Search
 
 
  Engleski
 
 
 
Open in this window (click to change)
Forum@DeGiorgi: Početna
Forum za podršku nastavi na PMF-MO
Login Registracija FAQ Smajlići Članstvo Pretražnik Forum@DeGiorgi: Početna

Treća domaća zadaća
WWW:
Idite na Prethodno  1, 2, 3
Moja sarma
 
Započnite novu temu   Odgovorite na temu   printer-friendly view    Forum@DeGiorgi: Početna -> Kolegiji 1. godine, preddiplomski studij Matematika -> Matematička analiza 1 i 2
Prethodna tema :: Sljedeća tema  
Autor/ica Poruka
satja
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 16. 05. 2010. (10:44:17)
Postovi: (F1)16
Sarma = la pohva - posuda
73 = 78 - 5

PostPostano: 9:52 pon, 2. 1. 2012    Naslov: Citirajte i odgovorite

Prvi limes ti je dobar i 33. ti je dobar i 34. ti je dobar i 37. ti je dobar.

Što se tiče ovog 36. zadatka, njega je riješio mornik na temi iz prošle godine, pa ću ga samo citirati.

[quote="mornik"]
Dakle, način na koji sam ja išao (ne jamčim da ne postoji bolji... dapače, začudio bih se da ne postoji :D): očito vrijedi [latex]a_{n+1}-a_n=\displaystyle\frac{1-2n}{2n}(a_n-a_{n-1})[/latex]. Teleskopiranjem, indukcijom ili kako već dolazimo lako do toga da je [latex]a_{n+1}-a_n=\displaystyle\frac{(1-2n)(3-2n)\cdots 3}{(2n)(2n-2)\cdots 4}(b-a)=\displaystyle\frac{2\cdot (-1)^{n-1}(2n-1)!!}{(2n)!!}[/latex]. (U ovom zapisu, [latex]k!!:=k\cdot (k-2)\cdot (k-4)\cdots[/latex], pri čemu je zadnji član u produktu [latex]2[/latex] ili [latex]1[/latex], ovisno o parnosti [latex]k[/latex]). Označimo, čisto radi lakšeg zapisa, s [latex]T(n)=\displaystyle\frac{2\cdot (-1)^n(2n+1)!!}{(2n+2)!!}[/latex].

E, sad, dolazi ovaj dio za koji baš i nemam objašnjenje. Kažem, moguće je da [latex]T_n[/latex] u sebi ima neki kombinatorni element, ali trenutno ga ne vidim. Nisam neko dulje vrijeme potrošio na ovo, pa je moguće da je očito, doduše.

U svakom slučaju, očito je dakle [latex]a_{n+1}=T(n-1)(b-a)+a_n=(T(n-1)+T(n-2))(b-a)+a_{n-1}[/latex]. Nastavljamo dalje, formalno indukcijom ili kako već, i dobivamo da je [latex]a_{n+1}=(T(n-1)+T(n-2)+\ldots+T(2)+T(1))(b-a)+a_2=(b-a)\displaystyle\sum_{i=1}^{n-1}T(i)+b[/latex].

No, sada ispada da je, iz meni trenutno nepoznatih razloga (iako je WolframAlpha uz minimalnu modifikaciju izbacila točan, simbolički, rezultat, pa pretpostavljam da se radi o nekoj verziji poznatog limesa koji možda ima, a možda nema veze s tzv. hipergeometrijskim funkcijama), [latex]\displaystyle\lim_{n}\sum_{i=1}^{n-1}T(i)=1-\sqrt{2}[/latex].

Stoga, ispada da je [latex]\displaystyle\lim_{n}a_n=(1-\sqrt{2})(b-a)+b=(2-\sqrt{2})b+(\sqrt{2}-1)a[/latex], baš kako si rekao. :)

Kažem, ja sam razumno uvjeren da je ovaj rezultat točan, ali u ovom trenutku ne mogu reći zašto je suma reda [latex]\sum T(n)[/latex] jednaka baš [latex]1-\sqrt{2}[/latex]. Ovaj prvi dio s gledanjem razlika susjednih članova niza mi se čini relativno bitnim za rješavanje ali, kažem, moguće, pa čak i vjerojatno, je da ima i boljih rješenja. :)[/quote]

Ovaj sa [tex]n^{p+1}[/tex] ću probati riješiti. Zapise iskaza o limesima i gomilištima pomoću logičkih simbola ste, nadam se, radili na predavanjima.

