U ovoj dopuni gradiva navest ću dokaze i neka tumačenja
za koja nije bilo vremena na predavanjima.
[b]Pramen konika i Desarguesov teorem o involuciji[/b]
[i]Pramen konika [/i]je skup svih konika (nesingularnih i singularnih)
koje prolaze kroz vrhove jednog četverovrha,
dakle kroz 4 točke od kojih po 3 nisu kolinearne.
Singularnih konika pramena ima 3 i to su 3 para suprotnih
stranica četverovrha.
Označimo temeljne točke pramena s P, Q, R i S.
Singularne konike pramena tada su PQ U RS, PR U QS i PS U QR.
Ako temeljni koordinatni četverovrh izaberemo npr. tako da su
točke, P, Q, R i S redom (1:0:0), (0:1:0), (0:0:1) i (1:1:1),
onda svaka konika pramena kroz P, Q, R i S ima jednadžbu
oblika a01 x0 x1 + a12 x1 x2 + a02 x0 x2 = 0, pri čemu je
a01 + a12 + a02 = 0.
Singularne konike pramena su, redom:
x2 ( x0 - x1) = 0 , x1 ( x0 - x2) = 0 i x0 ( x1 - x2) = 0.
Lako se vidi da se jednadžba svake konike pramena
može napisati kao linearna kombinacija bilo kojih dviju konika
pramena, uključujući singularne konike.
Gledano u koordinatama, pramen konika je 1-parametarska
familija konika, jer konika je određena s 5 točaka
u općem položaju (ili, posebno, sa 4 točke i tangentom
u jednoj od njih ili s 3 točke i tangentama u dvjema od njih).
Izbor četiri točke ostavlja jedan slobodan parametar.
Uzmimo jednostavan primjer ''iz škole'', koji će nam biti
koristan i kasnije.
Kod analiziranja kvadratne funkcije promatra se familija
funkcija oblika
y = a x^2 + bx + c, pri čemu a nije 0.
Graf svake od ovih funkcija je parabola,
projektivno gledano konika koja tangira “neizmjerno daleki pravac”
i to u točki koja pripada osi y, dakle pravac x0 = 0 je svima njima
tangenta i to u točki (0:0:1) (jer im je os paralelna s y-osi).
(Za vježbu nije loše odrediti opću jednadžbu takvih konika u
projektivnim koordinatama pa onda prijelazom na afine
vidjeti da im je jednadžba doista navedenog oblika).
Naravno, ova familija konika je 3-parametarska
(dva “elementa” su izabrana, tangenta i diralište,
a tri slobodna parametra su a, b i c).
Kako bismo dobili pramen konika (1-parametarsku familiju)
možemo izabrati još neke dvije točke kroz koje bi
prolazile promatrane konike (ali ne smiju obje biti na y-osi).
Recimo, ako izaberemo točke (1,1) i (-1,2), dobit ćemo pramen
y = a x^2 - x/2 + (3/2 – a).
Drukčije, možemo uzeti npr. sve parabole iz
te familije kojima je x-os tangenta u ishodištu pa ćemo
dobiti pramen jednostavne jednadžbe y = a x^2 .
Taj pramen, određen dvjema tangentama s diralištima, bit će nam
kasnije koristan za ilustraciju Desarguesova teorema o involuciji.
Postoje mnoga zanimljiva svojstva povezana s pramenom konika,
a ovdje ćemo se usredotočiti samo na najstariji i najpoznatiji teorem –
[i]Desarguesov teorem o involuciji[/i].
[b]Teorem.[/b]
[i]Pravac koji ne prolazi nijednom od temeljnih točaka pramena
konika siječe konike iz tog pramena u parovima pridruženih točaka
jednog involutornog projektiviteta. [/i]
Uočimo najprije da pravac ne siječe svaku koniku pramena
(barem ne u realnim točkama, a zasad ne uzimamo u obzir
“kompleksna sjecišta”, koja međutim također imaju važnu ulogu
ako se gleda na taj način),
ali da svakom točkom pravca prolazi neka konika pramena
(ta točka i temeljna četvorka određuju koniku).
Prisjetimo se još pojma presječne šestorke potpunog četverovrha
i činjenice da 3 para suprotnih stranica tog četverovrha
sijeku bilo koji pravac (različit od tih stranica) u tri para pridruženih
točaka jednog involutornog projektiviteta.
