Presjek tezisnica (zadatak)

[Selvedina]

Neka su D,E,F polovista stranica BC,CA,AB trougla ABC.
Dokazati da trouglovi ABC i DEF imaju zajednicko poloviste.

Ako iko moze da pomogne .
Hvala unapred.

[vsego]

Temeljni pojmovi o trokutu (PDF, 264kB), P1.18. na str. 10.

_________________
U pravilu ignoriram pitanja u krivim topicima i kodove koji nisu u [code]...[/code] blokovima.
Takodjer, OBJASNITE sto vas muci! "Sto mi je krivo?", bez opisa u cemu je problem, rijetko ce zadobiti moju paznju.

[Nightrider]

[Selvedina]

[satja]

Propozicija P1.18 na koju je vsego pokazao dokazuje upravo to sto zelis: ta dva trokuta imaju zajednicko, tj. isto teziste.

[Selvedina]

[satja]

Ide slicno kao dokaz za trokute. Pokazat cemo da se polovista duzina [tex]AC[/tex] i [tex]EG[/tex] poklapaju. Za to nam treba [dtex]\frac{r_A + r_C}{2} = \frac{r_E + r_G}2[/dtex] (treba staviti strelice iznad ovih radijvektora). Ovo se svodi na [tex]r_E - r_A = r_C - r_G[/tex], tj. [tex]\vec{AE} = \vec{GC}[/tex], a to je lako dokazati.

[Selvedina]

[satja]

Ideja: primijeti da je [tex]\angle AOB = 30^{\circ}[/tex], spusti okomicu iz [tex]B[/tex] na [tex]OA[/tex], promatrajuci dobiveni pravokutni trokut pokazi da je [tex]\vec{b} = \frac{\sqrt 3}{2} \vec{a} + \frac{1}{2}\vec{c} [/tex].

[Selvedina]

[satja]

[tex]\frac{\sqrt{3}}{2} = \cos 30^{\circ}[/tex], [tex]\frac{1}{2} = \sin 30^{\circ}[/tex].

Ili, promatrajuci trokut [tex]ONB[/tex], gdje je [tex]N[/tex] noziste spomenute okomice, mozemo vidjeti da je on polovica jednakostranicnoga trokuta, pa imamo da je [tex]\vec{NB}[/tex] duljine pola radijusa i stoga jednak [tex]\frac{\vec{c}}2[/tex], dok je [tex]\vec{ON}[/tex] visina jednakostranicnoga trokuta (sjeti se formule [tex]v = \frac{A \sqrt 3}2[/tex]). Na kraju [tex]\vec{b} = \vec{ON}+\vec{NB}[/tex].

[Selvedina]

[satja]

Ne, omjer lukova smo iskoristili da dobijemo kut. Vektor [tex]\vec c[/tex] izrazavamo iz [tex]\vec{b} = \frac{\sqrt 3}{2} \vec{a} + \frac{1}{2}\vec{c} [/tex].

[Selvedina]