Search
 
 
  Engleski
 
 
 
Open in this window (click to change)
Forum@DeGiorgi: Početna
Forum za podršku nastavi na PMF-MO
Login Registracija FAQ Smajlići Članstvo Pretražnik Forum@DeGiorgi: Početna

Formula za dvoomjer četvorke pravaca

Moja sarma
 
Započnite novu temu   Odgovorite na temu   printer-friendly view    Forum@DeGiorgi: Početna -> Kolegiji diplomskih i starih studija -> Projektivna geometrija
Prethodna tema :: Sljedeća tema  
Autor/ica Poruka
Juraj Siftar
Gost





PostPostano: 20:37 sri, 24. 1. 2018    Naslov: Formula za dvoomjer četvorke pravaca Citirajte i odgovorite

Na predavanju je navedena, a kasnije i primijenjena za
dokaz važnog teorema, formula za dvoomjer četvorke pravaca
koja nije dokazana.
(U knjizi D. Palmana "Projektivna geometrija" to je Zadatak 42.
na str. 157, glavna primjena je u dokazu Steinerovog teorema
na str. 178).

Ovdje ću navesti skicu dokaza. Taj nije sasvim lagan ako
se računu ne pristupi na pravi način pa je radi potpunosti
ipak bolje ne preskočiti izvod.

Tvrdnja: Neka su X, A, B, C i D točke u projektivnoj
ravnini PG(2,[b]R[/b]), takve da su nikoje tri od njih
nisu kolinearne. Pritom je svaka od točaka zadana svojim
homogenim koordinatama: X = (x0:x1:x2) i analogno
ostale.
Označimo s det([b]x[/b],[b]a[/b],[b]c[/b]) determinantu 3. reda
čiji su retci redom
x0 x1 x2,
a0 a1 a2,
c0 c1 c2 (analogno za ostale trojke).

Tada je dvoomjer četvorke pravaca R(XA,XB;XC,XD) =

( det([b]x[/b],[b]a[/b],[b]c[/b])) / det([b]x[/b],[b]b[/b],[b]c[/b]) ):

( det([b]x[/b],[b]a[/b],[b]d[/b])) / det([b]x[/b],[b]b[/b],[b]d[/b])).

Struktura formule je "prepoznatljiva", ali dosad nismo imali
baš takav oblik s determinantama reda 3.
Uočimo da su sve navedene determinante
različite od 0 zbog uvjeta nekolinearnosti po 3 točke.

Izračunat ćemo traženi dvoomjer kao dvoomjer presječne
četvorke točaka: R(A,B; C',D') pri čemu su C' i D' sjecišta
pravca AB s XC, odnosno XD.

U parametrizaciji na pravcu AB, točke A i B imaju
homogene koordinate (1:0) i (0:1), dakle trebamo izraziti
C' i D' kao linearne kombinacije A i B.
Sad se sve može lako izvesti pomoću vektorsko-vektorskog
produkta i poznatih formula za njegov rastav.

Kako je C' sjecište AB i XC, možemo vektor homogenih
koordinata od C' izraziti kao [b]c'[/b] = ([b]a[/b] x [b]b[/b]) x ([b]x[/b] x [b]c[/b]),

jer je det ([b]a[/b],[b]b[/b],[b]c'[/b]) = det ([b]x[/b],[b]c[/b],[b]c'[/b]) = 0 pa je [b]c'[/b] ortogonalan
i na [b]a[/b] x [b]b[/b] i na [b]x[/b] x [b]c[/b].

(Ovo je ključni korak. Determinante su jednake 0, dakako,
zbog kolinearnosti odgovarajućih točaka).

Rastavom vektorsko-vektorskog produkta po poznatoj formuli
dobivamo:

[b]c[/b]' = det ([b]x[/b],[b]b[/b],[b]c[/b]) [b]a[/b] + det([b]x[/b],[b]a[/b],[b]c[/b]) [b]b[/b]
i analogno sve za [b]d'[/b] (samo se [b]c[/b] zamijeni s [b]d[/b]).