[size=9][color=#999999]Added after 8 minutes:[/color][/size]

I još nešto... Zenone, pitao si kako se možeš odužiti. Pa ja evo imam jednu ideju. Na ovom podforumu od analize ima puno tema s rješenjima raznih zadataka s kolokvija. Budući da se ekipa žalila što ne postoje rješenja kolokvija na webu, moguće je malo pogledati po tim starim temama i kopirati ta rješenja u TeX-u, a ona koja ne postoje, nadopisati (samo kratko, naravno, a i ne moraju biti svi riješeni), i tako možemo za buduće generacije ostaviti pdf-ove sa rješenjima bivših kolokvija. Tako bi studentima bilo lakše, a i demosi bi imali manje posla :).

Nemoj to raditi ako ti se ne da. Ali eto, budući da dosta svojih rješenja objavljuješ na forumu radi provjere, pomislio sam, da bi ti to možda rado napravio.
Prvi limes ti je dobar i 33. ti je dobar i 34. ti je dobar i 37. ti je dobar.

Što se tiče ovog 36. zadatka, njega je riješio mornik na temi iz prošle godine, pa ću ga samo citirati.

mornik (napisa):

Dakle, način na koji sam ja išao (ne jamčim da ne postoji bolji... dapače, začudio bih se da ne postoji Very Happy): očito vrijedi . Teleskopiranjem, indukcijom ili kako već dolazimo lako do toga da je . (U ovom zapisu, , pri čemu je zadnji član u produktu ili , ovisno o parnosti ). Označimo, čisto radi lakšeg zapisa, s .

E, sad, dolazi ovaj dio za koji baš i nemam objašnjenje. Kažem, moguće je da u sebi ima neki kombinatorni element, ali trenutno ga ne vidim. Nisam neko dulje vrijeme potrošio na ovo, pa je moguće da je očito, doduše.

U svakom slučaju, očito je dakle . Nastavljamo dalje, formalno indukcijom ili kako već, i dobivamo da je .

No, sada ispada da je, iz meni trenutno nepoznatih razloga (iako je WolframAlpha uz minimalnu modifikaciju izbacila točan, simbolički, rezultat, pa pretpostavljam da se radi o nekoj verziji poznatog limesa koji možda ima, a možda nema veze s tzv. hipergeometrijskim funkcijama), .

Stoga, ispada da je , baš kako si rekao. Smile

Kažem, ja sam razumno uvjeren da je ovaj rezultat točan, ali u ovom trenutku ne mogu reći zašto je suma reda jednaka baš . Ovaj prvi dio s gledanjem razlika susjednih članova niza mi se čini relativno bitnim za rješavanje ali, kažem, moguće, pa čak i vjerojatno, je da ima i boljih rješenja. Smile


Ovaj sa [tex]n^{p+1}[/tex] ću probati riješiti. Zapise iskaza o limesima i gomilištima pomoću logičkih simbola ste, nadam se, radili na predavanjima.

Added after 8 minutes:

I još nešto... Zenone, pitao si kako se možeš odužiti. Pa ja evo imam jednu ideju. Na ovom podforumu od analize ima puno tema s rješenjima raznih zadataka s kolokvija. Budući da se ekipa žalila što ne postoje rješenja kolokvija na webu, moguće je malo pogledati po tim starim temama i kopirati ta rješenja u TeX-u, a ona koja ne postoje, nadopisati (samo kratko, naravno, a i ne moraju biti svi riješeni), i tako možemo za buduće generacije ostaviti pdf-ove sa rješenjima bivših kolokvija. Tako bi studentima bilo lakše, a i demosi bi imali manje posla Smile.

Nemoj to raditi ako ti se ne da. Ali eto, budući da dosta svojih rješenja objavljuješ na forumu radi provjere, pomislio sam, da bi ti to možda rado napravio.


