Search
 
 
  Engleski
 
 
 
Open in this window (click to change)
Forum@DeGiorgi: Početna
Forum za podršku nastavi na PMF-MO
Login Registracija FAQ Smajlići Članstvo Pretražnik Forum@DeGiorgi: Početna

Distribucija od X/(X+Y)
WWW:

Moja sarma
 
Započnite novu temu   Odgovorite na temu   printer-friendly view    Forum@DeGiorgi: Početna -> Kolegiji 3. godine -> Statistika
Prethodna tema :: Sljedeća tema  
Autor/ica Poruka
Zoran
Gost





PostPostano: 23:03 uto, 9. 4. 2013    Naslov: Distribucija od X/(X+Y) Citirajte i odgovorite

Izgubilo se pitanje u drugom threadu, pa da pitam u zasebnom:

http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/stat/files/stat-1112-kol1_rj.pdf

zadatak 4. b)

[tex]X[/tex] i [tex]Y[/tex] su nezavisne s eksponencijalnom distribucijom s parametrom [tex]3[/tex].
Odredite funkciju distribucije i funkciju gustoće slučajne varijable [tex]Z = \dfrac{X}{X+Y}[/tex]

Jasno mi je da se funkcija gustoće dobije deriviranjem funkcije distribucije, pa samo pitam za funkciju distribucije...

Jasno je da po definiciji vrijedi

[tex]F_Z(z) = \mathbb{P} (Z \leq z)= \mathbb{P} (\dfrac{X}{X+Y} \leq z)[/tex]

Ali kako dalje?
Probao sam izraziti preko dvostrukog integrala od [tex]3 e^{-3x}\cdot 3 e^{-3y}[/tex] po području gdje je [tex]\dfrac{x}{x+y} \leq z[/tex] ali se zapetljam i nikako da dođem do točnog rješenja :(

Zato bih bio jako zahvalan na pomoći! Makar hint...

Hvala :)
Izgubilo se pitanje u drugom threadu, pa da pitam u zasebnom:

http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/stat/files/stat-1112-kol1_rj.pdf

zadatak 4. b)

[tex]X[/tex] i [tex]Y[/tex] su nezavisne s eksponencijalnom distribucijom s parametrom [tex]3[/tex].
Odredite funkciju distribucije i funkciju gustoće slučajne varijable [tex]Z = \dfrac{X}{X+Y}[/tex]

Jasno mi je da se funkcija gustoće dobije deriviranjem funkcije distribucije, pa samo pitam za funkciju distribucije...

Jasno je da po definiciji vrijedi

[tex]F_Z(z) = \mathbb{P} (Z \leq z)= \mathbb{P} (\dfrac{X}{X+Y} \leq z)[/tex]

Ali kako dalje?
Probao sam izraziti preko dvostrukog integrala od [tex]3 e^{-3x}\cdot 3 e^{-3y}[/tex] po području gdje je [tex]\dfrac{x}{x+y} \leq z[/tex] ali se zapetljam i nikako da dođem do točnog rješenja Sad

Zato bih bio jako zahvalan na pomoći! Makar hint...

Hvala Smile


[Vrh]
Megy Poe
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 05. 11. 2009. (23:14:52)
Postovi: (122)16
Sarma = la pohva - posuda
14 = 25 - 11

PostPostano: 23:42 uto, 9. 4. 2013    Naslov: Re: Distribucija od X/(X+Y) Citirajte i odgovorite

[quote="Zoran"]Izgubilo se pitanje u drugom threadu, pa da pitam u zasebnom:

http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/stat/files/stat-1112-kol1_rj.pdf

zadatak 4. b)

[tex]X[/tex] i [tex]Y[/tex] su nezavisne s eksponencijalnom distribucijom s parametrom [tex]3[/tex].
Odredite funkciju distribucije i funkciju gustoće slučajne varijable [tex]Z = \dfrac{X}{X+Y}[/tex]

Jasno mi je da se funkcija gustoće dobije deriviranjem funkcije distribucije, pa samo pitam za funkciju distribucije...

Jasno je da po definiciji vrijedi

[tex]F_Z(z) = \mathbb{P} (Z \leq z)= \mathbb{P} (\dfrac{X}{X+Y} \leq z)[/tex]

Ali kako dalje?
Probao sam izraziti preko dvostrukog integrala od [tex]3 e^{-3x}\cdot 3 e^{-3y}[/tex] po području gdje je [tex]\dfrac{x}{x+y} \leq z[/tex] ali se zapetljam i nikako da dođem do točnog rješenja :(

Zato bih bio jako zahvalan na pomoći! Makar hint...