(U ovom računu determinante se pojavljuju kao "mješoviti"
produkti, vektorsko-skalarni ([b]x[/b] x [b]a[/b])[b]c[/b] itd).

Preostaje samo uvrstiti homogene koordinate u osnovnu
formulu za dvoomjer pa se lako dobije tražena formula.
Na predavanju je navedena, a kasnije i primijenjena za
dokaz važnog teorema, formula za dvoomjer četvorke pravaca
koja nije dokazana.
(U knjizi D. Palmana "Projektivna geometrija" to je Zadatak 42.
na str. 157, glavna primjena je u dokazu Steinerovog teorema
na str. 178).

Ovdje ću navesti skicu dokaza. Taj nije sasvim lagan ako
se računu ne pristupi na pravi način pa je radi potpunosti
ipak bolje ne preskočiti izvod.

Tvrdnja: Neka su X, A, B, C i D točke u projektivnoj
ravnini PG(2,R), takve da su nikoje tri od njih
nisu kolinearne. Pritom je svaka od točaka zadana svojim
homogenim koordinatama: X = (x0:x1:x2) i analogno
ostale.
Označimo s det(x,a,c) determinantu 3. reda
čiji su retci redom
x0 x1 x2,
a0 a1 a2,
c0 c1 c2 (analogno za ostale trojke).

Tada je dvoomjer četvorke pravaca R(XA,XB;XC,XD) =

( det(x,a,c)) / det(x,b,c) ):

( det(x,a,d)) / det(x,b,d)).

Struktura formule je "prepoznatljiva", ali dosad nismo imali
baš takav oblik s determinantama reda 3.
Uočimo da su sve navedene determinante
različite od 0 zbog uvjeta nekolinearnosti po 3 točke.

Izračunat ćemo traženi dvoomjer kao dvoomjer presječne
četvorke točaka: R(A,B; C',D') pri čemu su C' i D' sjecišta
pravca AB s XC, odnosno XD.

U parametrizaciji na pravcu AB, točke A i B imaju
homogene koordinate (1:0) i (0:1), dakle trebamo izraziti
C' i D' kao linearne kombinacije A i B.
Sad se sve može lako izvesti pomoću vektorsko-vektorskog
produkta i poznatih formula za njegov rastav.

Kako je C' sjecište AB i XC, možemo vektor homogenih
koordinata od C' izraziti kao c' = (a x b) x (x x c),

jer je det (a,b,c') = det (x,c,c') = 0 pa je c' ortogonalan
i na a x b i na x x c.

(Ovo je ključni korak. Determinante su jednake 0, dakako,
zbog kolinearnosti odgovarajućih točaka).

Rastavom vektorsko-vektorskog produkta po poznatoj formuli
dobivamo:

c' = det (x,b,c) a + det(x,a,c) b
i analogno sve za d' (samo se c zamijeni s d).

(U ovom računu determinante se pojavljuju kao "mješoviti"
produkti, vektorsko-skalarni (x x a)c itd).

Preostaje samo uvrstiti homogene koordinate u osnovnu
formulu za dvoomjer pa se lako dobije tražena formula.


[Vrh]
Prethodni postovi:   
Započnite novu temu   Odgovorite na temu   printer-friendly view    Forum@DeGiorgi: Početna -> Kolegiji diplomskih i starih studija -> Projektivna geometrija Vremenska zona: GMT + 01:00.
Stranica 1 / 1.

 
Forum(o)Bir:  
Možete otvarati nove teme.
Možete odgovarati na postove.
Ne možete uređivati Vaše postove.
Ne možete izbrisati Vaše postove.
Ne možete glasovati u anketama.
You cannot attach files in this forum
You cannot download files in this forum


Powered by phpBB © 2001, 2002 phpBB Group
Theme created by Vjacheslav Trushkin
HR (Cro) by Ančica Sečan