1 + x^4}[/dtex]

Možemo li primijeniti Picardov teorem, odnosno teorem o separabilnim jednadžbama ako za početni uvjet uzmemo:

a) u(1) = 0

b) u(0) = 1

I što napraviti s ovom apsolutnom vrijednosti :?

Puno hvala!
Može li netko napisati koja su rješenja zadatka sa današnjeg kolokvija:

Zadana je diferencijalna jednadžba:

[dtex]u' = \frac{x | u - 1 |}{1 + x^4}[/dtex]

Možemo li primijeniti Picardov teorem, odnosno teorem o separabilnim jednadžbama ako za početni uvjet uzmemo:

a) u(1) = 0

b) u(0) = 1

I što napraviti s ovom apsolutnom vrijednosti Confused

Puno hvala!


[Vrh]
Phoenix
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 15. 05. 2010. (18:46:07)
Postovi: (164)16
Sarma: -

PostPostano: 17:55 pon, 5. 11. 2012    Naslov: Re: Picard / separabilne jednadžbe Citirajte i odgovorite

U prvom slučaju, a), možemo uzeti dovoljno malenu okolinu, točnije, po iskazu teorema s predavanja, pravokutnik, oko [tex](1,0)[/tex] takvu da vrijedi [tex]|u-1|=1-u[/tex] (recimo, [tex]\left< 0,2 \right> \times \left< -\frac{1}{2},\frac{1}{2} \right>[/tex] je dobar primjer). Sada je jasno da je funkcija [tex]f(x,u)=\frac{x|u-1|}{1+x^4}[/tex] Lipschitz-neprekidna po drugoj varijabli. Također je i neprekidna. Stoga možemo primijeniti Picardov teorem.
Picardov teorem se može primijeniti i u b), s tim da je možda nešto teže dokazati Lipschitz-neprekidnost po drugoj varijabli, ali isto se to može napraviti jednostavnim računom, ako ništa drugo, na slučajeve ovisno o predznaku izraza [tex]u-1[/tex].

Za teorem o separiranim varijablama nameće se izbor [tex]g(x)=\frac{x}{1+x^4}[/tex] i [tex]h(u)=|u-1|[/tex]. Obe funkcije su neprekidne na [tex]\mathbb{R}[/tex] te je [tex]h(\mathbb{R}) = \left[ 0,+\infty \right>[/tex], s tim da je [tex]h(u)=0 \Leftrightarrow u=1[/tex]. Dakle, [tex]h[/tex] je strogo pozitivna akko promatramo područje u kojem [tex]u[/tex] ne poprima vrijednost [tex]1[/tex].
Pod a) vidimo da se može uzeti dovoljno maleni pravokutnik takav da se ta vrijednost izbjegne pa se teorem o separiranim jednadžbama može primijeniti. Međutim, u b) mora vrijediti [tex]1 \in h( \left< 1-\alpha_u, 1+\beta_u \right>)[/tex], koje god konstante [tex]\alpha_u, \beta_u \in \left< 0, +\infty \right>[/tex] izabrali. Stoga tu ne možemo primijeniti teorem o separiranim jednadžbama.
U prvom slučaju, a), možemo uzeti dovoljno malenu okolinu, točnije, po iskazu teorema s predavanja, pravokutnik, oko [tex](1,0)[/tex] takvu da vrijedi [tex]|u-1|=1-u[/tex] (recimo, [tex]\left< 0,2 \right> \times \left< -\frac{1}{2},\frac{1}{2} \right>[/tex] je dobar primjer). Sada je jasno da je funkcija [tex]f(x,u)=\frac{x|u-1|}{1+x^4}[/tex] Lipschitz-neprekidna po drugoj varijabli. Također je i neprekidna. Stoga možemo primijeniti Picardov teorem.
Picardov teorem se može primijeniti i u b), s tim da je možda nešto teže dokazati Lipschitz-neprekidnost po drugoj varijabli, ali isto se to može napraviti jednostavnim računom, ako ništa drugo, na slučajeve ovisno o predznaku izraza [tex]u-1[/tex].

Za teorem o separiranim varijablama nameće se izbor [tex]g(x)=\frac{x}{1+x^4}[/tex] i [tex]h(u)=|u-1|[/tex]. Obe funkcije su neprekidne na [tex]\mathbb{R}[/tex] te je [tex]h(\mathbb{R}) = \left[ 0,+\infty \right>[/tex], s tim da je [tex]h(u)=0 \Leftrightarrow u=1[/tex]. Dakle, [tex]h[/tex] je strogo pozitivna akko promatramo područje u kojem [tex]u[/tex] ne poprima vrijednost [tex]1[/tex].
Pod a) vidimo da se može uzeti dovoljno maleni pravokutnik takav da se ta vrijednost izbjegne pa se teorem o separiranim jednadžbama može primijeniti. Međutim, u b) mora vrijediti [tex]1 \in h( \left< 1-\alpha_u, 1+\beta_u \right>)[/tex], koje god konstante [tex]\alpha_u, \beta_u \in \left< 0, +\infty \right>[/tex] izabrali. Stoga tu ne možemo primijeniti teorem o separiranim jednadžbama.


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
Prethodni postovi:   
Započnite novu temu   Odgovorite na temu   printer-friendly view    Forum@DeGiorgi: Početna -> Kolegiji 3. godine -> Obične diferencijalne jednadžbe Vremenska zona: GMT + 01:00.
Stranica 1 / 1.

 
Forum(o)Bir:  
Možete otvarati nove teme.
Možete odgovarati na postove.
Ne možete uređivati Vaše postove.
Ne možete izbrisati Vaše postove.
Ne možete glasovati u anketama.
You cannot attach files in this forum
You can download files in this forum


Powered by phpBB © 2001, 2002 phpBB Group
Theme created by Vjacheslav Trushkin
HR (Cro) by Ančica Sečan