Naravno, taj projektivitet je onaj isti koji se spominje u gornjem
teoremu, a temeljni četverovrh pramena i pripadne tri singularne
konike čine potpuni četverovrhu čija presječna šestorka
na određenom pravcu predstavlja “mali dio” od svega
tri para pridruženih točaka.
[i]Prvi dokaz (sintetički, samo pomoću projektiviteta)[/i]:
Neka su (još uvijek) temeljne točke pramena označene
s P, Q, R i S, te neka pravac [i]d[/i] siječe jednu nesingularnu koniku[i] C [/i]
pramena u točkama X i Y.
Uzmimo P i Q za vrhove pramenova pravaca među kojima je
uspostavljen projektivitet tako da se pridruženi pravci sijeku u točkama
konike [i]C[/i]
(poznati nam Steinerov teorem). Imamo projektivitet:
PR, PS, PX, PY -^- QR, QS, QX, QY.
Presijecanje projektivnih pramenova pravcem [i]d[/i] zadaje
projektivitet nizova točaka tog pravca.
Označimo sjecišta PR, PS, QR i QS s pravcem [i]d[/i] redom s
T, U, V i W. Tada imamo projektivitet:
T, U, X, Y -^- V, W, X, Y.
Poznato je da postoji projektivitet koji, općenito, točke K, L, M, N
na pravcu preslikava redom u L. K, N, M.
Primjenom tog projektiviteta na V, W, X i Y
dobivamo, u kompoziciji, T, U, X, Y -^- W, V, Y, X.
Ovo je sad projektivitet na pravcu [i]d[/i] koji je involutoran
zato što postoji jedan par točaka koji se preslikava uzajamno
(znamo da je to dovoljno da bi se svaki par pridruženih
točaka prelikavao uzajamno).
Nadalje, involutorni projektivitet potpuno je određen s dva para
uzajamno pridruženih točaka, a to su ovdje T i W, odnosno U i V.
Ove točke ovise samo o temeljnom četverovrhu i izboru pravca [i]d[/i],
a ne o izboru konike [i]C[/i] (čije su nam točke X I Y bile
ključne za izvod ove tvrdnje). Dakle, sjecišta bilo koje konike
pramena i pravca [i]d [/i]bit će pridružene točke u involuciji
(T,W)(U,V) na pravcu [i]d[/i].
Time je teorem dokazan. Uočimo još da konika pramena
može dirati određeni pravac. a to diralište je pritom fiksna točka
involucije. Kako involucija može imati ili dvije fiksne točke
ili nijednu, vidimo da za pojedini pravac mogu postojati
ili dvije ili nijedna konika pramena koje ga tangiraju.
Analitički dokaz – najprije primjer “iz škole”
Vratimo se na familiju y = a x^2 + bx + c, koja jest 3-parametarska,
ali privremeno to zanemarimo, kako bismo promatrali jako poznatu stvar:
rješavanje kvadratne jednadžbe.
Parabole iz ove familije presijecimo pravcem y=0, dakle x-osi.
Sjecišta su rješenja kvadratne jednadžbe ax^2 + bx + c = 0.
Označimo ih s x' , x'' (samo da se uobičajene oznake x1 , x2
ne bi miješale s homogenim koordinatama).
Vrijede Vietine formule: x' + x'' = -b/a, x' x'' = c/a.
Relacija između x' i x'' koju odavde možemo dobiti očito je oblika
karakterističnog za involutorni projektivitet:
Iz c ( x' + x'' ) = -b x' x'' slijedi (bx' + c) x'' = -c x' , odakle
x'' = -c x' /(bx' + c).
(Podsjetimo se, za involutornost je karakteristično da su
koeficijent uz x' u brojniku i slobodni koeficijjent u nazivniku
suprotni brojevi).
Dakle, rješenja kvadratne jednadžbe zapravo su pridruženi
parovi u involuciji na x-osi. Jasno, tu bi trebalo uzeti 1-parametarsku
familiju, prikladnim izborom koeficijenata (mogući su različiti
posebni slučajevi, ali smisao je isti).
Za pramen y = a x^2 mogli bismo izabrati npr. presječni pravac
y = k , k>0 pa bismo za vrijednosti a > 0 dobivali parove sjecišta
x', x'' = ± sqrt (k/a), simetrične s obzirom na y-os.
[i]Analitički dokaz[/i] –
možemo provesti bez posebnog izbora koordonata za
temeljne točke pramena (naporno) ili na različite načine,
ali bez gubitka općenitosti, izabrati pogodne koordinate.
