Search
 
 
  Engleski
 
 
 
Open in this window (click to change)
Forum@DeGiorgi: Početna
Forum za podršku nastavi na PMF-MO
Login Registracija FAQ Smajlići Članstvo Pretražnik Forum@DeGiorgi: Početna

Kolokvij - rješenja i komentari

Moja sarma
 
Započnite novu temu   Odgovorite na temu   printer-friendly view    Forum@DeGiorgi: Početna -> Kolegiji diplomskih i starih studija -> Projektivna geometrija
Prethodna tema :: Sljedeća tema  
Autor/ica Poruka
Juraj Siftar
Gost





PostPostano: 5:34 čet, 23. 2. 2017    Naslov: Kolokvij - rješenja i komentari Citirajte i odgovorite

1. zadatak

(a) Projektivitet φ koji neke tri točke pravca preslikava uzajamno ciklički
(A u B, B u C, C u A) nema fiksnih točaka, dakle eliptički je.
Koordinatno se može izraziti npr. s x' = 1/(1-x), ako se zada A(∞),
B(0), C(1). Budući da projektivitet φ ^3 fiksira A, B i C to je identiteta
(Temeljni teorem) pa onda fiksira svaku točku.
Ovaj zadatak uglavnom je dobro rješavan, a bio je naveden u skupini
sličnih zadataka za vježbu.

(b) Ovaj dio je znatno lošije prošao pa je većina pogrešno zaključila
(iako je metoda obično korektna, ali - sitne pogreške u računu...)
da ne postoji projektivitet koji bi neke točke A, B, C, D preslikao
ciklički u B, C, D, A. Uvjet jednakosti dvoomjera dobro je postavljen,
a taj dvoomjer treba biti jednak 2. Drukčije, može se eksplicitno
izračunati takav projekrtivitet.
Npr. točke ( ∞ ), (0), (1), (2) preslikat će se na navedeni način
projektivitetom x' = 2/(2-x).

2. Ukupno je najlošije prošao zadatak da se dokaže (teorem pokazan
na predavanjima) da je svaka centralna kolineacija (bilo koje
projektivne ravnine) ujedno i osna. Na predavanju je konkretno
dokazana obrnuta tvrdnja, no ta je ujedno i dualna pa u biti nema
razlike. Neću ovdje raspisivati - može se svakako pogledati u
bilješkama s predavanja. (Dokaz je lagan, čisto geometrijski i ovo
je mišljeno kao "poklon" zadatak - uz uvjet upućenosti u predavanja
ili snalažljivost i bez predavanja).

3. Uglavnom dosta dobro rješavan zadatak, o konici kroz 5 točaka
proširene euklidske ravnine pri čemu su 4 točke vrhovi kvadrata,
a peta je zadana na određeni način (koji se može ostvariti tako da
peta točka bude izvan ili unutar kvadrata).
Tražene tangente najlakše se konstruiraju standardnom primjenom
Pascalovog teorema (primjeri s predavanja). Tangenta u petoj točki
svakako je paralelna s dvjema stranicama kvadrata (ta točka je
tjeme konike, iz razloga simetrije).

Jednadžba konike nije problem, može se prvo odrediti projektivna
u homogenim koordinatama pa pretvoriti u afinu ili obrnuto.
Očito je to elipsa ako je peta točka izvan kvadrata, a hiperbola ako je
ta točka unutar kvadrata.

4. Zadatak o projektivnoj varijanti (poopćenju) "Teorema o leptiru".
Nije lagan, ali dane su detaljne upute kako ga riješiti - ako se pravilno
formulira sama tvrdnja.
Umjesto kružnice - bilo koja (nesingularna) konika.
Naravno, umjesto polovišta tetive u projektivnoj varijanti pojavit će
se harmonitet.
Tvrdnja se onda može iskazati npr. ovako. Neka su AB, CD i PQ
tetive nesingularne konike, takve da se AB i CD sijeku u točki M
tetive PQ. Neka su S i T sjecišta tetiva AD i BC s pravcem PQ.
Ako za točku N pravca PQ vrijedi H(MN, PQ), onda vrijedi i H(MN,ST).

