Search
 
 
  Engleski
 
 
 
Open in this window (click to change)
Forum@DeGiorgi: Početna
Forum za podršku nastavi na PMF-MO
Login Registracija FAQ Smajlići Članstvo Pretražnik Forum@DeGiorgi: Početna

Popravni kolokvij
WWW:

Moja sarma
 
Započnite novu temu   Odgovorite na temu   printer-friendly view    Forum@DeGiorgi: Početna -> Kolegiji 3. godine -> Teorija skupova
Prethodna tema :: Sljedeća tema  
Autor/ica Poruka
marsupial
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 09. 01. 2012. (22:46:33)
Postovi: (63)16
Spol: kućni ljubimac
Sarma = la pohva - posuda
= 5 - 1

PostPostano: 20:46 sri, 4. 2. 2015    Naslov: Popravni kolokvij Citirajte i odgovorite

Koji su uvjeti i kako to sve skupa funkcionira? Od bodovanja, usmenog i ostalog.

Te da li bi mogli objaviti neke primjere prošlogodišnjih popravnih kolokvija?

Unaprijed puno hvala na svakoj informaciji! :)
Koji su uvjeti i kako to sve skupa funkcionira? Od bodovanja, usmenog i ostalog.

Te da li bi mogli objaviti neke primjere prošlogodišnjih popravnih kolokvija?

Unaprijed puno hvala na svakoj informaciji! Smile


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
delilah01.
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 10. 11. 2011. (22:50:23)
Postovi: (39)16
Sarma = la pohva - posuda
11 = 12 - 1

PostPostano: 20:54 sri, 4. 2. 2015    Naslov: Citirajte i odgovorite

http://web.math.pmf.unizg.hr/~vukovic/dodiplomska_nastava.htm tu imas uvjete polaganja kolegija i proslogodisnje popravne :)
http://web.math.pmf.unizg.hr/~vukovic/dodiplomska_nastava.htm tu imas uvjete polaganja kolegija i proslogodisnje popravne Smile


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
marsupial
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 09. 01. 2012. (22:46:33)
Postovi: (63)16
Spol: kućni ljubimac
Sarma = la pohva - posuda
= 5 - 1

PostPostano: 21:35 sri, 4. 2. 2015    Naslov: Citirajte i odgovorite

Puno ti hvala! Zlato si! :)
Puno ti hvala! Zlato si! Smile


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
marsupial
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 09. 01. 2012. (22:46:33)
Postovi: (63)16
Spol: kućni ljubimac
Sarma = la pohva - posuda
= 5 - 1

PostPostano: 22:23 pet, 6. 2. 2015    Naslov: Citirajte i odgovorite

Kako bi dokazali 4. zadatak s popravnog iz 2014?
Kako bi dokazali 4. zadatak s popravnog iz 2014?


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
mdoko
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 30. 11. 2002. (22:17:12)
Postovi: (71A)16
Spol: muško
Sarma = la pohva - posuda
199 = 237 - 38
Lokacija: Heriot-Watt University, Edinburgh

PostPostano: 3:19 sub, 7. 2. 2015    Naslov: Citirajte i odgovorite

[quote="marsupial"]Kako bi dokazali 4. zadatak s popravnog iz 2014?[/quote]
Može li link na to?
marsupial (napisa):
Kako bi dokazali 4. zadatak s popravnog iz 2014?

Može li link na to?



_________________
Extraordinary claims require extraordinary evidence. – Carl Sagan
[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku Posjetite Web stranice
marsupial
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 09. 01. 2012. (22:46:33)
Postovi: (63)16
Spol: kućni ljubimac
Sarma = la pohva - posuda
= 5 - 1

PostPostano: 9:32 sub, 7. 2. 2015    Naslov: Citirajte i odgovorite

Nema direktnog linka, ali ovdje su svi na hrpi:

[url]http://web.math.pmf.unizg.hr/~vukovic/dodiplomska_nastava.htm[/url]

Zanima me i :

2014 - 3.zadatak - Da li se može argumentirati da se tih podskupova A može odabrati na k(P(Q)) načina, odnosno c, pa je zato k(S)<=c, a s druge strane k(S)<=k(P(QxQ))=c, pa je zato k(S)=c?

2013 - 3.zadatak - Kažemo da općenito takvih sustava ima >=c, a ovaj skup je podskup od R^9, pa je zato njegov kardinalni <=c. Slijedi da je kardinalni broj tog skupa jednak c.Da li je to dobro? Da li bi argument bio isti ako bi se tražilo u zadatku da odredimo kardinalni broj skupa istih linearnih jednadžbi ali koje nemaju rješenja?

2013 - 6.zadatak - < -beskonačno,0]xN i <0,+beskonačno> su slični sa R pa su slični, a <0,+beskonačno>xN ne jer nije topološki potpun, i to se vidi, ali kako to formalno objasniti recimo na kolokviju?
Nema direktnog linka, ali ovdje su svi na hrpi:

http://web.math.pmf.unizg.hr/~vukovic/dodiplomska_nastava.htm

Zanima me i :

2014 - 3.zadatak - Da li se može argumentirati da se tih podskupova A može odabrati na k(P(Q)) načina, odnosno c, pa je zato k(S)⇐c, a s druge strane k(S)⇐k(P(QxQ))=c, pa je zato k(S)=c?

2013 - 3.zadatak - Kažemo da općenito takvih sustava ima >=c, a ovaj skup je podskup od R^9, pa je zato njegov kardinalni ⇐c. Slijedi da je kardinalni broj tog skupa jednak c.Da li je to dobro? Da li bi argument bio isti ako bi se tražilo u zadatku da odredimo kardinalni broj skupa istih linearnih jednadžbi ali koje nemaju rješenja?

2013 - 6.zadatak - < -beskonačno,0]xN i <0,+beskonačno> su slični sa R pa su slični, a <0,+beskonačno>xN ne jer nije topološki potpun, i to se vidi, ali kako to formalno objasniti recimo na kolokviju?


