Svojstvene vrijednosti i Jordanove forme

[i @ p]

može netko malo bolje pojasniti 6. zadatak iz zadaće?

[white_butterfly]

može me netko prosvjetliti za 9 zadatak iz zadaće?

[maaajčiii]

[pedro]

[kkarlo]

[pedro]

http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/vekt/VP1.pdf

može netko rješit 1.12 ?

[Bole13]

Samo bih si još htio taj 7. zadatak od prošle godine rasčistit.
Znači A^2012+4A^2010=4A^2011 zapišemo kao:

A^2010*(A-2I)^2=0 i vidimo da je spektar od A element iz S podskup od {0, 2}. Pošto je S iz L(C^3) karakteristični polinom može biti:

1) lambda^3
2) (lambda-2)^3
3) lambda^2*(lambda-2)
4) lambda*(lambda-2)^2

I onda za 1. i 2. slučaj imamo 3 mogućnosti, a za 3. i 4. po dvije?
Ili bih iz (A-2I)^2 trebao dobiti još neku informaciju o svojstvenoj vrijednosti 2 koja mi smanjuje broj mogućih formi?

[lost_soul]

@Bole13: mislim da karakteristični u C^3 mora imati iste nultočke kao i u zadanom pa su slučajevi:
1. lambda^2*(lambda-2), u kojem imamo 2 mogućnosti
2.lambda*(lambda-2)^2, u kojem imamo 2 mogućnosti
i dobijemo najviše 4 elementa skupa S. Neka me neko ispravi ako nije tako..

@Pedro: u 10.zadatku ne preostaje drugo nego izračunati matricu na 2 i 3 potenciju pa zaključiti neko pravilo.. možeš i ukucati u Wolfram alphu za n-tu potenciju

@funkcija: nije bitan poredak svojstvenih vrijednosti, ali je dogovor pisati od klijetke s najvećom dimenzijom prema onoj s manjom.. bar je tako asistentica rekla na vježbama

@ i@p: indA=7 => A^7=0, A^6/=0.
Ako bi postojao takav B, vrijedilo bi: 0=A^7=(B^3)^7=B^21, 0/=A^6=(B^3)^6=B^18. iz toga slijedi da je B nilpotentan operator i 18<indB<=21
što znači da je indB>=19, a znamo da indB<dimenzije prostora=10 pa dolazimo do kontradikcije jer imamo 19<=indB<10... takav operator B ne postoji

@white butterfly: Iz r(A-2I)=7 slijedi da je d(A-2I)=2, što znači da imamo 2 klijetke za svojstvenu vrijednost 2
iz minimalnog polinoma vidimo da je za sv. vrijednost 2 dimenzija najveće klijetke jednaka 2, a za sv. vrijednosti 1 i 0 je dimezija najveće klijetke jednaka 1.
sada imamo 2 slučaja:
1. kad za sv.vrijednost 2 imamo 1 dvodim. i 1 jednodim.klijetku, onda imamo 5 različitih operatora (zapravo je namještanje broja klijetki za sv.vr. 1 i 0)
2. kad za sv. vrijednost 2 imamo 2 dvodim.klijetke, onda imamo 4 različita operatora
što daje najviše 9 različitih operatora

Nadam se da je bilo od pomoći

[funkcija]

"Par studenata me je pitalo za 10. zadatak. Evo hinta.

Vrijedi


p(A) = 0 za p(x) = x^{2010} (x - 3)^2.


Iz toga vidimo da minimalni polinom dijeli polinom p. S obzirom da su operatori zadani na prostoru C^3, sada nije tesko napisati koje su mogucnosti za minimalni polinom, a nakon toga i sve moguce Jordanove forme."

Da li netko moze dalje raspisati meni i dalje nije jasan do kraja zadatak.
Da li svojstvene vrijednosti trebaju biti 0 i 3 ili moze samo 0 ili samo 3 u jednoj Jordanovoj formi??
Koliko na kraju ima elemenata?

_________________
Ako je danas 0 stupnjeva a sutra će biti dvostruko hladnije nego danas, koliko će stupnjeva biti sutra?

[googol]

Moze li molim vas pomoc s ZAD 7 iz http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/vekt/files/2010-11/kol1_10_11.pdf

Hvala!

[Gost]

@googol

Primijeti da ako je x svojstvena vrijednost od A, onda je x^2 svojstvena vrijednost od A^2.

(x-2)^2 je minimalni polinom od A pa vrijedi da:
(A-2)^2 = 0 <=> A^2 = 4A - 4I (*)

Sada cemo dokazati da je (x-4)^2 minimalni polinom od A^2 (samo smo zamijenili svojstvenu vrijednost 2 s 4):

(A^2 - 4I)^2 = (*) = (4A - 4I - 4I)^2 = 16(A - 2I)^2 = 16 * 0 = 0

Dakle minimalni polinom A^2 dijeli (x - 4)^2, dakle trebamo pokazati jos da mozda nije (x-4) minimalni polinom:

A^2 - 4I = (*) = 4A - 4I - 4I = 4(A-2I) <> 0 jer bi inace A-2I bio minimalni polinom od A.

[white_butterfly]

Može pomoć s 9. zadatkom iz 2008. http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/vekt/vp_1kolA.pdf
tj. treba mi pomoć samo za ovaj zadnji dio kako napisati inverz operatora A kao polinom od A?

[ceps]

@white_butterfly

http://web.math.pmf.unizg.hr/~gmuic/predavanja/vp.pdf

Skripta, 20. stranica, Teorem 2.11.
Njegov dokaz ti opisuje postupak za to, ti samo to primijeni na konkretnom primjeru.

[white_butterfly]

Hvala! ne bi se nikad toga sjetila...

[delilah01.]

http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/vekt/files/2010-11/kol1_10_11.pdf

može li pomoć sa 7. zadatkom? svejedno iz koje grupe.
ne znam kako da počnem.

hvala unaprijed!

[lost_soul]

Odgovoreno je par postova iznad. Korisno je pogledat što ljudi prije pitaju i odgovore

[delilah01.]

Da, hvala, sad vidim. Još sam gledala prije, ali sam valjda pobrkala godine. Hvala svejedno!

[pedro]

http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/vekt/vp_1kolA.pdf

može 7?

[Gost]

Može pomoć oko 7.zadatka http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/vekt/files/2010-11/kol1_10_11.pdf

[pedro]