Za dokaz primijenimo Desarguesov teorem o involuciji na pramen
konika određen četverovrhom ABCD. Tom pramenu pripada zadana
nesingularna konika, a također i singularne konike AB*CD i AD*BC.
Primjenom na pravac PQ i njegova sjecišta sa (svim) konikama
naznačenog pramena, Desarguesov teorem govori da su sjecišta
pravca PQ s konikama pramena parovi pridruženih točkaka u jednom
involutornom projektivitetu. Ovdje je M dvostruko sjecište pa je
to fiksna točka involucije, ali onda mora postojati još jedna - neka je to N.
Tada su M i N fiksne točke, a P i Q, odnosno S i T, parovi sjecišta.
U involuciji s fiksnim točkama F1 i F2 za svaki par pridruženih točaka
vrijedi H(F1,F2;X,X') pa se to ovdje primijeni.

"Dodatni" zadatak (za ekstra bodove) - cjelovito rješenje problema
(određivanje grupe projektivnih transformacija ravnine koje neku
nesingularnu koniku ostavljanju invarijantnom) bilo bi vrlo teško ako
se nešto o tome nije unaprijed pročitalo, ali zapravo tražilo se znatno
manje: algebarski opis uvjeta (relacija među matricama) i konkretan
račun za jednu jednostavnu koniku.
Projektivna transformacija zadana matricom P ostavlja koniku zadanu
jednadžbom X^t A X = 0 (A simetrična matrica) invarijantnom, ako
vrijedi P^(t) A P = kA za neki k različit od 0. (Iz determinante se
vidi da k zapravo treba biti pozitivan, a onda se može uzeti matrica
Q = (1/sqrt(k)) P kako bi se uvjet napisao u obliku Q^t A Q = A).

Konkretno izračunavanje svih Q već ni za slučaj A = diag(-1,1,1) nije
lagano ako se pristupa "izravno računski".
Korisno je svojstvo (navedeno u jednom rješenju) da harmoničke
homologije kojima su centar i os međusobno pridruženi u polaritetu
konike ostavljaju koniku invarijantnom. (To je, dakako, zrcaljenje
gledano u terminima euklidske ravnine). Ta tvrdnja bila je među
zadacima za vježbu.
Uglavnom, nešto tih "ekstra bodova" dodijeljeno je u skladu s
učinjenim prema navedenim "smjernicama".
1. zadatak

(a) Projektivitet φ koji neke tri točke pravca preslikava uzajamno ciklički
(A u B, B u C, C u A) nema fiksnih točaka, dakle eliptički je.
Koordinatno se može izraziti npr. s x' = 1/(1-x), ako se zada A(∞),
B(0), C(1). Budući da projektivitet φ ^3 fiksira A, B i C to je identiteta
(Temeljni teorem) pa onda fiksira svaku točku.
Ovaj zadatak uglavnom je dobro rješavan, a bio je naveden u skupini
sličnih zadataka za vježbu.

(b) Ovaj dio je znatno lošije prošao pa je većina pogrešno zaključila
(iako je metoda obično korektna, ali - sitne pogreške u računu...)
da ne postoji projektivitet koji bi neke točke A, B, C, D preslikao
ciklički u B, C, D, A. Uvjet jednakosti dvoomjera dobro je postavljen,
a taj dvoomjer treba biti jednak 2. Drukčije, može se eksplicitno
izračunati takav projekrtivitet.
Npr. točke ( ∞ ), (0), (1), (2) preslikat će se na navedeni način
projektivitetom x' = 2/(2-x).

2. Ukupno je najlošije prošao zadatak da se dokaže (teorem pokazan
na predavanjima) da je svaka centralna kolineacija (bilo koje
projektivne ravnine) ujedno i osna. Na predavanju je konkretno
dokazana obrnuta tvrdnja, no ta je ujedno i dualna pa u biti nema
razlike. Neću ovdje raspisivati - može se svakako pogledati u
bilješkama s predavanja. (Dokaz je lagan, čisto geometrijski i ovo
je mišljeno kao "poklon" zadatak - uz uvjet upućenosti u predavanja
ili snalažljivost i bez predavanja).

3. Uglavnom dosta dobro rješavan zadatak, o konici kroz 5 točaka
proširene euklidske ravnine pri čemu su 4 točke vrhovi kvadrata,
a peta je zadana na određeni način (koji se može ostvariti tako da
peta točka bude izvan ili unutar kvadrata).
Tražene tangente najlakše se konstruiraju standardnom primjenom
Pascalovog teorema (primjeri s predavanja). Tangenta u petoj točki
svakako je paralelna s dvjema stranicama kvadrata (ta točka je
tjeme konike, iz razloga simetrije).