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
vsego
Site Admin
Site Admin


Pridružen/a: 06. 10. 2002. (22:07:09)
Postovi: (355F)16
Spol: zombi
Sarma = la pohva - posuda
854 = 1068 - 214
Lokacija: /sbin/init

PostPostano: 12:37 pon, 2. 1. 2012    Naslov: Citirajte i odgovorite

[quote="Zenon"]Ne znam riješiti:

Koristeći Cesaro-Stolzov teorem izračunajte:
[dtex]\lim_{n\to\infty}{\frac{1^p+2^p+\ldots +n^p}{n^{p+1}}},\quad p>1[/dtex]
Želim samo na glasiti da jedini uvijet na p je taj da je p>1, tj. [tex]p>1,p\in\mathbb R[/tex]. Pokušao sam svašta ali stalno dobijam ili 0-0, [tex]\frac 00[/tex], [tex]\infty -\infty[/tex] ili [tex]0\cdot\infty[/tex]... :([/quote]

Iskoristi teorem i dobit ces
[dtex]\lim_{n\to\infty} \frac{1^p+2^p+\ldots +n^p}{n^{p+1}} = \lim_{n\to\infty} \frac{(n+1)^p}{(n+1)^{p+1}-n^{p+1}}[/dtex]

Sada potencije suma raspises po [url=http://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_theorem#Newton.27s_generalised_binomial_theorem]Newtonovom generaliziranom binomnom teoremu[/url]. U nazivniku ce se pokratiti [tex]n^{p+1}[/tex], pa ce ti ostati gore i dolje "polinomi" (navodnici jer potencije nisu nuzno cijele) s istom najvecom potencijom ([tex]n^p[/tex]), no s faktorom [tex]1[/tex] kod te potencije u brojniku i faktorom [tex]p+1[/tex] kod te potencije u nazivniku. Kad [tex]n \to \infty[/tex], ostale potencije se gube, pa ti ostane [tex]\frac{1}{p+1}[/tex].

Iskreno, ne da mi se to formalno raspisivati, pa taj dio prepustam tebi. O:)
Zenon (napisa):
Ne znam riješiti:

Koristeći Cesaro-Stolzov teorem izračunajte:
[dtex]\lim_{n\to\infty}{\frac{1^p+2^p+\ldots +n^p}{n^{p+1}}},\quad p>1[/dtex]
Želim samo na glasiti da jedini uvijet na p je taj da je p>1, tj. [tex]p>1,p\in\mathbb R[/tex]. Pokušao sam svašta ali stalno dobijam ili 0-0, [tex]\frac 00[/tex], [tex]\infty -\infty[/tex] ili [tex]0\cdot\infty[/tex]... Sad


Iskoristi teorem i dobit ces
[dtex]\lim_{n\to\infty} \frac{1^p+2^p+\ldots +n^p}{n^{p+1}} = \lim_{n\to\infty} \frac{(n+1)^p}{(n+1)^{p+1}-n^{p+1}}[/dtex]

Sada potencije suma raspises po Newtonovom generaliziranom binomnom teoremu. U nazivniku ce se pokratiti [tex]n^{p+1}[/tex], pa ce ti ostati gore i dolje "polinomi" (navodnici jer potencije nisu nuzno cijele) s istom najvecom potencijom ([tex]n^p[/tex]), no s faktorom [tex]1[/tex] kod te potencije u brojniku i faktorom [tex]p+1[/tex] kod te potencije u nazivniku. Kad [tex]n \to \infty[/tex], ostale potencije se gube, pa ti ostane [tex]\frac{1}{p+1}[/tex].

