Neki primjeri i objašnjenja (2)

[Juraj Siftar]

Ovdje ćemo pokazati da za četiri kolinearne točke
A,B,C.D vrijedi H(AB,CD) ako i samo ako je dvoomjer
R(AB,CD) = -1.

(Bilo je to zadano za vježbu i isticano više puta, ali sad
ćemo ipak to i izračunati, na dva od mogućih načina,
različita samo po tome od koje se definicije polazi i
kako se izabiru koordinate početnih točaka da bi
račun bio što jednostavniji, a bez gubitka općenitosti).

Napomena: za jedan elegantan način dokazivanja koji ćemo
izvesti kasnije bit će potrebno naučiti da je dvoomjer
invarijanta projektiviteta i da postoji projektivitet koji
točke A,B,C,D preslikava u A, B, D, C, ako vrijedi
H(AB,CD). Budući da za dvoomjer općenito vrijedi
da su R(AB,CD) i R(AB,DC) recipročni realni brojevi,
a različiti od 1, slijedit će da je R(AB,CD) = R(AB,DC)
i stoga x = 1/x te x = -1.

Prva varijanta dokaza:

Uzmimo A(1:0:0) i B(0:1:0) te C(1:c:0)
(zapravo bi se odmah moglo uzeti C(1:1:0), ali nije bitno).
Sad, po prvoj definiciji točke D harmonički konjugirane
točki C s obzirom na A i B, treba nam četverovrh ABNM
kojem je C dijagonalna točka (sjecište AB i MN).

Zato trebamo "izaći" s pravca AB u ravninu te za drugu
dijagonalnu točku P možemo izabrati koordinate (0:0:1).
P će biti sjecište AM i BN pa se lako izračunaju
koordinate oblika M(1 : 0 : -cn) i N(0:1:n).

Dalje dobivamo treću dijagonalnu točku Q kao sjecište
AN i BM, a to je Q (1: -c : -cn).
Konačno, D je sjecište AB i PQ, a to je (1: -c : 0).

Lako izračunamo R(AB,CD) = -1

(sve točke na ovom pravcu imaju x2=0 pa jednostavno
"zanemarimo" treću koordinatu kako bismo imali
homogene koordinate na tom pravcu:
A(1:0), B(0:1), C(1:c), D(1 : -c).)


Druga varijanta dokaza:

Polazimo od druge (ekvivalentne, dakako) definicije
harmonički pridruženih točaka s obzirom na točke
A i B.
Sada je MNPQ početni četverovrh, kojem su A i B
dvije dijagonalne točke, a C i D su sjecišta pravca AB
sa stranicama MN i PQ.

Možemo izabrati M(1:0:0), N(0:1:0), P(0:0:1) i Q(1:1:1).
Onda se lako dobiva A(1:0:1), B(0:1:1), C(1:-1:0) i
D(1:1:2). (Važno: ovdje radimo nad poljem karakteristike
različite od 2).

Sad jednadžba pravca AB nije jednostavno x2 = 0 kao u
prvoj varijanti, nego x0 + x1 - x2 = 0,
ali očito je C = A - B, D = A + B pa lako dobivamo
dvoomjer jednak -1.

Pokazali smo da iz relacije harmoniteta slijedi vrijednost
-1 za dvoomjer, a obratna tvrdnja slijedi odatle što
dvoomjer R(AB,CX) jednoznačno određuje točku X
na pravcu AB ( na kojem je i C).
(v. "Neki primjeri i objašnjenja (1)).