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
mdoko
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 30. 11. 2002. (22:17:12)
Postovi: (71A)16
Spol: muško
Sarma = la pohva - posuda
199 = 237 - 38
Lokacija: Heriot-Watt University, Edinburgh

PostPostano: 16:51 sub, 7. 2. 2015    Naslov: Citirajte i odgovorite

[quote="marsupial"]Kako bi dokazali 4. zadatak s popravnog iz 2014?[/quote]
Neka je [tex](A,<)[/tex] pseudorešetka u kojoj je svaki lanac obostrano omeđen.

Pretpostavimo da [tex](A,<)[/tex] nema najveći element. Primijetimo da parcijalno uređen skup [tex](A,<)[/tex] zadovoljava uvjete Zornove leme iz čega slijedi da [tex]A[/tex] ima maksimalni element. Označimo taj element s [tex]a_0[/tex]. Promotrimo sada skup [tex]A_0 := \{x \mid x\in A \land x \leqslant a_0\}[/tex].

Zadovoljava li [tex](A\setminus A_0, <)[/tex] uvjete Zornove leme? [tex]A\setminus A_0 \neq \emptyset[/tex] slijedi iz pretpostavke da [tex](A,<)[/tex] nema najveći element. Ostaje nam još uvjeriti se da svaki neprazni lanac u [tex]A\setminus A_0[/tex] ima gornju među u [tex]A\setminus A_0[/tex], pa neka je [tex]\alpha\subseteq A\setminus A_0[/tex] neki neprazni lanac. Primijetimo da je [tex]\alpha[/tex] također lanac u [tex]A[/tex], pa (po pretpostavci zadatka) [tex]\alpha[/tex] ima gornju među u [tex]A[/tex]. Označimo tu gornju među s [tex]b[/tex]. Nije moguće da bude [tex]b\in A_0[/tex], jer bi tada bilo [tex]b\leq a_0[/tex], što znači da bi svi elementi od [tex]\alpha[/tex] bili manji od [tex]a_0[/tex], što dalje implicira da je [tex]\alpha\subseteq A_0[/tex], a ta inkluzija je u kontradikciji s izborom skupa [tex]\alpha[/tex]. Dakle, ustanovili smo da je [tex]b[/tex] usitinu gornja međe od [tex]\alpha[/tex] u [tex]A\setminus A_0[/tex]. Sada iz Zornove leme slijedi da [tex](A\setminus A_0, <)[/tex] ima maksimalni element. Označimo ga s [tex]a_1[/tex].

Primijetimo da je [tex]a_1[/tex] maksimalan i u [tex](A,<)[/tex]. Naime, budući da je [tex]a_1[/tex] maksimalan u [tex](A\setminus A_0, <)[/tex], jedini elementi od [tex]A[/tex] koji bi mogli biti veći od [tex]a_1[/tex] nalaze se u [tex]A_0[/tex], no kako bi postojanje elementa iz [tex]A_0[/tex] većeg od [tex]a_1[/tex] impliciralo da je i sam [tex]a_1[/tex] element od [tex]A_0[/tex], znamo da to nije slučaj.

Promotrimo sada dvočlani skup [tex]\{a_0,a_1\}\subseteq A[/tex]. (Stvarno se radi o dvočlanom skupu. Nužno je [tex]a_0\neq a_1[/tex], jer je [tex]a_0\in A_0[/tex], a [tex]a_1\not\in A_0[/tex].) Kako je [tex](A,<)[/tex] pseudorešetka, u [tex](A,<)[/tex] postoji supremum od [tex]\{a_0,a_1\}\subseteq A[/tex], što znači da nastupa jedan od sljedeća tri slučaja:
[list][*][tex]a_0 < a_1[/tex]
[*][tex]a_1 < a_0[/tex]
[*][tex]\exists a (a\in A \land a_0 < a \land a_1 < a)[/tex][/list:u]
Svaki od ova tri slučaja je u kontradikciji s već doikazanom činjenicom da su [tex]a_0[/tex] i [tex]a_1[/tex] maksimalni elementi u [tex](A,<)[/tex]. Ovim smo došli do kontradikcije, što znači da naša originalna pretpostavka da [tex](A,<)[/tex] nema najveći element ne može biti istinita, dakle [tex](A,<)[/tex] [b]ima najveći element[/b].

Postojanje najmanjeg elementa u [tex](A,<)[/tex] dokazuje se analogno, dvostrukom primjenom Zornove leme.





[quote="marsupial"]
2014 - 3.zadatak - Da li se može argumentirati da se tih podskupova A može odabrati na k(P(Q)) načina, odnosno c, pa je zato k(S)<=c[/quote]
(Ovdje pretpostavljam da je sa [tex]S[/tex] označen skup svih funkcija [i]iz[/i] [tex]\mathbb{Q}[/tex] u [tex]\mathbb{Q}[/tex].)

To je dobar razlog za uspostavljanje donje međe. Da ja rješavam kolokvij, ipak bih dao primjer injekcije sa [tex]\mathcal{P}(\mathbb{Q})[/tex] u [tex]S[/tex]. Na taj način se izbjegavaju bilo kakvi nesporazumi prilikom ispravljanja. Ovako intuitivno objašnjeno nije loše, ali je puno bolje kad je to sve formalno čisto.

[quote="marsupial"]s druge strane k(S)<=k(P(QxQ))=c[/quote]
Ovo je poprilično netrivijalna tvrdnja. To treba detaljno raspisati. Ja ovako na brzinu ne vidim odmah injekciju sa [tex]S[/tex] u [tex]\mathcal{P}(\mathbb{Q}\times\mathbb{Q})[/tex]. Možeš li napisati šta si mislio/la, pa da vidimo valja li to?





