Dva limesa (zadatak)

[Mala_022]

Pozdrav svima!

Nakon godina neaktivnosti na Forumu, evo me nazad po pomoć (long live DeGiorgi)
Naišla san na dva zadatka s limesima, a s obziron na to da mi je u međuvrimenu malo zakržlja mozak, zamolila bi koji hint od vas kojima je još friško

1. Neka je , odredi .
Rješenje bi kao tribalo ispasti 1. Ja san ga uspila odozgo ograničiti s 1 koristeći A-G nejednakost, ali za donju granicu mi ništa upotrebljivo ne pada na pamet (tj. sve čega se sitin ima limes u 0, a to mi ne pomaže puno). Tin više mi je sumnjivo šta za različite x-eve dobijen različit limes. Ko je tu lud?

2. Izračunaj .
Za ovo san imala hrpu ideja koje me nisu odvele nigdi. Sigurna san da je nešto preočito, ali ja ne vidin

[ljpalle]

1. Zadatak - Ovdje ocito valja pretpostaviti da je [tex]x > 0[/tex]. Slucaj [tex]x = 0[/tex] je lagan.

Primijetimo da niz mozemo napisati u obliku
[dtex]
L_n (x) = n x \Big( \Big(\prod_{i=1}^{n} (1 + \frac{2^{-i}}{x}) \Big )^{1/n} - 1 \Big).
[/dtex]
i sada standardnim 'trikom' s logaritmom napisemo u obliku
[dtex]
L_n (x) = x \frac{ \exp \Big( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \ln( 1 + \frac{2^{-i}}{x} ) \Big ) - 1 }{ 1/n }.
[/dtex]
Oznacimo niz [tex]S_n (x) = \sum_{i=1}^{n} \ln( 1 + \frac{2^{-i}}{x} ) [/tex] i primijetimo da on konvergira k nekom pozitivnom broju S(x). Sada mozemo zapisati
[dtex]
L_n (x) = x S_n (x) \frac{ \exp \Big( \frac{1}{n} S_n (x) \Big ) - 1 }{ \frac{1}{n} S_n (x) }.
[/dtex]
Iz ovog je sada ocito da je [tex]L(x) = \lim_n L_n(x) = x S(x)[/tex]. Pretpostavljam da se nije mislilo u rjesenju da je [tex]L(x) = 1[/tex] nego vec [tex]\lim_{x \to \infty} L(x) = 1[/tex]. Naime, primijetimo da je
[dtex]
L(x) = \sum_{i=1}^{\infty} \ln( 1 + \frac{2^{-i}}{x} )^{ \Large x}
[/dtex]
te
[dtex]
\lim_{x \to \infty} \ln( 1 + \frac{2^{-i}}{x} )^{ \Large x} = 2^{-i}.
[/dtex]
Iz teorema o dominiranoj konvergenciji mozemo uci s limesom pod sumu pa dobijemo da je [tex]\lim_{x \to \infty} L(x) = \sum_{i=1}^{\infty} 2^{-i} = 1[/tex].


2.Zadatak
Definirajmo funkciju [tex]f(x) = \tan^2 ( \frac{\pi}{2} x )[/tex] i preuredimo dani niz na sljedeci nacin.
[dtex]
L_n = \frac{1}{2^{n+1}} \frac{1}{2^{n-1}} \sum_{r=0}^{2^{n-1}-1} f( \frac{r}{2^{n-1}} )
[/dtex]
Vidimo da je [tex]S_n = \frac{1}{2^{n-1}} \sum_{r=0}^{2^{n-1}-1} f( \frac{r}{2^{n-1}} )[/tex] zapravo gornja medja za Riemannov integral funkcije f na intervalu [tex][0,1 - \frac{1}{2^{n-1}}][/tex] i slicno se moze dobiti donja medja na integral funkcije. Na zalost, ovim razmatranjima nije moguce, koliko se meni cini, na laki nacin dobiti konkretan iznos limesa i nije mi pao na pamet bolji nacin rjesavanja ovog zadatka. Malim racunom se moze dobiti ocjena da je limes u intervalu [tex][\pi^{-2}, 2 \pi^{-2}][/tex], a ako se uzme u obzir konveksnost funkcije [tex]f[/tex], dobije se i bolja ocjena da je limes u intervalu [tex] [\frac{3}{2} \pi^{-2}, 2 \pi^{-2}][/tex].

[Mala_022]

[ljpalle]

[Mala_022]