Pritom vodimo računa i o izboru pravca kojim će se presjeći pramen.
Želimo li da to bude npr. x0 = 0, kako bismo što lakše
izrazili involuciju na njemu, nijedna od temeljnih točaka
pramena ne smije biti s njim incidentna, čime otpadaju
koordinate (0:1:0) i (0:0:1) za temeljne točke.
No, lako se vidi da uz preostale uobičajene točke, a
to su (1:0:0) i (1:1:1) možemo uzeti (1:0:1) i (1:1:0) za temeljne
točke pramena.
Za singularne konike ovog pramena možemo izabrati (dvije od tri)
x2 ( x0 - x2) = 0 i ( x1 - x2)( x0 - x1 - x2) = 0
tako da opći oblik jednadžbe konike iz pramena izgleda ovako:
λ x2 ( x0 - x2) = 0 + μ ( x1 - x2)( x0 - x1 - x2) = 0.
Sjecišta s pravcem x0 = 0 određena su uvjetom
μ x1^ 2 = ( μ - λ ) x 2^2
odakle vidimo da omjer x1 / x2 poprima dvije uzajamno
suprotne vrijednosti
(kad god to ima smisla, što lako diskutiramo po vrijednostima μ i – λ).
Dakle, opet imamo jednostavnu involutornu relaciju,
za nehomogene koordinate x', x'' = ± sqrt (μ / μ - λ),
oblika x'' = - x'.
Za pojedinu koniku iz pramena bitan je parametar λ/ μ, odnosno za μ = 0
to je singularna konika x2 ( x0 - x2) = 0 s dvostrukim sjecištem
(0:1:0) , nehomogene koordiate 0.
Singularna konika ( x1 - x2)( x0 - x1 - x2) = 0 ima sjecišta
(0:1:1) i (0:1:-1) tako da su njome određene pridružene točke s
nehomogenim koordinatama 1 i -1, dok
treća singularna konika x1 ( x0 - x1) = 0
siječe pravac u dvostrukoj točki (0:0:1) s nehomogenom koordinatom ∞.
Na pravcu x0 = 0 imamo involuciju koja fiksira 0 i ∞, te uzajamno preslikava
1 i -1 i sve ostale x , -x.
Vidimo da situacija nije bitno različita od jednostavnog
“školskog” primjera (računski samo u tome što za familiju
parabola nisu bile 4 različite temeljne točke nego jedna tangenta
s diralištem).
U ovoj dopuni gradiva navest ću dokaze i neka tumačenja
za koja nije bilo vremena na predavanjima.
Pramen konika i Desarguesov teorem o involuciji
Pramen konika je skup svih konika (nesingularnih i singularnih)
koje prolaze kroz vrhove jednog četverovrha,
dakle kroz 4 točke od kojih po 3 nisu kolinearne.
Singularnih konika pramena ima 3 i to su 3 para suprotnih
stranica četverovrha.
Označimo temeljne točke pramena s P, Q, R i S.
Singularne konike pramena tada su PQ U RS, PR U QS i PS U QR.
Ako temeljni koordinatni četverovrh izaberemo npr. tako da su
točke, P, Q, R i S redom (1:0:0), (0:1:0), (0:0:1) i (1:1:1),
onda svaka konika pramena kroz P, Q, R i S ima jednadžbu
oblika a01 x0 x1 + a12 x1 x2 + a02 x0 x2 = 0, pri čemu je
a01 + a12 + a02 = 0.
Singularne konike pramena su, redom:
x2 ( x0 - x1) = 0 , x1 ( x0 - x2) = 0 i x0 ( x1 - x2) = 0.
Lako se vidi da se jednadžba svake konike pramena
može napisati kao linearna kombinacija bilo kojih dviju konika
pramena, uključujući singularne konike.
Gledano u koordinatama, pramen konika je 1-parametarska
familija konika, jer konika je određena s 5 točaka
u općem položaju (ili, posebno, sa 4 točke i tangentom
u jednoj od njih ili s 3 točke i tangentama u dvjema od njih).
Izbor četiri točke ostavlja jedan slobodan parametar.
Uzmimo jednostavan primjer ''iz škole'', koji će nam biti
koristan i kasnije.
Kod analiziranja kvadratne funkcije promatra se familija
funkcija oblika
y = a x^2 + bx + c, pri čemu a nije 0.
Graf svake od ovih funkcija je parabola,
projektivno gledano konika koja tangira “neizmjerno daleki pravac”
i to u točki koja pripada osi y, dakle pravac x0 = 0 je svima njima
tangenta i to u točki (0:0:1) (jer im je os paralelna s y-osi).