[quote="marsupial"]
2013 - 3.zadatak - Kažemo da općenito takvih sustava ima >=c, a ovaj skup je podskup od R^9, pa je zato njegov kardinalni <=c. Slijedi da je kardinalni broj tog skupa jednak c. Da li je to dobro?[/quote]
Ovdje si se malo zaletio/la. Gornju ogradu ([tex]\leqslant\mathfrak{c}[/tex]) je lagano dobiti. Kao što ti kažeš, radi se o "podskupu" od [tex]\mathbb{R}^9[/tex]. ([tex]3\times 3[/tex] matrice nisu baš isto što i uređene devetorke, ali identifikacija je trivijalna, pa nema smisla cjepidlačiti.)

S druge strane, kako dobiješ donju ogradu ([tex]\geqslant\mathfrak{c}[/tex])? Što ti znači ovo "općenito takvih sustava ima [tex]\geqslant\mathfrak{c}[/tex]"?

[quote="marsupial"]
Da li bi argument bio isti ako bi se tražilo u zadatku da odredimo kardinalni broj skupa istih linearnih jednadžbi ali koje nemaju rješenja?[/quote]
Ponovno isti problem. Gornja ograda je trivijalna, ali treba demonstrirati donju ogradu.





[quote="marsupial"]
2013 - 6.zadatak - < -beskonačno,0]xN i <0,+beskonačno> su slični sa R pa su slični, a <0,+beskonačno>xN ne jer nije topološki potpun, i to se vidi, ali kako to formalno objasniti recimo na kolokviju?[/quote]
Ovo je problem koji se često javlja. Meni se čini da problem ne leži u matematici, nego u neiskustvu kod pismenog izražavanja te nesigurnosti koja proizlazi iz treme. Treba se samo skoncentrirati i lijepo napisati što to točno vidiš.


OK, ajmo redom, od najočitijeg prema kompliciranijem. (Pišem kao da rješavam kolokvij, samo bez skica, kojih ima podosta.)

1) [tex]\mathbb{R}^+[/tex] je sličan s [tex]\mathbb{R}[/tex].
[tex]\mathbb{R}^+[/tex] očito nema najveći ni najmanji element, separabilan je ([tex]\mathbb{Q}^+\subseteq\mathbb{R}^+[/tex]) i topološki potpun (supremumi podskupova od [tex]\mathbb{R}^+[/tex] su točno isti kao kad ih promatramo kao podskupove od [tex]\mathbb{R}[/tex]).

2) [tex]\mathbb{R}^+\times\mathbb{N}[/tex] nije topološki potpun.
Promotrimo [tex]\mathbb{R}^+\times\{0\}\subseteq\mathbb{R}^+\times\mathbb{N}[/tex]. Taj skup je očito omeđen odozgo ([tex](1,1)[/tex] je primjer gornje međe). S druge strane, ne postoji najmanja gornja međa. Kako bi to dokazali, neka je [tex](x,n)[/tex] proizvoljna gornja međa od [tex]\mathbb{R}^+\times\{0\}[/tex]. Uočimo da je nužno [tex]n>0[/tex], jer bi inače (za [tex]n=0[/tex]) bilo [tex](x,n) < (x+1,n) \in \mathbb{R}^+\times\{0\}[/tex], pa [tex](x,n)[/tex] ne bi bila gornja međa. No, kako je [tex]n>0[/tex], očito je i [tex](\frac{x}{2},n)[/tex] gornja međa od [tex]\mathbb{R}^+\times\{0\}[/tex], čime smo dokazali da od svake gornje međe od [tex]\mathbb{R}^+\times\{0\}[/tex] postoji neka manja.

3) [tex]\mathbb{R}^-_0\times\mathbb{N}[/tex] je sličan s [tex]\mathbb{R}[/tex].
Po teoremu o uređajnoj karakteristici skupa [tex]\mathbb{R}[/tex] treba dokazti tri stvari:
[list]
[*] [tex]\mathbb{R}^-_0\times\mathbb{N}[/tex] nema najveći ni najmanji element, tj. od svakog elementa postoji veći i manji.
Neka je [tex](x,n)\in\mathbb{R}^-_0\times\mathbb{N}[/tex] proizvoljan. Tada je očito [tex](x-1,n),(x,n+1)\in\mathbb{R}^-_0\times\mathbb{N}[/tex] i vrijedi [tex](x-1,n) < (x,n) < (x,n+1)[/tex].
[*] [tex]\mathbb{R}^-_0\times\mathbb{N}[/tex] je separabilan.
Tvrdimo da je [tex]\mathbb{Q}^-_0\times\mathbb{N}[/tex] primjer prebrojivog gustog podskupa. Prebrojivost je očita: [tex]\mathrm{card}(\mathbb{Q}^-_0\times\mathbb{N}) = \mathrm{card}(\mathbb{Q}^-_0)\cdot\mathrm{card}(\mathbb{N}) = \aleph_0\cdot\aleph_0=\aleph_0[/tex]. Preostaje još dokazati da se radi o gustom podskupu. U tu svrhu, neka su [tex](x,n),(y,m)\in\mathbb{R}^-_0\times\mathbb{N}[/tex] takvi da je [tex](x,n)<(y,m)[/tex]. Trebamo pronaći neki element od [tex]\mathbb{Q}^-_0\times\mathbb{N}[/tex] između [tex](x,n)[/tex] i [tex](y,m)[/tex]. Imamo dva slučaja:
[list]
[*] [tex]n < m[/tex]
Neka je [tex]q\in \langle -\infty, y\rangle\cap \mathbb{Q}[/tex] proizvoljan. Tada je očito [tex](q,m)\in\mathbb{Q}^-_0\times\mathbb{N}[/tex] i vrijedi [tex](x,n)<(q,m)<(y,m)[/tex].
[*] [tex]n = m[/tex] i [tex]x < y[/tex]
Neka je [tex]q\in \langle x, y\rangle\cap \mathbb{Q}[/tex] proizvoljan. Tada je očito [tex](q,m)\in\mathbb{Q}^-_0\times\mathbb{N}[/tex] i vrijedi [tex](x,n) = (x,m)<(q,m)<(y,m)[/tex].
[/list:u]
[*] [tex]\mathbb{R}^-_0\times\mathbb{N}[/tex] je topološki potpun.
Neka je [tex]X\subseteq\mathbb{R}^-_0\times\mathbb{N}[/tex] odozgo ograničen. Označimo [tex]N := \max \{n \mid n\in\mathbb{N} \land (\mathbb{R}^-_0\times\{n\})\cap X \neq \emptyset\}[/tex]. [tex]N[/tex] je dobro definiran jer, budući da je [tex]X[/tex] odozgo ograničen, traženi maksimum mora postojati. Nadalje, neka je [tex]\bar{x} = \sup \{x \mid (x,N) \in X\}[/tex]. [tex]\bar{x}[/tex] je dobro definiran jer je [tex]\{x \mid (x,N) \in X\}[/tex] odozgo ograničen skup realnih brojeva. Tvrdimo da je [tex](\bar{x},N)[/tex] supremum od [tex]X[/tex] u [tex]\mathbb{R}^-_0\times\mathbb{N}[/tex]. Da bi to dokazali, potrebno je dokazati da nijedan element od [tex]\mathbb{R}^-_0\times\mathbb{N}[/tex] manji od [tex](\bar{x},N)[/tex] nije gornja međa od [tex]X[/tex]. Uzmimo sada proizvoljan element [tex](a,k)\in\mathbb{R}^-_0\times\mathbb{N}[/tex] takav da je [tex](a,k) < (\bar{x},N)[/tex]. Imamo dva slučaja:
[list]
[*] [tex]k < N[/tex]
Neka je tada [tex](y, N)\in (\mathbb{R}^-_0\times\{N\})\cap X[/tex] proizvoljan. Očito je [tex](a,k)<(y,N)[/tex], pa [tex](a,k)[/tex] ne može biti gornja međa od [tex]X[/tex].
[*] [tex]k = N[/tex] i [tex]a < \bar{x}[/tex]
Kako je [tex]a < \bar{x}[/tex], iz definicije od [tex]\bar{x}[/tex] slijedi da postoji [tex]y\in\{x \mid (x,N) \in X\}[/tex] takav da je [tex]a < y[/tex]. Uočimo da je [tex](y,N)\in X[/tex], te da vrijedi [tex](a,k)<(y,N)[/tex]. Dakle, ni u ovom slučaju [tex](a,k)[/tex] nije gornja međa od [tex]X[/tex].
[/list:u]
[/list:u]
marsupial (napisa):
Kako bi dokazali 4. zadatak s popravnog iz 2014?

