Prebrojiva poluaditivnost vjerojatnosti (T2.1, f) ), dokaz (objasnjenje gradiva)

[Tomy007]

Zapeo sam u jednom koraku dokaza koji bi trebalo dokazati a taj dio nije razrađen ni na predavanjima ni u knjizi.

Tvrdnja je da za bilo koji niz skupova An vrijedi da je vjerojatnost od unije tih događaja manja ili jednaka od sume vjerojatnosti svih tih događaja.

Dokaz ide tako da se definira novi niz međusobno disjunktnih događaja na sljedeći naćin :
B1=A1
B2=A2\A1
B3=A3\(A2 U A1) itd.
Bn je znaći An bez unije svih Am, m<n
....
(dokaz je za prebrojive unije tako da se u dokazu ide od 1 do beskonačno)

Zapeo sam u dijelu gdje treba dokazati da je unija svih Bn jednaka uniji svih An.

Jedan smjer je lagan : ako je x u uniji svih Bn onda postoji i takav da je x element od Bi, onda je i element od Ai i nije element unije svih Aj (j<i), pošto je x element od Ai onda je x element unije svih An.

U drugom smjeru nisam siguran kako to formalno dokazati, x je element unije svih An, onda postoji i takav da je x element Ai i na tom dijelu sam zapeo i ne znam kako dalje raspisati da dobijem da je x u uniji svih Bn.

[hendrix]

Ako postoji [tex]i[/tex] takav da je [tex]x \in A_i[/tex], imas dvije opcije.

Prva je da je taj indeks ujedno najmanji takav da je [tex]x \in A_i[/tex] pa smo gotovi zbog definicije skupova [tex]B_i[/tex].

S druge strane, ako postoji neki [tex]j < i[/tex] takav da je [tex]x \in A_j[/tex], onda opet za njega gledamo prvi slucaj; ako je najmanji, gotovi smo, ako nije, nastavljamo. U konacnici mozemo ili zavrsiti na nacin opisan u prvoj opciji ili doci do [tex]A_1[/tex], pa je [tex]x \in A_1 = B_1[/tex], a samim time se nalazi i u uniji svih skupova [tex]B_i[/tex].

Naravno, moze se ovo malo ljepse formalizirati (nemam trenutno strpljenja za igrati se s Latexom), ali nadam se da je ideja jasna.

[Tomy007]

[hendrix]

Da, cini mi se da je okej zapis.