Hvala :)[/quote]

Sorry što mi je tak dugo trebalo al morala sam ić tražit hrpu formula koje napamet nažalost ne znam i neznam zašto ih ne smijemo imati..e sad ovako..

Sve formule su izvađene sa vježbi: ako su Xi..Xn eksponencijalne onda je to e sad ja ne znam imam ona distribucija koja ima oznaku ko graf funkcije od (n,1/lambda) znači kod nas je X+Y je ta distribucija od (2,1/3). A x je ta distribucija od (1,1/3). Kad uvrstiš to u f-ju gustoće te dvije f-je..to ovdje četvrta http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/stat/files/nepr_distrib.pdf
Onda imaš onu formulu ovdje http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/stat/files/formule1.pdf za Y/X
I onda preko toga kad dobiješ f-ju gustoće te funkcije onda lagano dobiješ funkciju distirbucije i vidiš da je rješenje z.

Kao što vidiš postupak je malo dugačak, naporan, blago rečeno katastrofalan, al nadam se da je zadovoljio tvoje pitanje.
Zoran (napisa):
Izgubilo se pitanje u drugom threadu, pa da pitam u zasebnom:

http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/stat/files/stat-1112-kol1_rj.pdf

zadatak 4. b)

[tex]X[/tex] i [tex]Y[/tex] su nezavisne s eksponencijalnom distribucijom s parametrom [tex]3[/tex].
Odredite funkciju distribucije i funkciju gustoće slučajne varijable [tex]Z = \dfrac{X}{X+Y}[/tex]

Jasno mi je da se funkcija gustoće dobije deriviranjem funkcije distribucije, pa samo pitam za funkciju distribucije...

Jasno je da po definiciji vrijedi

[tex]F_Z(z) = \mathbb{P} (Z \leq z)= \mathbb{P} (\dfrac{X}{X+Y} \leq z)[/tex]

Ali kako dalje?
Probao sam izraziti preko dvostrukog integrala od [tex]3 e^{-3x}\cdot 3 e^{-3y}[/tex] po području gdje je [tex]\dfrac{x}{x+y} \leq z[/tex] ali se zapetljam i nikako da dođem do točnog rješenja Sad

Zato bih bio jako zahvalan na pomoći! Makar hint...

Hvala Smile


Sorry što mi je tak dugo trebalo al morala sam ić tražit hrpu formula koje napamet nažalost ne znam i neznam zašto ih ne smijemo imati..e sad ovako..

Sve formule su izvađene sa vježbi: ako su Xi..Xn eksponencijalne onda je to e sad ja ne znam imam ona distribucija koja ima oznaku ko graf funkcije od (n,1/lambda) znači kod nas je X+Y je ta distribucija od (2,1/3). A x je ta distribucija od (1,1/3). Kad uvrstiš to u f-ju gustoće te dvije f-je..to ovdje četvrta http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/stat/files/nepr_distrib.pdf
Onda imaš onu formulu ovdje http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/stat/files/formule1.pdf za Y/X
I onda preko toga kad dobiješ f-ju gustoće te funkcije onda lagano dobiješ funkciju distirbucije i vidiš da je rješenje z.

Kao što vidiš postupak je malo dugačak, naporan, blago rečeno katastrofalan, al nadam se da je zadovoljio tvoje pitanje.


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
Zoran
Gost





PostPostano: 23:53 uto, 9. 4. 2013    Naslov: Re: Distribucija od X/(X+Y) Citirajte i odgovorite

PUNO PUNO HVALA!!!

:)
PUNO PUNO HVALA!!!

Smile


[Vrh]
kikzmyster
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 14. 10. 2010. (13:35:08)
Postovi: (72)16
Spol: muško
Sarma = la pohva - posuda
45 = 46 - 1

PostPostano: 0:12 sri, 10. 4. 2013    Naslov: Citirajte i odgovorite

Vidim da je netko vec odgovorio dok sam ovo pisao, ali eto, mislim da je ovaj postupak mozda malo jednostavniji :D

Prvo, uocimo [tex] \mathbb{P}(\frac{X}{X+Y}<0) = \mathbb{P}(X<0 \, , \, X+Y >0) + \mathbb{P}(X >0 \, , \, X +Y <0) \leq \underbrace{\mathbb{P}(X < 0)}_{=0} + \underbrace{ \mathbb{P}( X + Y<0)}_{=0} = 0[/tex]. Ovo slijedi odmah iz definicije funkcije gustoce eksponencijalne slucajne varijable. Dakle, za [tex] z < 0 [/tex] imamo [tex] \mathbb{P}(\frac{X}{X+Y}\leq z) = 0 [/tex].