(Za vježbu nije loše odrediti opću jednadžbu takvih konika u
projektivnim koordinatama pa onda prijelazom na afine
vidjeti da im je jednadžba doista navedenog oblika).
Naravno, ova familija konika je 3-parametarska
(dva “elementa” su izabrana, tangenta i diralište,
a tri slobodna parametra su a, b i c).
Kako bismo dobili pramen konika (1-parametarsku familiju)
možemo izabrati još neke dvije točke kroz koje bi
prolazile promatrane konike (ali ne smiju obje biti na y-osi).
Recimo, ako izaberemo točke (1,1) i (-1,2), dobit ćemo pramen
y = a x^2 - x/2 + (3/2 – a).
Drukčije, možemo uzeti npr. sve parabole iz
te familije kojima je x-os tangenta u ishodištu pa ćemo
dobiti pramen jednostavne jednadžbe y = a x^2 .
Taj pramen, određen dvjema tangentama s diralištima, bit će nam
kasnije koristan za ilustraciju Desarguesova teorema o involuciji.
Postoje mnoga zanimljiva svojstva povezana s pramenom konika,
a ovdje ćemo se usredotočiti samo na najstariji i najpoznatiji teorem –
Desarguesov teorem o involuciji.
Teorem.
Pravac koji ne prolazi nijednom od temeljnih točaka pramena
konika siječe konike iz tog pramena u parovima pridruženih točaka
jednog involutornog projektiviteta.
Uočimo najprije da pravac ne siječe svaku koniku pramena
(barem ne u realnim točkama, a zasad ne uzimamo u obzir
“kompleksna sjecišta”, koja međutim također imaju važnu ulogu
ako se gleda na taj način),
ali da svakom točkom pravca prolazi neka konika pramena
(ta točka i temeljna četvorka određuju koniku).
Prisjetimo se još pojma presječne šestorke potpunog četverovrha
i činjenice da 3 para suprotnih stranica tog četverovrha
sijeku bilo koji pravac (različit od tih stranica) u tri para pridruženih
točaka jednog involutornog projektiviteta.
Naravno, taj projektivitet je onaj isti koji se spominje u gornjem
teoremu, a temeljni četverovrh pramena i pripadne tri singularne
konike čine potpuni četverovrhu čija presječna šestorka
na određenom pravcu predstavlja “mali dio” od svega
tri para pridruženih točaka.
Prvi dokaz (sintetički, samo pomoću projektiviteta):
Neka su (još uvijek) temeljne točke pramena označene
s P, Q, R i S, te neka pravac d siječe jednu nesingularnu koniku C
pramena u točkama X i Y.
Uzmimo P i Q za vrhove pramenova pravaca među kojima je
uspostavljen projektivitet tako da se pridruženi pravci sijeku u točkama
konike C
(poznati nam Steinerov teorem). Imamo projektivitet:
PR, PS, PX, PY -^- QR, QS, QX, QY.
Presijecanje projektivnih pramenova pravcem d zadaje
projektivitet nizova točaka tog pravca.
Označimo sjecišta PR, PS, QR i QS s pravcem d redom s
T, U, V i W. Tada imamo projektivitet:
T, U, X, Y -^- V, W, X, Y.
Poznato je da postoji projektivitet koji, općenito, točke K, L, M, N
na pravcu preslikava redom u L. K, N, M.
Primjenom tog projektiviteta na V, W, X i Y
dobivamo, u kompoziciji, T, U, X, Y -^- W, V, Y, X.
Ovo je sad projektivitet na pravcu d koji je involutoran
zato što postoji jedan par točaka koji se preslikava uzajamno
(znamo da je to dovoljno da bi se svaki par pridruženih
točaka prelikavao uzajamno).
Nadalje, involutorni projektivitet potpuno je određen s dva para
uzajamno pridruženih točaka, a to su ovdje T i W, odnosno U i V.
Ove točke ovise samo o temeljnom četverovrhu i izboru pravca d,
a ne o izboru konike C (čije su nam točke X I Y bile
ključne za izvod ove tvrdnje). Dakle, sjecišta bilo koje konike
pramena i pravca d bit će pridružene točke u involuciji
(T,W)(U,V) na pravcu d.