Neka je [tex](A,<)[/tex] pseudorešetka u kojoj je svaki lanac obostrano omeđen.

Pretpostavimo da [tex](A,<)[/tex] nema najveći element. Primijetimo da parcijalno uređen skup [tex](A,<)[/tex] zadovoljava uvjete Zornove leme iz čega slijedi da [tex]A[/tex] ima maksimalni element. Označimo taj element s [tex]a_0[/tex]. Promotrimo sada skup [tex]A_0 := \{x \mid x\in A \land x \leqslant a_0\}[/tex].

Zadovoljava li [tex](A\setminus A_0, <)[/tex] uvjete Zornove leme? [tex]A\setminus A_0 \neq \emptyset[/tex] slijedi iz pretpostavke da [tex](A,<)[/tex] nema najveći element. Ostaje nam još uvjeriti se da svaki neprazni lanac u [tex]A\setminus A_0[/tex] ima gornju među u [tex]A\setminus A_0[/tex], pa neka je [tex]\alpha\subseteq A\setminus A_0[/tex] neki neprazni lanac. Primijetimo da je [tex]\alpha[/tex] također lanac u [tex]A[/tex], pa (po pretpostavci zadatka) [tex]\alpha[/tex] ima gornju među u [tex]A[/tex]. Označimo tu gornju među s [tex]b[/tex]. Nije moguće da bude [tex]b\in A_0[/tex], jer bi tada bilo [tex]b\leq a_0[/tex], što znači da bi svi elementi od [tex]\alpha[/tex] bili manji od [tex]a_0[/tex], što dalje implicira da je [tex]\alpha\subseteq A_0[/tex], a ta inkluzija je u kontradikciji s izborom skupa [tex]\alpha[/tex]. Dakle, ustanovili smo da je [tex]b[/tex] usitinu gornja međe od [tex]\alpha[/tex] u [tex]A\setminus A_0[/tex]. Sada iz Zornove leme slijedi da [tex](A\setminus A_0, <)[/tex] ima maksimalni element. Označimo ga s [tex]a_1[/tex].

Primijetimo da je [tex]a_1[/tex] maksimalan i u [tex](A,<)[/tex]. Naime, budući da je [tex]a_1[/tex] maksimalan u [tex](A\setminus A_0, <)[/tex], jedini elementi od [tex]A[/tex] koji bi mogli biti veći od [tex]a_1[/tex] nalaze se u [tex]A_0[/tex], no kako bi postojanje elementa iz [tex]A_0[/tex] većeg od [tex]a_1[/tex] impliciralo da je i sam [tex]a_1[/tex] element od [tex]A_0[/tex], znamo da to nije slučaj.

Promotrimo sada dvočlani skup [tex]\{a_0,a_1\}\subseteq A[/tex]. (Stvarno se radi o dvočlanom skupu. Nužno je [tex]a_0\neq a_1[/tex], jer je [tex]a_0\in A_0[/tex], a [tex]a_1\not\in A_0[/tex].) Kako je [tex](A,<)[/tex] pseudorešetka, u [tex](A,<)[/tex] postoji supremum od [tex]\{a_0,a_1\}\subseteq A[/tex], što znači da nastupa jedan od sljedeća tri slučaja:
  • [tex]a_0 < a_1[/tex]
  • [tex]a_1 < a_0[/tex]
  • [tex]\exists a (a\in A \land a_0 < a \land a_1 < a)[/tex]

Svaki od ova tri slučaja je u kontradikciji s već doikazanom činjenicom da su [tex]a_0[/tex] i [tex]a_1[/tex] maksimalni elementi u [tex](A,<)[/tex]. Ovim smo došli do kontradikcije, što znači da naša originalna pretpostavka da [tex](A,<)[/tex] nema najveći element ne može biti istinita, dakle [tex](A,<)[/tex] ima najveći element.

