Matematička indukcija (zadatak)

[ceps]

Vježbanjem za kolokvij sam shvatio da imam problema kod zadataka sa matematičkom indukcijom tipa:

Dokažite da je broj djeljiv sa 157 za svaki .

tj. kod zadataka gdje se ispituje djeljivost, a imamo dva ili više različitih brojeva na neke eksponente...
Pomoć?

[frutabella]

Ovako:

BAZA:
zbog n⇐o, za bazu (provjeru) uzimas n=0 (ako ne razumijes zasto, reci)

znaci kad uvrstis 0 umjesto n dobivas rezultat 157, sto je djeljivo sa 157.

PRETPOSTAVKA:
Pretpostavimo da 157 dijeli (onaj izraz) za neki n⇐0 ako i samo ako je (onaj izraz)=157k

KORAK:
sad umjesto svakog n napises n+1, pa dobivas ----->

12^(n+1+2) + 13^(2n+2+1)= (sad rastavi tako da dobijes elemente iz pretpostavke)

12^(n+2) * 12^1 + 13^(2n+1) * 13^2= (sad izvuces ili najveci ili najmanji broj (znaci: ili 12 ili 13^2), svejedno, ja uvijek izvlacim najveci pa onda oduzimam, znaci:

13^2 [12^ (n+2) + 13^(2n+1) ] - 157*12^(n+2)=

13^2 * (pretpostavka) 157k - 157*12^(n+2) (vidimo da je prvi dio djeljiv s 157 zbog 157k, a i drugi zbog 157. (u [ ] je izraz iz pretpostavke, njega uvijek treba ovako izluciti)

Ako nije sta razumljivo slobodno pitaj.

[Bruno^_^]

[frutabella]

[room]

Evo da ne otvaram novu temu što se indukcije tiče, vidim da ih već ima par u ovom podforumu.

Radili smo zadatak na vježbama koji glasi ovako:
Dokažite da za svaki prirodan broj veći od 1 vrijedi .

Nije mi jasno što smo u koraku točno napravili. Bazu i pretpostavku lako napisati. E sad korak:
.

I sad smo za ovaj dio koji je u pretpostavci rekli da je i

[tex](*)[/tex] I onda smo rekli da taj dio koji smo dodali, koji nije u pretpostavci ima pribrojnika (to mi je jasno) i svi su i

I onda dalje:




I to je sad dokazano. Meni nije jasno od ovog reda označenog sa (*) pa ako bi netko mogao objasniti.

[jopi]

@room
Fale ti ... u zadnjem dijelu
Trebalo bi biti


U koraku imaš

je po pretpostavci .
Svaki od preostalih pribrojnika je jer je veći od nazivnika svakog od ovih razlomaka.
Dakle, imamo
, a to smo i htjeli dobiti.

Na isti način dobijemo desnu stranu: po pretpostavci je prvi dio , a svaki od preostalih pribrojnika je jer je najmanji od svih ostalih nazivnika.
Dobili smo
, pa smo dokazali i desnu stranu.

[room]

Okej, sad sam shvatila zašto su svi ti pribrojnici , a , ali mi sad nije jasno zašto onda to množim , isto tako i ovo drugo?

[jopi]

Zato što je svaki pojedinačno , pa kad imaš članova koji su , onda je njihova suma .

[room]

Hvala, skužila sam sad.

E sad smo imali jedan zadatak za zadaću, probala sam ga riješiti, ali mi je ispalo -n>=0 za svaki prirodni broj što je nemoguće. Pa ako bi mi netko mogao dati bar hint..

, za svaki prirodni broj.