Time je teorem dokazan. Uočimo još da konika pramena
može dirati određeni pravac. a to diralište je pritom fiksna točka
involucije. Kako involucija može imati ili dvije fiksne točke
ili nijednu, vidimo da za pojedini pravac mogu postojati
ili dvije ili nijedna konika pramena koje ga tangiraju.
Analitički dokaz – najprije primjer “iz škole”
Vratimo se na familiju y = a x^2 + bx + c, koja jest 3-parametarska,
ali privremeno to zanemarimo, kako bismo promatrali jako poznatu stvar:
rješavanje kvadratne jednadžbe.
Parabole iz ove familije presijecimo pravcem y=0, dakle x-osi.
Sjecišta su rješenja kvadratne jednadžbe ax^2 + bx + c = 0.
Označimo ih s x' , x'' (samo da se uobičajene oznake x1 , x2
ne bi miješale s homogenim koordinatama).
Vrijede Vietine formule: x' + x'' = -b/a, x' x'' = c/a.
Relacija između x' i x'' koju odavde možemo dobiti očito je oblika
karakterističnog za involutorni projektivitet:
Iz c ( x' + x'' ) = -b x' x'' slijedi (bx' + c) x'' = -c x' , odakle
x'' = -c x' /(bx' + c).
(Podsjetimo se, za involutornost je karakteristično da su
koeficijent uz x' u brojniku i slobodni koeficijjent u nazivniku
suprotni brojevi).
Dakle, rješenja kvadratne jednadžbe zapravo su pridruženi
parovi u involuciji na x-osi. Jasno, tu bi trebalo uzeti 1-parametarsku
familiju, prikladnim izborom koeficijenata (mogući su različiti
posebni slučajevi, ali smisao je isti).
Za pramen y = a x^2 mogli bismo izabrati npr. presječni pravac
y = k , k>0 pa bismo za vrijednosti a > 0 dobivali parove sjecišta
x', x'' = ± sqrt (k/a), simetrične s obzirom na y-os.
Analitički dokaz –
možemo provesti bez posebnog izbora koordonata za
temeljne točke pramena (naporno) ili na različite načine,
ali bez gubitka općenitosti, izabrati pogodne koordinate.
Pritom vodimo računa i o izboru pravca kojim će se presjeći pramen.
Želimo li da to bude npr. x0 = 0, kako bismo što lakše
izrazili involuciju na njemu, nijedna od temeljnih točaka
pramena ne smije biti s njim incidentna, čime otpadaju
koordinate (0:1:0) i (0:0:1) za temeljne točke.
No, lako se vidi da uz preostale uobičajene točke, a
to su (1:0:0) i (1:1:1) možemo uzeti (1:0:1) i (1:1:0) za temeljne
točke pramena.
Za singularne konike ovog pramena možemo izabrati (dvije od tri)
x2 ( x0 - x2) = 0 i ( x1 - x2)( x0 - x1 - x2) = 0
tako da opći oblik jednadžbe konike iz pramena izgleda ovako:
λ x2 ( x0 - x2) = 0 + μ ( x1 - x2)( x0 - x1 - x2) = 0.
Sjecišta s pravcem x0 = 0 određena su uvjetom
μ x1^ 2 = ( μ - λ ) x 2^2
odakle vidimo da omjer x1 / x2 poprima dvije uzajamno
suprotne vrijednosti
(kad god to ima smisla, što lako diskutiramo po vrijednostima μ i – λ).
Dakle, opet imamo jednostavnu involutornu relaciju,
za nehomogene koordinate x', x'' = ± sqrt (μ / μ - λ),
oblika x'' = - x'.
Za pojedinu koniku iz pramena bitan je parametar λ/ μ, odnosno za μ = 0
to je singularna konika x2 ( x0 - x2) = 0 s dvostrukim sjecištem
(0:1:0) , nehomogene koordiate 0.
Singularna konika ( x1 - x2)( x0 - x1 - x2) = 0 ima sjecišta
(0:1:1) i (0:1:-1) tako da su njome određene pridružene točke s
nehomogenim koordinatama 1 i -1, dok
treća singularna konika x1 ( x0 - x1) = 0
siječe pravac u dvostrukoj točki (0:0:1) s nehomogenom koordinatom ∞.
Na pravcu x0 = 0 imamo involuciju koja fiksira 0 i ∞, te uzajamno preslikava
1 i -1 i sve ostale x , -x.
Vidimo da situacija nije bitno različita od jednostavnog
“školskog” primjera (računski samo u tome što za familiju
parabola nisu bile 4 različite temeljne točke nego jedna tangenta
s diralištem).
|