Pomoć oko zadatka

[Lafiel]

Hvala ti, Phoenix. Da mogu, dala bih ti još 6 karma bodova.

Added after 6 minutes:

[Phoenix]

Hvala, Lafiel! Ja čitam zadatak pod [tex]c)[/tex] i, iskreno, bilo mi je malo sumnjivo...

[kosani]

[Phoenix]

[kosani]

Hvala vam oboje!

[kobila krsto]

****

EDIT : ups, ovdje je bio zadatak koji je postojao na vježbama ( kopirao sam lanjske pa nisam vidio od ove godine ). pardon

[Lafiel]

Ovo vjerojatno više spada pod Analizu nego pod Mjeru, ali pitanjce vezano uz Kviz 11 c): u kakvom su odnosu [tex]\int_0^1 (- ln x)^p\,dx[/tex] i [tex]\int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{x}}[/tex] ?

_________________
Weit von hier fällt Gold von den Sternen

[mathh5]

Pitanje iz prošlogodišnjeg kolokvija http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/mii/files/mii-kol2-2012-rj.pdf
4. zadatak (b) Zašto na kraju kažemo da je ||f||p < +beskonačno <=> (p/4)-2<-1
Kako smo došli do ove posljednje nejednakosti? zašto -1?
Unaprijed hvala!

[ddujmic]

Stavis x^-1.. pa onda znas da to konvegrira akko -p/4 +2>1.. pa dobijes da je p<4.. a gore smo uzeli da je p>0.. pa je onda p iz <0,4>

_________________
Nothing lasts forever
Even cold November rain

[ceps]

[Gost]

[Lafiel]

Bi li mogao netko malo razjasniti dokaz Teorema 5.15. na 33. stranici skripte?

Malo me muči ovo "lako se vidi da je [tex]f_1 \leq f_2 \leq ...[/tex] i [tex]f_n(x) \nearrow f(x)[/tex]" tj. ja to baš ne vidim, pogotovo ne lako.

_________________
Weit von hier fällt Gold von den Sternen

[Gost]

Da konvergira prema f se vidi lako iz definicije:
1) ako je f(x) = +beskonacno onda je fn(x) = n pa je sad ocito
2) ako je f(x) konacan, onda ce se za dovoljno veliki n, fn(x) razlikovati od f(x) za 1/2^n (vidi se iz definicije A(n,k)) pa ocito konvergira prema f(x)

Da raste: ako je f(x) = +beskonacno, onda je fn(x) = n pa ocito raste.
Neka je f(x) konacan. Neka je (najvece cijelo od f(x)) = m. Tada za n<m je fn(x) = n pa ocito raste. Neka je sada n>=m proizvoljan, tada po definiciji od fn(x) postoji k takav da

(k-1)/2^n <= f(x) < k/2^n

pa je

fn(x) = (k-1)/2^n ; posebno fn(x)=(2k-2)/2^(n+1)

sada ocito f(n+1)(x) moze biti po definiciji:

(2k-2)/2^(n+1) ili (2k-1)/2^(n+1),

jer je f(x) iz

(2k-2)/2^(n+1) <= f(x) < (2k-1)/2^(n+1)
ili
(2k-1)/2^(n+1) <= f(x) < (2k)/2^(n+1)

Zao mi je sto nije u latexu

[Phoenix]

Da, pogotovo kada se u kolokviju vjerojatno nije smjelo "lako vidjeti"...

Možda ne bi bilo loše znati otprilike kako točno funkcije [tex]f_n[/tex] opisuju funkciju [tex]f[/tex].
OK, za neki [tex]n[/tex] funkcija [tex]f_n[/tex] je jednostavna funkcija i poprima vrijednosti iz skupa [tex]\left\{ 0, \frac{1}{2^n}, ..., \frac{n \cdot 2^n-1}{2^n}, \frac{n \cdot 2^n}{2^n} = n \right\}[/tex] i to na sljedeći način: ako je (za neki [tex]x \in X[/tex]) vrijednost [tex]f(x)[/tex] u segmentu [tex]\left[ \frac{k-1}{2^n}, \frac{k}{2^n} \right>[/tex], tada je [tex]f_n(x)=\frac{k-1}{2^n}[/tex]. (I, dodatno, ako je [tex]f(x)\geq n[/tex], tada je jednostavno [tex]f_n(x)=n[/tex].)
Evo primjer kako otprilike izgleda funkcija [tex]f_n[/tex] za neku [tex]f[/tex] koja je nalik krivulji polinoma trećeg stupnja:



Dakle, ova valovita krivulja neka je promatrana funkcija [tex]f[/tex], ove svjetloplave crte neka označavaju vrijednosti oblika [tex]\frac{k}{2^n}[/tex]. Tada tamnoplave crte zajedno predstavljaju graf funkcije [tex]f_n[/tex]!
Sada, prijelaz na [tex]f_{n+1}[/tex]... Direktno iz definicije, ta funkcija postiže vrijednosti [tex]0, \frac{1}{2^{n+1}}, \frac{2}{2^{n+1}}=\frac{1}{2^n}, \frac{3}{2^{n+1}}, \frac{4}{2^{n+1}}=\frac{2}{2^n}, ..., \frac{(n+1) \cdot 2^{n+1}-1}{2^{n+1}}, \frac{(n+1) \cdot 2^{n+1}}{2^{n+1}}=n+1[/tex]. Odnosno, u odnosu na prethodnu [tex]f_n[/tex], između svake dvije svjetloplave crte nadodaješ još jednu svjetloplavu crtu (kao i između one najdonje te [tex]x[/tex] osi ), a onda između [tex]n[/tex] i [tex]n+1[/tex] dodaš onoliko jednako udaljenih svjetloplavih crta koliko je potrebno (da mreža bude podjednaka). I dobivaš sljedeće:



Sada je nekako jasnije da ovaj niz funkcija poprilično dobro opisuje početnu funkciju [tex]f[/tex].

A sada, vezano uz tvoje pitanje, uoči na ovim dvijema skicama sljedeće: pri prijelazu s jedne slike na drugu, određeni komad tamnoplave linije ili ostaje na istom mjestu ili se podiže, i to za točno [tex]\frac{1}{2^{n+1}}[/tex].

Ovo zapažanje ti pomaže da argumentiraš monotonost i konvergenciju niza funkcija i to na sljedeći način:
- Za [tex]x \in X[/tex] i [tex]n \in \mathbb{N}[/tex] postoji [tex]k \in \mathbb{N}[/tex] takav da je [tex]\frac{k-1}{2^n} \leq f(x) < \frac{k}{2^n}[/tex], iz čega onda slijedi [tex]f_n(x)=\frac{k-1}{2^n}[/tex]. Ovisno o tome je li [tex]f(x)<\frac{2k-1}{2^{n+1}}[/tex] ili [tex]f(x) \geq \frac{2k-1}{2^{n+1}}[/tex], slijedi da je [tex]f_{n+1}(x)=\frac{k-1}{2^n}[/tex] ili [tex]f_{n+1}(x)=\frac{2k-1}{2^{n+1}}[/tex]. U svakom slučaju je [tex]f_n(x) \leq f_{n+1}(x)[/tex]. Slična argumentacija slijedi i za [tex]f(x) \geq n[/tex] (čisto zbog formalnosti drugačiji slučaj).
- U slučaju [tex]f(x)<+\infty[/tex] (inače je [tex]f_n(x)=n \stackrel{n \rightarrow +\infty}{\longrightarrow} +\infty[/tex]) postoji dovoljno veliki [tex]n \in \mathbb{N}[/tex] takav da je [tex]n \leq f(x) < n+1[/tex]. Po definiciji od [tex]f_n[/tex] je tada [tex]0 \leq f(x)-f_n(x) \leq \frac{1}{2^{n+1}} \stackrel{n \rightarrow +\infty}{\longrightarrow} 0[/tex]. Iz ovoga slijedi [tex]\lim \limits_{n \rightarrow +\infty}f_n(x) = f(x), \forall x \in X[/tex].


Evo, ovo je moj komentar na teorem, zapravo slično onome što je kolega Gost već napisao.
U principu, po meni je najbitnije imati u glavi ove skice (koje su mogle biti i bolje i detaljnije, ali eto, znam crtati samo u Paintu i nemam skener ) i onda praktički znaš "pjevati" dokaz (nemaš problema niti s definicijom skupova [tex]A_n[/tex]).

[Lafiel]

Hvala vam obojici, pogotovo Phoenixu na trudu s crtežom.

_________________
Weit von hier fällt Gold von den Sternen

[Gost]

http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/mii/files/mii_2013_kol2_rj.pdf

Nas kolokvij, ZAD 4, (b)

Moze li objasnjenje cijelog zadatka, tj. dio gdje smo trazili dominantnu fju, zasto se x gledao po intervalima te kako smo zakljucili da je integral od g(x) konacan? Koje su to tvrdnje koje su spomenute u rjesenjima?

[Gost]

[Lafiel]

Pitanje vezano uz dokaz Lebesgueove kompozicije (zadnja strana skripte): Kako znamo da je [tex]\nu_s \perp \mu[/tex] ?

_________________
Weit von hier fällt Gold von den Sternen

[Gost]

Pogledaj koliko je mi(N) i ni_s(N komplement). Da je prvi nula upravo pokazano, a drugi je 0 jer je tak bas definiran ni_s. Dakle po definiciji su medjusobno singularne.

[Lafiel]

Hvala!

_________________
Weit von hier fällt Gold von den Sternen