|
Zajedničke činjenice za sve zadatke su sljedeće:
1. Struktura (P,+) uvijek je Abelova grupa, a
nije vektorski prostor nad navedenim poljem.
2. Skup S uvijek je linearno zavisan.
Od zadanih vektora barem jedan, ponegdje oba,
mogu se prikazati kao linearna kombinacija
vektora iz S.
Detaljnije:
1. Skup P je skup onih uređenih parova (x,y) racionalnih
ili realnih brojeva, za koje je broj ax + by cijeli broj,
pri čemu su a i b zadani cijeli brojevi.
Grupoid/zatvorenost na zbrajanje:
Ako su (x1,y1) i (x2,y2) u skupu P, onda su
a x1 + b y1, a x2 + b y2 cijeli brojevi.
Zato je i a(x1 + x2) + b(y1 + y2) cijeli broj, jer
to je jednako (a x1 + b y1) + (a x2 + b y2),
dakle (x1,y1) + (x2,y2) = (x1 + y1, x2 + y2)
također je u skupu P.
Asocijativnost: Nasljeđuje se iz [b]R[/b]^2.
Neutralni element:
(0,0) je očito u P, jer a0 + b0 = 0 je cijeli broj.
Suprotni (inverzni) element:
Ako je (x,y) u P, onda je i (-x,-y) u P,
jer a(-x) + b(-y) = -(ax + by) pa je i to cijeli broj.
Komutativnost + nasljeđuje se iz [b]R[/b]^2.
Množenje skalarom - ne ispunjava uvjet da
će umnožak svakog realnog/racionalnog broja
sa cijelim brojem ax + by biti cijeli broj.
To bi bilo nužno za zatvorenost na množenje skalarom.
Za konkretne brojeve lako je naći primjer da to
doista nije ispunjeno (a može se i općenito).
Npr ako je uvjet za P da 9x - 8y bude cijeli broj,
(1,1) pripada skupu P, ali 1/3 (1,1) ne pripada.
2. Uvijek prva dva vektora iz S čine linearno nezavisan
skup, a u nekim slučajevima prva tri vektora također.
No, S je uvijek linearno zavisan.
Budući da zbog toga nije ni baza ni sustav izvodnica
prostora [b]R[/b]^4, postoje vektori koji ne pripadaju
linearnoj ljusci [S].
Kod traženja prikaza nije potrebno pisati
jednadžbe sa 4 nepoznanice, nego najviše 3.
Naime, suvišna je komplikacija u prikaz
uvrštavati vektor za koji je već ustanovljeno
da se može prikazati pomoću ostalih iz S.
Uzimanje ove činjenice u obzir znatno
skraćuje postupak.
Zajedničke činjenice za sve zadatke su sljedeće:
1. Struktura (P,+) uvijek je Abelova grupa, a
nije vektorski prostor nad navedenim poljem.
2. Skup S uvijek je linearno zavisan.
Od zadanih vektora barem jedan, ponegdje oba,
mogu se prikazati kao linearna kombinacija
vektora iz S.
Detaljnije:
1. Skup P je skup onih uređenih parova (x,y) racionalnih
ili realnih brojeva, za koje je broj ax + by cijeli broj,
pri čemu su a i b zadani cijeli brojevi.
Grupoid/zatvorenost na zbrajanje:
Ako su (x1,y1) i (x2,y2) u skupu P, onda su
a x1 + b y1, a x2 + b y2 cijeli brojevi.
Zato je i a(x1 + x2) + b(y1 + y2) cijeli broj, jer
to je jednako (a x1 + b y1) + (a x2 + b y2),
dakle (x1,y1) + (x2,y2) = (x1 + y1, x2 + y2)
također je u skupu P.
Asocijativnost: Nasljeđuje se iz R^2.
Neutralni element:
(0,0) je očito u P, jer a0 + b0 = 0 je cijeli broj.
Suprotni (inverzni) element:
Ako je (x,y) u P, onda je i (-x,-y) u P,
jer a(-x) + b(-y) = -(ax + by) pa je i to cijeli broj.
Komutativnost + nasljeđuje se iz R^2.
Množenje skalarom - ne ispunjava uvjet da
će umnožak svakog realnog/racionalnog broja
sa cijelim brojem ax + by biti cijeli broj.
To bi bilo nužno za zatvorenost na množenje skalarom.
Za konkretne brojeve lako je naći primjer da to
doista nije ispunjeno (a može se i općenito).
Npr ako je uvjet za P da 9x - 8y bude cijeli broj,
(1,1) pripada skupu P, ali 1/3 (1,1) ne pripada.
2. Uvijek prva dva vektora iz S čine linearno nezavisan
skup, a u nekim slučajevima prva tri vektora također.
No, S je uvijek linearno zavisan.
Budući da zbog toga nije ni baza ni sustav izvodnica
prostora R^4, postoje vektori koji ne pripadaju
linearnoj ljusci [S].
Kod traženja prikaza nije potrebno pisati
jednadžbe sa 4 nepoznanice, nego najviše 3.
Naime, suvišna je komplikacija u prikaz
uvrštavati vektor za koji je već ustanovljeno
da se može prikazati pomoću ostalih iz S.
Uzimanje ove činjenice u obzir znatno
skraćuje postupak.
|