Iskreno, ne da mi se to formalno raspisivati, pa taj dio prepustam tebi. Angel



_________________
U pravilu ignoriram pitanja u krivim topicima i kodove koji nisu u [code]...[/code] blokovima.
Takodjer, OBJASNITE sto vas muci! "Sto mi je krivo?", bez opisa u cemu je problem, rijetko ce zadobiti moju paznju.
Drzim prodike
[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
Zenon
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 09. 09. 2011. (19:14:43)
Postovi: (2B1)16
Sarma: -
Lokacija: [tex]\pm\infty[/tex]

PostPostano: 15:54 pon, 2. 1. 2012    Naslov: Citirajte i odgovorite

[quote="satja"]
I još nešto... Zenone, pitao si kako se možeš odužiti. Pa ja evo imam jednu ideju. Na ovom podforumu od analize ima puno tema s rješenjima raznih zadataka s kolokvija. Budući da se ekipa žalila što ne postoje rješenja kolokvija na webu, moguće je malo pogledati po tim starim temama i kopirati ta rješenja u TeX-u, a ona koja ne postoje, nadopisati (samo kratko, naravno, a i ne moraju biti svi riješeni), i tako možemo za buduće generacije ostaviti pdf-ove sa rješenjima bivših kolokvija. Tako bi studentima bilo lakše, a i demosi bi imali manje posla :).

Nemoj to raditi ako ti se ne da. Ali eto, budući da dosta svojih rješenja objavljuješ na forumu radi provjere, pomislio sam, da bi ti to možda rado napravio.[/quote]

Mogu to napraviti, vrlo rado, ali tek poslije ovih kolokvija zato što sam vrlo pedantan i sve mora biti "tip top", pa ću na to vjerovatno potrošiti dosta vremena, a sada ga baš i nemam :P
Uvijek pomognem ako mogu, npr. na Arhimedesu, ali na ovom forumu više trebam pomoć nego što je mogu ponuditi :P
Tako da ću to napraviti kada prođu kolokviji i usmeni :)
Eto super.

[quote="vsego"]
Iskoristi teorem i dobit ces
[dtex]\lim_{n\to\infty} \frac{1^p+2^p+\ldots +n^p}{n^{p+1}} = \lim_{n\to\infty} \frac{(n+1)^p}{(n+1)^{p+1}-n^{p+1}}[/dtex]

Sada potencije suma raspises po [url=http://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_theorem#Newton.27s_generalised_binomial_theorem]Newtonovom generaliziranom binomnom teoremu[/url]. U nazivniku ce se pokratiti [tex]n^{p+1}[/tex], pa ce ti ostati gore i dolje "polinomi" (navodnici jer potencije nisu nuzno cijele) s istom najvecom potencijom ([tex]n^p[/tex]), no s faktorom [tex]1[/tex] kod te potencije u brojniku i faktorom [tex]p+1[/tex] kod te potencije u nazivniku. Kad [tex]n \to \infty[/tex], ostale potencije se gube, pa ti ostane [tex]\frac{1}{p+1}[/tex].

Iskreno, ne da mi se to formalno raspisivati, pa taj dio prepustam tebi. O:)[/quote]

Iskreno, ovo mi je sasvim dovoljno. ;) I da jeste, svejedno bih si ja raspisao sam tako da... :)

Puno hvala obojici!
:thankyou: :thankyou: :thankyou:
satja (napisa):

I još nešto... Zenone, pitao si kako se možeš odužiti. Pa ja evo imam jednu ideju. Na ovom podforumu od analize ima puno tema s rješenjima raznih zadataka s kolokvija. Budući da se ekipa žalila što ne postoje rješenja kolokvija na webu, moguće je malo pogledati po tim starim temama i kopirati ta rješenja u TeX-u, a ona koja ne postoje, nadopisati (samo kratko, naravno, a i ne moraju biti svi riješeni), i tako možemo za buduće generacije ostaviti pdf-ove sa rješenjima bivših kolokvija. Tako bi studentima bilo lakše, a i demosi bi imali manje posla Smile.

Nemoj to raditi ako ti se ne da. Ali eto, budući da dosta svojih rješenja objavljuješ na forumu radi provjere, pomislio sam, da bi ti to možda rado napravio.