Postojanje najmanjeg elementa u [tex](A,<)[/tex] dokazuje se analogno, dvostrukom primjenom Zornove leme.





marsupial (napisa):

2014 - 3.zadatak - Da li se može argumentirati da se tih podskupova A može odabrati na k(P(Q)) načina, odnosno c, pa je zato k(S)⇐c

(Ovdje pretpostavljam da je sa [tex]S[/tex] označen skup svih funkcija iz [tex]\mathbb{Q}[/tex] u [tex]\mathbb{Q}[/tex].)

To je dobar razlog za uspostavljanje donje međe. Da ja rješavam kolokvij, ipak bih dao primjer injekcije sa [tex]\mathcal{P}(\mathbb{Q})[/tex] u [tex]S[/tex]. Na taj način se izbjegavaju bilo kakvi nesporazumi prilikom ispravljanja. Ovako intuitivno objašnjeno nije loše, ali je puno bolje kad je to sve formalno čisto.

marsupial (napisa):
s druge strane k(S)⇐k(P(QxQ))=c

Ovo je poprilično netrivijalna tvrdnja. To treba detaljno raspisati. Ja ovako na brzinu ne vidim odmah injekciju sa [tex]S[/tex] u [tex]\mathcal{P}(\mathbb{Q}\times\mathbb{Q})[/tex]. Možeš li napisati šta si mislio/la, pa da vidimo valja li to?





marsupial (napisa):

2013 - 3.zadatak - Kažemo da općenito takvih sustava ima >=c, a ovaj skup je podskup od R^9, pa je zato njegov kardinalni ⇐c. Slijedi da je kardinalni broj tog skupa jednak c. Da li je to dobro?

Ovdje si se malo zaletio/la. Gornju ogradu ([tex]\leqslant\mathfrak{c}[/tex]) je lagano dobiti. Kao što ti kažeš, radi se o "podskupu" od [tex]\mathbb{R}^9[/tex]. ([tex]3\times 3[/tex] matrice nisu baš isto što i uređene devetorke, ali identifikacija je trivijalna, pa nema smisla cjepidlačiti.)

S druge strane, kako dobiješ donju ogradu ([tex]\geqslant\mathfrak{c}[/tex])? Što ti znači ovo "općenito takvih sustava ima [tex]\geqslant\mathfrak{c}[/tex]"?

marsupial (napisa):

Da li bi argument bio isti ako bi se tražilo u zadatku da odredimo kardinalni broj skupa istih linearnih jednadžbi ali koje nemaju rješenja?

Ponovno isti problem. Gornja ograda je trivijalna, ali treba demonstrirati donju ogradu.





marsupial (napisa):

2013 - 6.zadatak - < -beskonačno,0]xN i <0,+beskonačno> su slični sa R pa su slični, a <0,+beskonačno>xN ne jer nije topološki potpun, i to se vidi, ali kako to formalno objasniti recimo na kolokviju?

Ovo je problem koji se često javlja. Meni se čini da problem ne leži u matematici, nego u neiskustvu kod pismenog izražavanja te nesigurnosti koja proizlazi iz treme. Treba se samo skoncentrirati i lijepo napisati što to točno vidiš.


OK, ajmo redom, od najočitijeg prema kompliciranijem. (Pišem kao da rješavam kolokvij, samo bez skica, kojih ima podosta.)

1) [tex]\mathbb{R}^+[/tex] je sličan s [tex]\mathbb{R}[/tex].
[tex]\mathbb{R}^+[/tex] očito nema najveći ni najmanji element, separabilan je ([tex]\mathbb{Q}^+\subseteq\mathbb{R}^+[/tex]) i topološki potpun (supremumi podskupova od [tex]\mathbb{R}^+[/tex] su točno isti kao kad ih promatramo kao podskupove od [tex]\mathbb{R}[/tex]).

2) [tex]\mathbb{R}^+\times\mathbb{N}[/tex] nije topološki potpun.
Promotrimo [tex]\mathbb{R}^+\times\{0\}\subseteq\mathbb{R}^+\times\mathbb{N}[/tex]. Taj skup je očito omeđen odozgo ([tex](1,1)[/tex] je primjer gornje međe). S druge strane, ne postoji najmanja gornja međa. Kako bi to dokazali, neka je [tex](x,n)[/tex] proizvoljna gornja međa od [tex]\mathbb{R}^+\times\{0\}[/tex]. Uočimo da je nužno [tex]n>0[/tex], jer bi inače (za [tex]n=0[/tex]) bilo [tex](x,n) < (x+1,n) \in \mathbb{R}^+\times\{0\}[/tex], pa [tex](x,n)[/tex] ne bi bila gornja međa. No, kako je [tex]n>0[/tex], očito je i [tex](\frac{x}{2},n)[/tex] gornja međa od [tex]\mathbb{R}^+\times\{0\}[/tex], čime smo dokazali da od svake gornje međe od [tex]\mathbb{R}^+\times\{0\}[/tex] postoji neka manja.