Zatim, uocimo da je [tex]\mathbb{P}(\frac{X}{X+Y}\leq 1) = \mathbb{P}(X \leq X + Y) = \mathbb{P}(Y \geq 0) = 1 [/tex]. Dakle, za [tex]z \geq 1 [/tex] vrijedi da je [tex]F(z) = 1[/tex] (jer je [tex]F[/tex] rastuca funkcija).

Neka je sad [tex] z \in [0,1)[/tex]. Sad jednostavno sredivanjem dobivamo [tex] \mathbb{P}(\frac{X}{X+Y}\leq z) = \mathbb{P}(X \leq \frac{z}{1-z}Y)[/tex]. To sad racunamo slicno kao u (a) dijelu, kao [tex]\displaystyle \int_{- \infty}^{+ \infty} \left( \int_{- \infty}^{\frac{z}{1-z}y} f(x,y) \, \textrm{d}x \right) \, \textrm{d}y [/tex], gdje je [tex]f(x,y) [/tex] funkcija gustoca slucajnog vektora [tex](X,Y)[/tex], ali kako su [tex]X[/tex] i [tex]Y[/tex] nezavisni vrijedi [tex]f(x,y) = f_X(x)f_Y(y)[/tex].
Vidim da je netko vec odgovorio dok sam ovo pisao, ali eto, mislim da je ovaj postupak mozda malo jednostavniji Very Happy

Prvo, uocimo [tex] \mathbb{P}(\frac{X}{X+Y}<0) = \mathbb{P}(X<0 \, , \, X+Y >0) + \mathbb{P}(X >0 \, , \, X +Y <0) \leq \underbrace{\mathbb{P}(X < 0)}_{=0} + \underbrace{ \mathbb{P}( X + Y<0)}_{=0} = 0[/tex]. Ovo slijedi odmah iz definicije funkcije gustoce eksponencijalne slucajne varijable. Dakle, za [tex] z < 0 [/tex] imamo [tex] \mathbb{P}(\frac{X}{X+Y}\leq z) = 0 [/tex].

Zatim, uocimo da je [tex]\mathbb{P}(\frac{X}{X+Y}\leq 1) = \mathbb{P}(X \leq X + Y) = \mathbb{P}(Y \geq 0) = 1 [/tex]. Dakle, za [tex]z \geq 1 [/tex] vrijedi da je [tex]F(z) = 1[/tex] (jer je [tex]F[/tex] rastuca funkcija).

Neka je sad [tex] z \in [0,1)[/tex]. Sad jednostavno sredivanjem dobivamo [tex] \mathbb{P}(\frac{X}{X+Y}\leq z) = \mathbb{P}(X \leq \frac{z}{1-z}Y)[/tex]. To sad racunamo slicno kao u (a) dijelu, kao [tex]\displaystyle \int_{- \infty}^{+ \infty} \left( \int_{- \infty}^{\frac{z}{1-z}y} f(x,y) \, \textrm{d}x \right) \, \textrm{d}y [/tex], gdje je [tex]f(x,y) [/tex] funkcija gustoca slucajnog vektora [tex](X,Y)[/tex], ali kako su [tex]X[/tex] i [tex]Y[/tex] nezavisni vrijedi [tex]f(x,y) = f_X(x)f_Y(y)[/tex].


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
googol
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 29. 09. 2011. (21:23:09)
Postovi: (71)16
Spol: kućni ljubimac
Sarma = la pohva - posuda
-1 = 9 - 10

PostPostano: 0:25 sri, 10. 4. 2013    Naslov: Citirajte i odgovorite

[quote="kikzmyster"]Vidim da je netko vec odgovorio dok sam ovo pisao, ali eto, mislim da je ovaj postupak mozda malo jednostavniji :D