Jednadžba konike nije problem, može se prvo odrediti projektivna
u homogenim koordinatama pa pretvoriti u afinu ili obrnuto.
Očito je to elipsa ako je peta točka izvan kvadrata, a hiperbola ako je
ta točka unutar kvadrata.

4. Zadatak o projektivnoj varijanti (poopćenju) "Teorema o leptiru".
Nije lagan, ali dane su detaljne upute kako ga riješiti - ako se pravilno
formulira sama tvrdnja.
Umjesto kružnice - bilo koja (nesingularna) konika.
Naravno, umjesto polovišta tetive u projektivnoj varijanti pojavit će
se harmonitet.
Tvrdnja se onda može iskazati npr. ovako. Neka su AB, CD i PQ
tetive nesingularne konike, takve da se AB i CD sijeku u točki M
tetive PQ. Neka su S i T sjecišta tetiva AD i BC s pravcem PQ.
Ako za točku N pravca PQ vrijedi H(MN, PQ), onda vrijedi i H(MN,ST).

Za dokaz primijenimo Desarguesov teorem o involuciji na pramen
konika određen četverovrhom ABCD. Tom pramenu pripada zadana
nesingularna konika, a također i singularne konike AB*CD i AD*BC.
Primjenom na pravac PQ i njegova sjecišta sa (svim) konikama
naznačenog pramena, Desarguesov teorem govori da su sjecišta
pravca PQ s konikama pramena parovi pridruženih točkaka u jednom
involutornom projektivitetu. Ovdje je M dvostruko sjecište pa je
to fiksna točka involucije, ali onda mora postojati još jedna - neka je to N.
Tada su M i N fiksne točke, a P i Q, odnosno S i T, parovi sjecišta.
U involuciji s fiksnim točkama F1 i F2 za svaki par pridruženih točaka
vrijedi H(F1,F2;X,X') pa se to ovdje primijeni.

"Dodatni" zadatak (za ekstra bodove) - cjelovito rješenje problema
(određivanje grupe projektivnih transformacija ravnine koje neku
nesingularnu koniku ostavljanju invarijantnom) bilo bi vrlo teško ako
se nešto o tome nije unaprijed pročitalo, ali zapravo tražilo se znatno
manje: algebarski opis uvjeta (relacija među matricama) i konkretan
račun za jednu jednostavnu koniku.
Projektivna transformacija zadana matricom P ostavlja koniku zadanu
jednadžbom X^t A X = 0 (A simetrična matrica) invarijantnom, ako
vrijedi P^(t) A P = kA za neki k različit od 0. (Iz determinante se
vidi da k zapravo treba biti pozitivan, a onda se može uzeti matrica
Q = (1/sqrt(k)) P kako bi se uvjet napisao u obliku Q^t A Q = A).

Konkretno izračunavanje svih Q već ni za slučaj A = diag(-1,1,1) nije
lagano ako se pristupa "izravno računski".
Korisno je svojstvo (navedeno u jednom rješenju) da harmoničke
homologije kojima su centar i os međusobno pridruženi u polaritetu
konike ostavljaju koniku invarijantnom. (To je, dakako, zrcaljenje
gledano u terminima euklidske ravnine). Ta tvrdnja bila je među
zadacima za vježbu.
Uglavnom, nešto tih "ekstra bodova" dodijeljeno je u skladu s
učinjenim prema navedenim "smjernicama".


[Vrh]
Prethodni postovi:   
Započnite novu temu   Odgovorite na temu   printer-friendly view    Forum@DeGiorgi: Početna -> Kolegiji diplomskih i starih studija -> Projektivna geometrija Vremenska zona: GMT + 01:00.
Stranica 1 / 1.

 
Forum(o)Bir:  
Možete otvarati nove teme.
Možete odgovarati na postove.
Ne možete uređivati Vaše postove.
Ne možete izbrisati Vaše postove.
Ne možete glasovati u anketama.
You cannot attach files in this forum
You cannot download files in this forum


Powered by phpBB © 2001, 2002 phpBB Group
Theme created by Vjacheslav Trushkin
HR (Cro) by Ančica Sečan