3) [tex]\mathbb{R}^-_0\times\mathbb{N}[/tex] je sličan s [tex]\mathbb{R}[/tex].
Po teoremu o uređajnoj karakteristici skupa [tex]\mathbb{R}[/tex] treba dokazti tri stvari:

  • [tex]\mathbb{R}^-_0\times\mathbb{N}[/tex] nema najveći ni najmanji element, tj. od svakog elementa postoji veći i manji.
    Neka je [tex](x,n)\in\mathbb{R}^-_0\times\mathbb{N}[/tex] proizvoljan. Tada je očito [tex](x-1,n),(x,n+1)\in\mathbb{R}^-_0\times\mathbb{N}[/tex] i vrijedi [tex](x-1,n) < (x,n) < (x,n+1)[/tex].
  • [tex]\mathbb{R}^-_0\times\mathbb{N}[/tex] je separabilan.
    Tvrdimo da je [tex]\mathbb{Q}^-_0\times\mathbb{N}[/tex] primjer prebrojivog gustog podskupa. Prebrojivost je očita: [tex]\mathrm{card}(\mathbb{Q}^-_0\times\mathbb{N}) = \mathrm{card}(\mathbb{Q}^-_0)\cdot\mathrm{card}(\mathbb{N}) = \aleph_0\cdot\aleph_0=\aleph_0[/tex]. Preostaje još dokazati da se radi o gustom podskupu. U tu svrhu, neka su [tex](x,n),(y,m)\in\mathbb{R}^-_0\times\mathbb{N}[/tex] takvi da je [tex](x,n)<(y,m)[/tex]. Trebamo pronaći neki element od [tex]\mathbb{Q}^-_0\times\mathbb{N}[/tex] između [tex](x,n)[/tex] i [tex](y,m)[/tex]. Imamo dva slučaja:

    • [tex]n < m[/tex]
      Neka je [tex]q\in \langle -\infty, y\rangle\cap \mathbb{Q}[/tex] proizvoljan. Tada je očito [tex](q,m)\in\mathbb{Q}^-_0\times\mathbb{N}[/tex] i vrijedi [tex](x,n)<(q,m)<(y,m)[/tex].
    • [tex]n = m[/tex] i [tex]x < y[/tex]
      Neka je [tex]q\in \langle x, y\rangle\cap \mathbb{Q}[/tex] proizvoljan. Tada je očito [tex](q,m)\in\mathbb{Q}^-_0\times\mathbb{N}[/tex] i vrijedi [tex](x,n) = (x,m)<(q,m)<(y,m)[/tex].

  • [tex]\mathbb{R}^-_0\times\mathbb{N}[/tex] je topološki potpun.
    Neka je [tex]X\subseteq\mathbb{R}^-_0\times\mathbb{N}[/tex] odozgo ograničen. Označimo [tex]N := \max \{n \mid n\in\mathbb{N} \land (\mathbb{R}^-_0\times\{n\})\cap X \neq \emptyset\}[/tex]. [tex]N[/tex] je dobro definiran jer, budući da je [tex]X[/tex] odozgo ograničen, traženi maksimum mora postojati. Nadalje, neka je [tex]\bar{x} = \sup \{x \mid (x,N) \in X\}[/tex]. [tex]\bar{x}[/tex] je dobro definiran jer je [tex]\{x \mid (x,N) \in X\}[/tex] odozgo ograničen skup realnih brojeva. Tvrdimo da je [tex](\bar{x},N)[/tex] supremum od [tex]X[/tex] u [tex]\mathbb{R}^-_0\times\mathbb{N}[/tex]. Da bi to dokazali, potrebno je dokazati da nijedan element od [tex]\mathbb{R}^-_0\times\mathbb{N}[/tex] manji od [tex](\bar{x},N)[/tex] nije gornja međa od [tex]X[/tex]. Uzmimo sada proizvoljan element [tex](a,k)\in\mathbb{R}^-_0\times\mathbb{N}[/tex] takav da je [tex](a,k) < (\bar{x},N)[/tex]. Imamo dva slučaja:

    • [tex]k < N[/tex]
      Neka je tada [tex](y, N)\in (\mathbb{R}^-_0\times\{N\})\cap X[/tex] proizvoljan. Očito je [tex](a,k)<(y,N)[/tex], pa [tex](a,k)[/tex] ne može biti gornja međa od [tex]X[/tex].
    • [tex]k = N[/tex] i [tex]a < \bar{x}[/tex]
      Kako je [tex]a < \bar{x}[/tex], iz definicije od [tex]\bar{x}[/tex] slijedi da postoji [tex]y\in\{x \mid (x,N) \in X\}[/tex] takav da je [tex]a < y[/tex]. Uočimo da je [tex](y,N)\in X[/tex], te da vrijedi [tex](a,k)<(y,N)[/tex]. Dakle, ni u ovom slučaju [tex](a,k)[/tex] nije gornja međa od [tex]X[/tex].




_________________
Extraordinary claims require extraordinary evidence. – Carl Sagan
[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku Posjetite Web stranice
marsupial
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 09. 01. 2012. (22:46:33)
Postovi: (63)16
Spol: kućni ljubimac
Sarma = la pohva - posuda
= 5 - 1

PostPostano: 18:30 sub, 7. 2. 2015    Naslov: Citirajte i odgovorite

Prvo se ispričavam jer se ne snalazim koristiti latex i sve izgleda neuredno.
Puno hvala na ovoj pomoći!!

Hm, iskreno ne znam. Sve sam pobrkala. Ako bih gledala ovako: S={ f:A->Q|A podskup od Q, f funkcija}, kako bih onda dokazala?

Ovo da takvih sustava ima barem c jer se tvrdi da ih ima beskonačno mnogo, a gledamo beskonačno mnogo rješenja na R (ili nisam to smjela pretpostaviti?)
Kada bih tražili da nema rješenja, iskreno, ne bih znala za donju ogradu.
Prvo se ispričavam jer se ne snalazim koristiti latex i sve izgleda neuredno.
Puno hvala na ovoj pomoći!!

Hm, iskreno ne znam. Sve sam pobrkala. Ako bih gledala ovako: S={ f:A->Q|A podskup od Q, f funkcija}, kako bih onda dokazala?

Ovo da takvih sustava ima barem c jer se tvrdi da ih ima beskonačno mnogo, a gledamo beskonačno mnogo rješenja na R (ili nisam to smjela pretpostaviti?)
Kada bih tražili da nema rješenja, iskreno, ne bih znala za donju ogradu.