Neka je sad [tex] z \in [0,1)[/tex]. Sad jednostavno sredivanjem dobivamo [tex] \mathbb{P}(\frac{X}{X+Y}\leq z) = {\bf\mathbb{P}(X \leq \frac{z}{1-z}Y)}[/tex]. To sad racunamo slicno kao u (a) dijelu, kao [latex]\displaystyle \int_{- \infty}^{+ \infty} \left( \int_{- \infty}^{\frac{z}{1-z}y} f(x,y) \, \textrm{d}x \right) \, \textrm{d}y [/tex], gdje je [tex]f(x,y) [/tex] funkcija gustoca slucajnog vektora [tex](X,Y)[/tex], ali kako su [tex]X[/tex] i [tex]Y[/tex] nezavisni vrijedi [tex]f(x,y) = f_X(x)f_Y(y)[/tex].[/quote]

Mozes li boldani dio raspisati kako se doslo do njega, mozak ne reagira vise.
kikzmyster (napisa):
Vidim da je netko vec odgovorio dok sam ovo pisao, ali eto, mislim da je ovaj postupak mozda malo jednostavniji Very Happy

Neka je sad [tex] z \in [0,1)[/tex]. Sad jednostavno sredivanjem dobivamo [tex] \mathbb{P}(\frac{X}{X+Y}\leq z) = {\bf\mathbb{P}(X \leq \frac{z}{1-z}Y)}[/tex]. To sad racunamo slicno kao u (a) dijelu, kao [latex]\displaystyle \int_{- \infty}^{+ \infty} \left( \int_{- \infty}^{\frac{z}{1-z}y} f(x,y) \, \textrm{d}x \right) \, \textrm{d}y [/tex], gdje je [tex]f(x,y) [/tex] funkcija gustoca slucajnog vektora [tex](X,Y)[/tex], ali kako su [tex]X[/tex] i [tex]Y[/tex] nezavisni vrijedi [tex]f(x,y) = f_X(x)f_Y(y)[/tex].


Mozes li boldani dio raspisati kako se doslo do njega, mozak ne reagira vise.


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
kikzmyster
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 14. 10. 2010. (13:35:08)
Postovi: (72)16
Spol: muško
Sarma = la pohva - posuda
45 = 46 - 1

PostPostano: 0:53 sri, 10. 4. 2013    Naslov: Citirajte i odgovorite

Kako je [tex] X+Y > 0 [/tex] i [tex]z \in [0,1) [/tex], imamo [tex]\frac{X}{X+Y} \leq z \Leftrightarrow X \leq X\cdot z + Y \cdot z \Leftrightarrow X\cdot(1-z) \leq z \cdot Y \Leftrightarrow X \leq \frac{z}{1-z}Y[/tex].

Mozemo uzeti da je [tex]X+Y>0[/tex] jer je [tex]\mathbb{P}(\frac{X}{X+Y}\leq z) = \mathbb{P}(\frac{X}{X+Y}\leq z \, , \, X + Y < 0) + \mathbb{P}(\frac{X}{X+Y}\leq z \, , \, X + Y >0)[/tex], no ovaj prvi sumand je jednak [tex]0[/tex] (objasnjeno u prethodnom postu).
Kako je [tex] X+Y > 0 [/tex] i [tex]z \in [0,1) [/tex], imamo [tex]\frac{X}{X+Y} \leq z \Leftrightarrow X \leq X\cdot z + Y \cdot z \Leftrightarrow X\cdot(1-z) \leq z \cdot Y \Leftrightarrow X \leq \frac{z}{1-z}Y[/tex].

Mozemo uzeti da je [tex]X+Y>0[/tex] jer je [tex]\mathbb{P}(\frac{X}{X+Y}\leq z) = \mathbb{P}(\frac{X}{X+Y}\leq z \, , \, X + Y < 0) + \mathbb{P}(\frac{X}{X+Y}\leq z \, , \, X + Y >0)[/tex], no ovaj prvi sumand je jednak [tex]0[/tex] (objasnjeno u prethodnom postu).


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
Prethodni postovi:   
Započnite novu temu   Odgovorite na temu   printer-friendly view    Forum@DeGiorgi: Početna -> Kolegiji 3. godine -> Statistika Vremenska zona: GMT + 01:00.
Stranica 1 / 1.

 
Forum(o)Bir:  
Možete otvarati nove teme.
Možete odgovarati na postove.
Ne možete uređivati Vaše postove.
Ne možete izbrisati Vaše postove.
Ne možete glasovati u anketama.
You cannot attach files in this forum
You can download files in this forum


Powered by phpBB © 2001, 2002 phpBB Group
Theme created by Vjacheslav Trushkin
HR (Cro) by Ančica Sečan