Mogu to napraviti, vrlo rado, ali tek poslije ovih kolokvija zato što sam vrlo pedantan i sve mora biti "tip top", pa ću na to vjerovatno potrošiti dosta vremena, a sada ga baš i nemam Razz
Uvijek pomognem ako mogu, npr. na Arhimedesu, ali na ovom forumu više trebam pomoć nego što je mogu ponuditi Razz
Tako da ću to napraviti kada prođu kolokviji i usmeni Smile
Eto super.

vsego (napisa):

Iskoristi teorem i dobit ces
[dtex]\lim_{n\to\infty} \frac{1^p+2^p+\ldots +n^p}{n^{p+1}} = \lim_{n\to\infty} \frac{(n+1)^p}{(n+1)^{p+1}-n^{p+1}}[/dtex]

Sada potencije suma raspises po Newtonovom generaliziranom binomnom teoremu. U nazivniku ce se pokratiti [tex]n^{p+1}[/tex], pa ce ti ostati gore i dolje "polinomi" (navodnici jer potencije nisu nuzno cijele) s istom najvecom potencijom ([tex]n^p[/tex]), no s faktorom [tex]1[/tex] kod te potencije u brojniku i faktorom [tex]p+1[/tex] kod te potencije u nazivniku. Kad [tex]n \to \infty[/tex], ostale potencije se gube, pa ti ostane [tex]\frac{1}{p+1}[/tex].

Iskreno, ne da mi se to formalno raspisivati, pa taj dio prepustam tebi. Angel


Iskreno, ovo mi je sasvim dovoljno. Wink I da jeste, svejedno bih si ja raspisao sam tako da... Smile

Puno hvala obojici!
Thank you Thank you Thank you



_________________
It's a wonderful, wonderful life!
[tex]\heartsuit \ \mathcal{PMF-MO} \ \heartsuit[/tex]
[tex]\mathbb Z\Sigma\mathbb N\emptyset\mathbb N[/tex]
[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
PermutiranoPrase
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 10. 09. 2011. (16:08:19)
Postovi: (F4)16
Spol: kućni ljubimac
Sarma = la pohva - posuda
10 = 17 - 7

PostPostano: 16:53 pet, 6. 1. 2012    Naslov: Citirajte i odgovorite

Može pomoć s [url=http://www.wolframalpha.com/input/?i=limit+n--%3Einfinity+%28sqrt%28cosh%28n%29%29+-+sqrt%28sh%28n%29%29%29*e%5E%283n%2F2%29]ovime[/url]? :)
Može pomoć s ovime? Smile



_________________
With great power comes great electricity bill.
n!!!!
Theorem 2: Alexander the Great did not exist and he had an infinite number of limbs.
[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
quark
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 22. 10. 2011. (16:47:39)
Postovi: (DA)16
Spol: muško
Sarma = la pohva - posuda
20 = 26 - 6

PostPostano: 20:37 pet, 6. 1. 2012    Naslov: Citirajte i odgovorite

[quote="PermutiranoPrase"]Može pomoć s [url=http://www.wolframalpha.com/input/?i=limit+n--%3Einfinity+%28sqrt%28cosh%28n%29%29+-+sqrt%28sh%28n%29%29%29*e%5E%283n%2F2%29]ovime[/url]? :)[/quote]

Naravno :D

Što bi radila da nema umnoška s e^blabla? :wink:
Nakon sređivanja tih korijena, uvrstiš po definiciji, podijeliš s najvećom potencijom i dobije se sqrt(2)/2, ako se ne varam.
PermutiranoPrase (napisa):
Može pomoć s ovime? Smile


Naravno Very Happy

Što bi radila da nema umnoška s e^blabla? Wink
Nakon sređivanja tih korijena, uvrstiš po definiciji, podijeliš s najvećom potencijom i dobije se sqrt(2)/2, ako se ne varam.


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
PermutiranoPrase
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 10. 09. 2011. (16:08:19)
Postovi: (F4)16
Spol: kućni ljubimac
Sarma = la pohva - posuda
10 = 17 - 7

PostPostano: 21:18 pet, 6. 1. 2012    Naslov: Citirajte i odgovorite

Hvala! 1/sqrt(2), ali hint je glavni. :)
Najgore kad od šume ne vidiš stablo. :roll:
Hvala! 1/sqrt(2), ali hint je glavni. Smile
Najgore kad od šume ne vidiš stablo. Rolling Eyes



_________________
With great power comes great electricity bill.
n!!!!
Theorem 2: Alexander the Great did not exist and he had an infinite number of limbs.
[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
room
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 03. 11. 2013. (15:41:40)
Postovi: (78)16
Spol: žensko
Sarma = la pohva - posuda
14 = 15 - 1