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
Loo
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 11. 06. 2012. (16:02:07)
Postovi: (D0)16
Spol: žensko
Sarma = la pohva - posuda
84 = 85 - 1

PostPostano: 19:03 sub, 7. 2. 2015    Naslov: Citirajte i odgovorite

Funkcija je relacija koja ima funkcijsko svojstvo, dakle za svaku [tex]f\in S[/tex] je [tex]f \subseteq A \times \mathbb{Q}[/tex], pri čemu je [tex]A\subseteq \mathbb{Q}[/tex] domena od [tex]f[/tex].
Kako je [tex]A \times \mathbb{Q} \subseteq \mathbb{Q} \times \mathbb{Q}[/tex] za svaki takav [tex]A[/tex], imamo [tex]f \subseteq \mathbb{Q}\times \mathbb{Q}, \forall f \in S[/tex] (tj. [tex]f\in \mathcal{P}(\mathbb{Q}\times \mathbb{Q})[/tex]).
Dakle [tex]S\subseteq \mathcal{P}(\mathbb{Q}\times \mathbb{Q})[/tex].

A za ovo drugo, ako gledam dobar zadatak, onda bi primjer injekcije iz [tex]\mathbb{R}[/tex] u taj skup bio da proizvoljan [tex]a \in \mathbb{R}[/tex] preslikaš u sustav koji ima (proširenu) matricu
[tex] \begin{bmatrix}
a & a & 0 \\
2a & 2a & 0 \\
3a & 3a & 0
\end{bmatrix}[/tex]

A ako hoćeš da nema rješenja, onda npr u
[tex] \begin{bmatrix}a & a & 1 \\
2a & 2a & 0 \\
3a & 3a & 0
\end{bmatrix}[/tex]

Sustave ne identificiramo s njihovim skupom rješenja, tako da su za različite [tex]a[/tex] ovo različiti sustavi. Istina je da su ekvivalentni za bilo koja dva [tex]a_1, a_2 \neq 0[/tex], ali nisu isti (pričam o ovom prvom slučaju).
Funkcija je relacija koja ima funkcijsko svojstvo, dakle za svaku [tex]f\in S[/tex] je [tex]f \subseteq A \times \mathbb{Q}[/tex], pri čemu je [tex]A\subseteq \mathbb{Q}[/tex] domena od [tex]f[/tex].
Kako je [tex]A \times \mathbb{Q} \subseteq \mathbb{Q} \times \mathbb{Q}[/tex] za svaki takav [tex]A[/tex], imamo [tex]f \subseteq \mathbb{Q}\times \mathbb{Q}, \forall f \in S[/tex] (tj. [tex]f\in \mathcal{P}(\mathbb{Q}\times \mathbb{Q})[/tex]).
Dakle [tex]S\subseteq \mathcal{P}(\mathbb{Q}\times \mathbb{Q})[/tex].

A za ovo drugo, ako gledam dobar zadatak, onda bi primjer injekcije iz [tex]\mathbb{R}[/tex] u taj skup bio da proizvoljan [tex]a \in \mathbb{R}[/tex] preslikaš u sustav koji ima (proširenu) matricu
[tex] \begin{bmatrix}
a & a & 0 \\
2a & 2a & 0 \\
3a & 3a & 0
\end{bmatrix}[/tex]

A ako hoćeš da nema rješenja, onda npr u
[tex] \begin{bmatrix}a & a & 1 \\
2a & 2a & 0 \\
3a & 3a & 0
\end{bmatrix}[/tex]

Sustave ne identificiramo s njihovim skupom rješenja, tako da su za različite [tex]a[/tex] ovo različiti sustavi. Istina je da su ekvivalentni za bilo koja dva [tex]a_1, a_2 \neq 0[/tex], ali nisu isti (pričam o ovom prvom slučaju).


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
mdoko
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 30. 11. 2002. (22:17:12)
Postovi: (71A)16
Spol: muško
Sarma = la pohva - posuda
199 = 237 - 38
Lokacija: Heriot-Watt University, Edinburgh

PostPostano: 4:42 ned, 8. 2. 2015    Naslov: Citirajte i odgovorite

[quote="Loo"]Funkcija je relacija koja ima funkcijsko svojstvo, dakle za svaku [tex]f\in S[/tex] je [tex]f \subseteq A \times \mathbb{Q}[/tex], pri čemu je [tex]A\subseteq \mathbb{Q}[/tex] domena od [tex]f[/tex].
Kako je [tex]A \times \mathbb{Q} \subseteq \mathbb{Q} \times \mathbb{Q}[/tex] za svaki takav [tex]A[/tex], imamo [tex]f \subseteq \mathbb{Q}\times \mathbb{Q}, \forall f \in S[/tex] (tj. [tex]f\in \mathcal{P}(\mathbb{Q}\times \mathbb{Q})[/tex]).
Dakle [tex]S\subseteq \mathcal{P}(\mathbb{Q}\times \mathbb{Q})[/tex].

Pazi, stvarno. :oops: Bijaše malo bolje pogledati...
[quote="Loo"]Funkcija je relacija koja ima funkcijsko svojstvo, dakle za svaku [tex]f\in S[/tex] je [tex]f \subseteq A \times \mathbb{Q}[/tex], pri čemu je [tex]A\subseteq \mathbb{Q}[/tex] domena od [tex]f[/tex].
Kako je [tex]A \times \mathbb{Q} \subseteq \mathbb{Q} \times \mathbb{Q}[/tex] za svaki takav [tex]A[/tex], imamo [tex]f \subseteq \mathbb{Q}\times \mathbb{Q}, \forall f \in S[/tex] (tj. [tex]f\in \mathcal{P}(\mathbb{Q}\times \mathbb{Q})[/tex]).
Dakle [tex]S\subseteq \mathcal{P}(\mathbb{Q}\times \mathbb{Q})[/tex].

Pazi, stvarno. Embarassed Bijaše malo bolje pogledati...



