Kompozicija surjekcija

[Trey221]

(Nisam siguran gdje postaviti zadatak jer ne studiram još, a ovo bi spadalo pod prvu godinu Matematike. Premjestite ako treba, ali nadam se ne u smeće.)

Dakle, samouk sam i krenuo sam s matematikom. Nisam siguran što točno znači dokazati jer nema nikakvih dokaza u mojoj knjizi, već samo upute "logički i aksiomski slijed ... ". Naišao sam na prvi zadatak, a to je dokazivanje da je kompozicija dviju surjekcija surjektivna.

Ja bih to učinio ovako:

Pretpostavimo da su funkcije [tex]f:A\mapsto B[/tex] i [tex]g:B\mapsto C[/tex] surjekcije: [budući da sam početnik, smatram da ovo treba napisati, iako su definicije surjekcija općepoznate]

[tex]\forall y\in B\exists x\in A: f(x)=y\\\forall z\in C \exists y\in B : g(y)=z[/tex]

tada je kompozicija tih dviju funkcija [tex]g\circ f(x)[/tex] surjekcija.

Treba dokazati:
[tex]\forall z\in C\exists x\in A:g\circ f(x)=z[/tex].

(Prvi način:)
Neka je [tex]z\in C[/tex], onda postoji neki [tex]y_0\in B[/tex] za kojeg vrijedi [tex]g(y_0)=z[/tex], a onda postoji i [tex]x_0\in A[/tex] za kojeg vrijedi [tex]f(x_0)=y_0[/tex].

Iz toga slijedi da [tex]g\circ f(x_0)=g[f(x_0)]=g(y_0)=z[/tex]. Budući da postoji [tex]x_0\in A[/tex] za svaki [tex]z\in C[/tex] jer smo počeli s generalnim [tex]z[/tex], ovo dokazuje tvrdnju.

(Drugi način:)
Iz definicije surjekcije vidljivo je da postoji [tex]y\in B[/tex] tako da vrijedi [tex]g(y)=z[/tex], isto je tako vidljivo da postoji [tex]x\in A[/tex] tako da vrijedi [tex]f(x)=y[/tex], pa slijedi [tex]g\circ f(x)=g[f(x)]=g(y)=z[/tex]. To dokazuje tvrdnju.
*******************

Je li ovo dovoljno i inzistiraju li profesori na tom dokazivanju odnosno samostalnom izvođenju dokaza; ili je dovoljno naučiti dokaze (i razumjeti ih)?

[satja]

Ne vidim bitnu razliku izmedju tvojih dvaju dokaza, osim sto je prvi potpunije napisan. Inace je dokaz dobar.

Na usmenom se uglavnom trazi znanje i razumijevanje dokaza koji su pokazani na predavanjima. Ne ocekuje se da sam dokazujes teoreme. Naravno, jednostavne stvari poput ove koju si naveo bi morao znati dokazati. Na kolokvijima se mogu pojaviti zadatci gdje treba nesto dokazati.

[Trey221]

[hendrix]

Ako vec zelis "uci" u matematicki nacin razmisljanja (i ako te zanima matematika kao takva, jer se ipak radi o ponesto apstraktnijim "stvarima" od logickih sudova; nije da njih ne treba razumjeti, dapace), mislim da ce ti pdf-ovi koje mozes naci ovdje (klik) puno vise pomoci od FER-ovih knjizica (bez disrespekta prema njima, ali ovdje je sigurno fokus na matematicku preciznost veci i postoji tocno ono sto te zanima - vrlo jasno je naznaceno sto je u knjizi dokaz neceg, gdje su mu pocetak i kraj i sl.).

Također, ne moras se prepasti, iako se na prvu (svima) cini vrlo apstraktno, nije potrebno nikakvo specijalno predznanje i ako ides korak po korak, ne bi trebao imati problema sa svladavanjem sadrzaja.

Inace, radi se o obaveznom kolegiju, tj. kolegijima (LA 1 & 2) iz prvog, odnosno drugog semestra prve godine na Matematici.

[Phoenix]

Vjerojatno je to jedna u nizu knjižica koja služi kao obvezna literatura za Matematiku 1, a i preostale Matematike!

Moglo bi se reći da je dokaz matematički potpun "ako razumiješ sve što piše u njemu". Primjerice, u tvom dokazu: čitaš li ga od početka do kraja, razumiješ svaku riječ koja se pojavljuje. Čak si i obrazložio što znači da je funkcija surjekcija, te kako i gdje to točno primjenjuješ.

Ako se odlučiš za studij matematike (a nekako mi zvuči tako), vidjet ćeš da cijela priča ima svoj redoslijed: počevši od definicija i aksioma, pa preko osnovnih teorema i dokaza, do ključnih rezultata koji su motivirali razvoj cijelog matematičkog područja!
Kao što je i satja rekao, na ispitima je važno znati i razumjeti dokaze demonstrirane na predavanjima i na vježbama. Nije pogrešno ni ako ti imaš neko svoje rješenje, premda je u nekim situacijama važno znati baš ono rješenje koje je pokazano na predavanju; ima to svojih razloga.

U slučaju da razmišljaš o studiju matematike, bilo u Zagrebu ili drugdje, samo ću ti reći jedno: nemoj se bojati faksa! Ako voliš matematiku i sviđaju ti se te knjižice, kao i drugi materijali koje imaš prilike vidjeti, učenje ti neće biti tako teško te ćeš s vremena na vrijeme pohvatati stvari koje ti sada možda nisu jasne.
Kao što vidiš, imaš ovaj forum gdje se možeš obratiti za savjet i pomoć, a na faksu, uz razgovor s kolegama, uvijek možeš otići na demonstrature kod starijih studenata ili na konzultacije kod asistenata i profesora.

Ako te još nešto bude zanimalo, slobodno pitaj ovdje na forumu, a možeš i mene dobiti preko inboxa (kao i većinu drugih forumaša, ali neću im raditi reklamu ako ne prate inbox).

Samo hrabro!

[Trey221]

Hvala obojici na savjetima!