Poglavlje 1.6 vjezbe (zadatak)

[carlusmagnusen]

Dobar dan, zanima me zadatak 1.98:

Neka je f neprekidna na <a, b> te derivabilna na <a, c> i <c, b>, za neki c ∈ <a, b>.

Nadalje, neka postoji limx→c− f '(x). Koristeći L’Hospitalovo pravilo dokažite:

f '_(c) postoji i vrijedi f '_(c) = limx→c− f ' (x)

Je li rjesenje ovo:

Raspiše se f_(c) po definiciji

primjeti se da je zbog neprekidnosti na <a,b> lim f(x) x->c = f(c)

zbog toga raspis tezi u 0/0

primjeni se L'Hospitalovo pravilo i dobije se tvrdnja


Hvala.

[JANKRI]

Zadatak. (1.98 na stranici 52., tj. 11. u ovom fileu) Neka je [tex]f[/tex] neprekidna na [tex]\langle a, b \rangle[/tex] te derivabilna na [tex]\langle a, c \rangle[/tex] i [tex]\langle c, b \rangle[/tex], za neki [tex]c \in \langle a,b \rangle[/tex]. Nadalje, neka postoje [tex]\lim\limits_{x \to c-}f'(x)[/tex] i [tex]\lim\limits_{x \to c+}f'(x)[/tex]. Koristeći L’Hôpitalovo pravilo dokažite tvrdnje:

1.) [tex]f'_{-}(c)[/tex] postoji i vrijedi [tex]f'_{-}(c) = \lim\limits_{x \to c-}f'(x)[/tex],

2.) [tex]f'_{+}(c)[/tex] postoji i vrijedi [tex]f'_{+}(c) = \lim\limits_{x \to c+}f'(x)[/tex].

U slučaju da još vrijedi [tex]f'_{-}(c) = f'_{+}(c)[/tex], postoji čak [tex]f'(c)[/tex] i [tex]f'[/tex] je neprekidna u [tex]c[/tex], tj. funkcija [tex]f[/tex] je neprekidno derivabilna u [tex]c[/tex].