_________________
Extraordinary claims require extraordinary evidence. – Carl Sagan
[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku Posjetite Web stranice
Loo
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 11. 06. 2012. (16:02:07)
Postovi: (D0)16
Spol: žensko
Sarma = la pohva - posuda
84 = 85 - 1

PostPostano: 7:27 ned, 8. 2. 2015    Naslov: Citirajte i odgovorite

Ne vidim u čemu je problem :oops:
U "definiciji" funkcije? U bilježnici iz ts-a mi piše baš ta definicija (mislim, ne piše "funkcijsko svojstvo" naravno), uz komentar da ćemo funkciju poistovjećivati s njenim grafom.
(znam da bi ona zapravo trebala biti uređena trojka domene, kodomene i grafa)
Ne vidim u čemu je problem Embarassed
U "definiciji" funkcije? U bilježnici iz ts-a mi piše baš ta definicija (mislim, ne piše "funkcijsko svojstvo" naravno), uz komentar da ćemo funkciju poistovjećivati s njenim grafom.
(znam da bi ona zapravo trebala biti uređena trojka domene, kodomene i grafa)


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
marsupial
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 09. 01. 2012. (22:46:33)
Postovi: (63)16
Spol: kućni ljubimac
Sarma = la pohva - posuda
= 5 - 1

PostPostano: 11:10 ned, 8. 2. 2015    Naslov: Citirajte i odgovorite

8. zadatak iz 2013 (S prepriječen skup)

Recimo, da za dokaz da je skup svih takvih skupova S neprazan, uzmem recimo S=<-beskonačno,0> x R. (znači ''lijeva polovica'' skupa R u odnosu na ordinatu).
Očito je da je neprazan, otvoren u R^2 (to je dio koji nisam sigurna, ali mislim da je).
E sada, za svake dvije točke (x1,y1), (x2,y2) iz S postoji točka između njih koja je različita od njih, recimo gledamo polovište dužine te dvije točke. (znam, ovo je jako šlampavo rečeno, ali ne znam niti da li je ideja dobra). Znači da je taj S prepriječen. Budući da vrijede sva svojstva, sigurno je taj skup svih prepriječenih neprazan.

(Sada ću pisati samo o svojstvu prepriječenosti)
A kada bi uzela proizvoljan lanac L, i tražila njegovu gornju među (unija Si po i) i kada bih dokazivala prepriječenost, hm, uzmemo neke dvije točke A i B iz te unije. Tada znamo da postoje neki i,j takvi da je recimo A iz Si i B iz Sj. Kako je L lanac BSO uzmemo da je Si podskup od Sj. Budući da za svaki i skup Si je prepriječen, pa je posebno Sj prepriječen. Kako je Si podskup od Sj slijedi da je Si prepriječen.

Što kažete? (opet se ispričavam što je možda malo nečitko)
8. zadatak iz 2013 (S prepriječen skup)

Recimo, da za dokaz da je skup svih takvih skupova S neprazan, uzmem recimo S=<-beskonačno,0> x R. (znači ''lijeva polovica'' skupa R u odnosu na ordinatu).
Očito je da je neprazan, otvoren u R^2 (to je dio koji nisam sigurna, ali mislim da je).
E sada, za svake dvije točke (x1,y1), (x2,y2) iz S postoji točka između njih koja je različita od njih, recimo gledamo polovište dužine te dvije točke. (znam, ovo je jako šlampavo rečeno, ali ne znam niti da li je ideja dobra). Znači da je taj S prepriječen. Budući da vrijede sva svojstva, sigurno je taj skup svih prepriječenih neprazan.

(Sada ću pisati samo o svojstvu prepriječenosti)
A kada bi uzela proizvoljan lanac L, i tražila njegovu gornju među (unija Si po i) i kada bih dokazivala prepriječenost, hm, uzmemo neke dvije točke A i B iz te unije. Tada znamo da postoje neki i,j takvi da je recimo A iz Si i B iz Sj. Kako je L lanac BSO uzmemo da je Si podskup od Sj. Budući da za svaki i skup Si je prepriječen, pa je posebno Sj prepriječen. Kako je Si podskup od Sj slijedi da je Si prepriječen.

Što kažete? (opet se ispričavam što je možda malo nečitko)


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
mdoko
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 30. 11. 2002. (22:17:12)
Postovi: (71A)16
Spol: muško
Sarma = la pohva - posuda
199 = 237 - 38
Lokacija: Heriot-Watt University, Edinburgh

PostPostano: 17:06 ned, 8. 2. 2015    Naslov: Citirajte i odgovorite

[quote="Loo"]Ne vidim u čemu je problem :oops:
U "definiciji" funkcije? U bilježnici iz ts-a mi piše baš ta definicija (mislim, ne piše "funkcijsko svojstvo" naravno), uz komentar da ćemo funkciju poistovjećivati s njenim grafom.
(znam da bi ona zapravo trebala biti uređena trojka domene, kodomene i grafa)[/quote]

Nema problema. [b]Ja[/b] nisam dobro pogledao. :)
Loo (napisa):
Ne vidim u čemu je problem Embarassed
U "definiciji" funkcije? U bilježnici iz ts-a mi piše baš ta definicija (mislim, ne piše "funkcijsko svojstvo" naravno), uz komentar da ćemo funkciju poistovjećivati s njenim grafom.
(znam da bi ona zapravo trebala biti uređena trojka domene, kodomene i grafa)


Nema problema. Ja nisam dobro pogledao. Smile



_________________
Extraordinary claims require extraordinary evidence. – Carl Sagan
[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku Posjetite Web stranice
Prethodni postovi:   
Započnite novu temu   Odgovorite na temu   printer-friendly view    Forum@DeGiorgi: Početna -> Kolegiji 3. godine -> Teorija skupova Vremenska zona: GMT + 01:00.
Stranica 1 / 1.

 
Forum(o)Bir:  
Ne možete otvarati nove teme.
Ne možete odgovarati na postove.
Ne možete uređivati Vaše postove.
Ne možete izbrisati Vaše postove.
Ne možete glasovati u anketama.
You can attach files in this forum
You can download files in this forum


Powered by phpBB © 2001, 2002 phpBB Group
Theme created by Vjacheslav Trushkin
HR (Cro) by Ančica Sečan