|
[quote="Anonymous"]Zadatak ide ovako :
Odredite ekstreme funkcije
f(u,v)=( 3u^2 + 2uv + 3v^2 ) / ( u^2 + v^2 )
na R^2 \ {0,0}
Uputa : Dokazati da je funkcija konstantna na pravcima kroz ishodiste i svesti zadacu na minimizaciju (maksimizaciju) po kruznici.[/quote]
Ja bih to ovako...
Pravac kroz ishodište ima jednadžbu u=kv , za neki k , ili v=0 .
Ako je pravac ...u=kv , tada duž tog pravca (bez ishodišta, naravno)funkcija iznosi
f(kv,v)=(3k^2v^2+2kv^2+3v^2)/(k^2v^2+v^2)=(3k^2+2k+3)/(k^2+1) , dakle konstanta (za konstantan k ).
Ako je pravac ...v=0 , duž njega (opet, bez ishodišta) je
f(u,0)=(3u^2+2u*0+3*0^2)/u^2=3 , konstanta again.
Dakle, za svaku točku (u,v) iz |R^2\{(0,0)} , vrijednost funkcije f u toj točki jednaka je kao vrijednost f na bilo kojoj točki otvorenog polupravca iz ishodišta kroz (u,v) ; specijalno, u "normiranoj" točki (u,v)/sqrt(u^2+v^2) , koja leži na jediničnoj kružnici.
So, da bismo odredili minimum i maksimum od f na cijeloj njenoj domeni, dovoljno je odrediti minimum i maksimum od f na jediničnoj kružnici. To možemo na gore navedeni način (pomoću k , plus još posebni slučaj ...v=0 kad je f jednako 3 ), ali sâma jedinična kružnica se može parametrizirati i ljepše - npr. sa (u,v)=(cosfi,sinfi) .
Na taj način imamo
f(u,v)=f(cosfi,sinfi)=(3+2cosfisinfi)/1=3+sin2fi , za fi@[0,2pi> .
Sad je prilično trivijalno da je minimum jednak 3-1=2 (postiže se npr. za 2fi=3pi/2 , odnosno fi=3pi/4 , odnosno u točki (-sqrt2/2,sqrt2/2) (ili, ljepše, (-1,1) ) );
a maksimum je 3+1=4 (postiže se za (u,v)=(1,1) , npr.).
HTH,
| Anonymous (napisa): | Zadatak ide ovako :
Odredite ekstreme funkcije
f(u,v)=( 3u^2 + 2uv + 3v^2 ) / ( u^2 + v^2 )
na R^2 \ {0,0}
Uputa : Dokazati da je funkcija konstantna na pravcima kroz ishodiste i svesti zadacu na minimizaciju (maksimizaciju) po kruznici. |
Ja bih to ovako...
Pravac kroz ishodište ima jednadžbu u=kv , za neki k , ili v=0 .
Ako je pravac ...u=kv , tada duž tog pravca (bez ishodišta, naravno)funkcija iznosi
f(kv,v)=(3k^2v^2+2kv^2+3v^2)/(k^2v^2+v^2)=(3k^2+2k+3)/(k^2+1) , dakle konstanta (za konstantan k ).
Ako je pravac ...v=0 , duž njega (opet, bez ishodišta) je
f(u,0)=(3u^2+2u*0+3*0^2)/u^2=3 , konstanta again.
Dakle, za svaku točku (u,v) iz |R^2\{(0,0)} , vrijednost funkcije f u toj točki jednaka je kao vrijednost f na bilo kojoj točki otvorenog polupravca iz ishodišta kroz (u,v) ; specijalno, u "normiranoj" točki (u,v)/sqrt(u^2+v^2) , koja leži na jediničnoj kružnici.
So, da bismo odredili minimum i maksimum od f na cijeloj njenoj domeni, dovoljno je odrediti minimum i maksimum od f na jediničnoj kružnici. To možemo na gore navedeni način (pomoću k , plus još posebni slučaj ...v=0 kad je f jednako 3 ), ali sâma jedinična kružnica se može parametrizirati i ljepše - npr. sa (u,v)=(cosfi,sinfi) .
Na taj način imamo
f(u,v)=f(cosfi,sinfi)=(3+2cosfisinfi)/1=3+sin2fi , za fi@[0,2pi> .
Sad je prilično trivijalno da je minimum jednak 3-1=2 (postiže se npr. za 2fi=3pi/2 , odnosno fi=3pi/4 , odnosno u točki (-sqrt2/2,sqrt2/2) (ili, ljepše, (-1,1) ) );
a maksimum je 3+1=4 (postiže se za (u,v)=(1,1) , npr.).
HTH,
|
.