PostPostano: 0:03 pon, 6. 1. 2014    Naslov: Citirajte i odgovorite

Imam par pitanja iz skripte sa weba ([url]http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/analiza/files/nizovi2.pdf[/url]) i iz treće zadaće ([url]http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/analiza/files/ma1-zadaca3.pdf[/url])

Iz zadaće 1 pod b). Treba dokazati da je strogo padajući. Jel ja tu trebam samo dokazati da je [tex]a_n > a_{n+1}[/tex] ? Jer ako da, onda sam se nešto zapetljala u raspisivanju pa ću pokušati ponovno.

Onda 2 pod b) i c). Pod b) me zanima što se treba dobiti jer nisam sigurna da sam dobro dobila jer mislim da sam negdje na forumu vidjela nešto drugačije. A pod c) ne znam kako bi uopće (i to sam isto vidjela negdje na forumu, ali nisam neko dobro objašnjenje našla ili ga bar ja nisam shvatila..)

9 a), ne znam kako bi trebalo ići to sa četvrtim korijenom..

A što se skripte tiče, 2.9. pod d) i f). Jednostavni su zadaci, ali me zanima da li ima (tj. znam da ima) neki jednostavniji način rješavanja ovoga, a da ne moram raspisivati sve?

2.10. c) bi mi trebao hint, znam da će ići nekako pomoću teorema o sendviču.

2.28. b) objašnjenje jer ga ne shvaćam, zašto smo uopće sad tu uveli ln? (to je prvo pitanje, iako mi ni onda dalje neki djelići nisu jasni)

--

Ako bi itko išta od ovoga mogao riješiti ili objasniti, bila bih mu zahvalna. :)
Imam par pitanja iz skripte sa weba (http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/analiza/files/nizovi2.pdf) i iz treće zadaće (http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/analiza/files/ma1-zadaca3.pdf)

Iz zadaće 1 pod b). Treba dokazati da je strogo padajući. Jel ja tu trebam samo dokazati da je [tex]a_n > a_{n+1}[/tex] ? Jer ako da, onda sam se nešto zapetljala u raspisivanju pa ću pokušati ponovno.

Onda 2 pod b) i c). Pod b) me zanima što se treba dobiti jer nisam sigurna da sam dobro dobila jer mislim da sam negdje na forumu vidjela nešto drugačije. A pod c) ne znam kako bi uopće (i to sam isto vidjela negdje na forumu, ali nisam neko dobro objašnjenje našla ili ga bar ja nisam shvatila..)

9 a), ne znam kako bi trebalo ići to sa četvrtim korijenom..

A što se skripte tiče, 2.9. pod d) i f). Jednostavni su zadaci, ali me zanima da li ima (tj. znam da ima) neki jednostavniji način rješavanja ovoga, a da ne moram raspisivati sve?

2.10. c) bi mi trebao hint, znam da će ići nekako pomoću teorema o sendviču.

2.28. b) objašnjenje jer ga ne shvaćam, zašto smo uopće sad tu uveli ln? (to je prvo pitanje, iako mi ni onda dalje neki djelići nisu jasni)



Ako bi itko išta od ovoga mogao riješiti ili objasniti, bila bih mu zahvalna. Smile


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
Prethodni postovi:   
Započnite novu temu   Odgovorite na temu   printer-friendly view    Forum@DeGiorgi: Početna -> Kolegiji 1. godine, preddiplomski studij Matematika -> Matematička analiza 1 i 2 Vremenska zona: GMT + 01:00.
Idite na Prethodno  1, 2, 3
Stranica 3 / 3.

 
Forum(o)Bir:  
Ne možete otvarati nove teme.
Ne možete odgovarati na postove.
Ne možete uređivati Vaše postove.
Ne možete izbrisati Vaše postove.
Ne možete glasovati u anketama.
You can attach files in this forum
You can download files in this forum


Powered by phpBB © 2001, 2002 phpBB Group
Theme created by Vjacheslav Trushkin
HR (Cro) by Ančica Sečan