|
Ovdje su zadaci s jučerašnjeg kolokvija.
Kasnije kroz dan objavit ću rješenja i komentare
o načinu rješavanja.
1. Formulirajte tvrdnju za realnu projektivnu ravninu iz koje se
kao posebni slučaj dobiva poznata propozicija u euklidskoj ravnini:
Polovišta bilo kojeg četverokuta vrhovi su paralelograma, čiji su
parovi paralelnih stranica paralelni s dijagonalama početnog četverovrha.
Dokažite tu tvrdnju u projektivnoj ravnini.
2. Neka su A1B1C1 i A2B2C2 dva centralno perspektivna trovrha
s centrom perspektiviteta u točki S
te neka su točke K, L i M redom sjecišta
parova stranica A1B1 i A2B2, B1C1 i B2C2 te C1A1 i C2A2.
Označimo s X, Y i Z točke takve da vrijedi H(A1A2, SX), H(B1B2, SY)
i H(C1C2, SZ).
Dokažite da su K, L, M, X, Y i Z vrhovi jednog potpunog četverostrana.
3. U ravnini PG(2,R) zadan je trovrh ABC te točke S1 i S2 na pravcu AB,
obje različite od A i B. Preslikavanje φ skupa točaka pravca AC na sebe
zadano je ovako: Za točku X na AC neka je Y sjecište pravaca BC i S1X,
a X' sjecište AC i S2Y. Tada je φ(X) = X'.
(i) U pogodno uvedenoj koordinatizaciji izvedite jednadžbu preslikavanja
φ. (Povoljno je uzeti A i B za neke od osnovnih točaka, kako bi položaj
točaka S1 i S2 došao do izražaja u jednadžbi za φ. Ta jednadžba može
se napisati za homogene ili nehomogene koordinate na pravcu AC).
(ii) Je li moguće izabrati položaj S1 i S2 tako da vrijedi H(AC,XX') za
svaku točku X na AC, različitu od A i C?
(iii) Za kakve sve položaje S1 i S2 vrijedi da je φ involutorno, to jest da je
φ ◦ φ identiteta?
4. Neka su A, B, C, D i P različite kolinearne točke takve da vrijedi
H(AB,PC) i H(BC,PD). Izračunajte dvoomjer R(A,B;P,D).
5. (Bonus zadatak: donosi najviše 7 bodova, povrh 35 bodova koliko
ukupno najviše mogu donijeti zadaci 1.- 4.)
Uz pretpostavke 4. zadatka, ispitajte je li od točaka A, B, C, D i P
na još neki način, osim zadana dva, moguće izabrati 4 točke
koje (u nekom redoslijedu) čine harmoničku četvorku.
Ovdje su zadaci s jučerašnjeg kolokvija.
Kasnije kroz dan objavit ću rješenja i komentare
o načinu rješavanja.
1. Formulirajte tvrdnju za realnu projektivnu ravninu iz koje se
kao posebni slučaj dobiva poznata propozicija u euklidskoj ravnini:
Polovišta bilo kojeg četverokuta vrhovi su paralelograma, čiji su
parovi paralelnih stranica paralelni s dijagonalama početnog četverovrha.
Dokažite tu tvrdnju u projektivnoj ravnini.
2. Neka su A1B1C1 i A2B2C2 dva centralno perspektivna trovrha
s centrom perspektiviteta u točki S
te neka su točke K, L i M redom sjecišta
parova stranica A1B1 i A2B2, B1C1 i B2C2 te C1A1 i C2A2.
Označimo s X, Y i Z točke takve da vrijedi H(A1A2, SX), H(B1B2, SY)
i H(C1C2, SZ).
Dokažite da su K, L, M, X, Y i Z vrhovi jednog potpunog četverostrana.
3. U ravnini PG(2,R) zadan je trovrh ABC te točke S1 i S2 na pravcu AB,
obje različite od A i B. Preslikavanje φ skupa točaka pravca AC na sebe
zadano je ovako: Za točku X na AC neka je Y sjecište pravaca BC i S1X,
a X' sjecište AC i S2Y. Tada je φ(X) = X'.
(i) U pogodno uvedenoj koordinatizaciji izvedite jednadžbu preslikavanja
φ. (Povoljno je uzeti A i B za neke od osnovnih točaka, kako bi položaj
točaka S1 i S2 došao do izražaja u jednadžbi za φ. Ta jednadžba može
se napisati za homogene ili nehomogene koordinate na pravcu AC).
(ii) Je li moguće izabrati položaj S1 i S2 tako da vrijedi H(AC,XX') za
svaku točku X na AC, različitu od A i C?
(iii) Za kakve sve položaje S1 i S2 vrijedi da je φ involutorno, to jest da je
φ ◦ φ identiteta?
4. Neka su A, B, C, D i P različite kolinearne točke takve da vrijedi
H(AB,PC) i H(BC,PD). Izračunajte dvoomjer R(A,B;P,D).
5. (Bonus zadatak: donosi najviše 7 bodova, povrh 35 bodova koliko
ukupno najviše mogu donijeti zadaci 1.- 4.)
Uz pretpostavke 4. zadatka, ispitajte je li od točaka A, B, C, D i P
na još neki način, osim zadana dva, moguće izabrati 4 točke
koje (u nekom redoslijedu) čine harmoničku četvorku.
|
