Search
 
 
  Engleski
 
 
 
Open in this window (click to change)
Forum@DeGiorgi: Početna
Forum za podršku nastavi na PMF-MO
Login Registracija FAQ Smajlići Članstvo Pretražnik Forum@DeGiorgi: Početna

MA2 2020 - kućne vježbe (objasnjenje gradiva)
WWW:

Moja sarma
 
Započnite novu temu   Odgovorite na temu   printer-friendly view    Forum@DeGiorgi: Početna -> Kolegiji 1. godine, preddiplomski studij Matematika -> Matematička analiza 1 i 2
Prethodna tema :: Sljedeća tema  
Autor/ica Poruka
JANKRI
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 10. 07. 2008. (02:30:58)
Postovi: (10F)16
Spol: muško
Sarma = la pohva - posuda
97 = 132 - 35
Lokacija: Zagreb

PostPostano: 20:46 pet, 13. 3. 2020    Naslov: MA2 2020 - kućne vježbe Citirajte i odgovorite

Tema za pitanja i odgovore s "kućnih vježbi" iz Matematičke anaize 2.

Ovo je prvenstveno za vježbe kod asistenta Krijana (dakle, za grupu [P - Ž]).
Međutim, svi studenti su i više no dobrodošli! :)

Iskreni savjet je da uistinu napravite nešto u ova dva tjedna (tko zna - možda bude i dulje od toga).

Prilikom povratka na normalnu nastavu smatrat će se obrađenim sve što je upućeno na kućne vježbe.

Pitajte, rješavajte sami, iskoristite ovo vrijeme produktivno! :)

Sretno svima, sa svime!
Tema za pitanja i odgovore s "kućnih vježbi" iz Matematičke anaize 2.

Ovo je prvenstveno za vježbe kod asistenta Krijana (dakle, za grupu [P - Ž]).
Međutim, svi studenti su i više no dobrodošli! Smile

Iskreni savjet je da uistinu napravite nešto u ova dva tjedna (tko zna - možda bude i dulje od toga).

Prilikom povratka na normalnu nastavu smatrat će se obrađenim sve što je upućeno na kućne vježbe.

Pitajte, rješavajte sami, iskoristite ovo vrijeme produktivno! Smile

Sretno svima, sa svime!


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku Pošaljite e-mail
chrsand
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 18. 03. 2020. (11:25:59)
Postovi: (7)16
Sarma = la pohva - posuda
= 0 - 0

PostPostano: 0:00 čet, 19. 3. 2020    Naslov: Citirajte i odgovorite

U zadatku 1.48, gdje se trazi kut pod kojim se sijeku tangente na kruznicu povucene kroz tocku T.

Kada nademo y' (y' = - (x + 2) / (y - 1)), i onda kada u formulu za tangentu:
y - y0 = f'(x0) (x - x0), uvrstimo y' kao f', u sljedećem redu pise
" y - y0 =( (x+2) / (y0-1) )* (x - x0). "
U ovom razlomku, iza znaka jednakosti, zasto smo stavili samo y0, zasto ne i x0, ili zasto ne samo x0?
U zadatku 1.48, gdje se trazi kut pod kojim se sijeku tangente na kruznicu povucene kroz tocku T.

Kada nademo y' (y' = - (x + 2) / (y - 1)), i onda kada u formulu za tangentu:
y - y0 = f'(x0) (x - x0), uvrstimo y' kao f', u sljedećem redu pise
" y - y0 =( (x+2) / (y0-1) )* (x - x0). "
U ovom razlomku, iza znaka jednakosti, zasto smo stavili samo y0, zasto ne i x0, ili zasto ne samo x0?


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
JANKRI
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 10. 07. 2008. (02:30:58)
Postovi: (10F)16
Spol: muško
Sarma = la pohva - posuda
97 = 132 - 35
Lokacija: Zagreb

PostPostano: 0:55 čet, 19. 3. 2020    Naslov: Citirajte i odgovorite

[quote="chrsand"]
U ovom razlomku, iza znaka jednakosti, zasto smo stavili samo y0, zasto ne i x0, ili zasto ne samo x0?[/quote]

Ovdje je riječ o greški.
Dakle, u zadatku 1.48, na 30. stranici (3. u fileu) [url=https://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/analiza/files/ch1_4.pdf]ovdje[/url] treća centrirana formula (dakle, ona iza rečenice "Tada je jednadžba tangente u točki [tex]D[/tex]:") treba glasiti:

[dtex]t \quad \ldots \quad y - y_0 = -\frac{x_0 + 2}{y_0 - 1}(x - x_0).[/dtex]

Nadam se da je sada jasnije. :)
chrsand (napisa):

U ovom razlomku, iza znaka jednakosti, zasto smo stavili samo y0, zasto ne i x0, ili zasto ne samo x0?


Ovdje je riječ o greški.
Dakle, u zadatku 1.48, na 30. stranici (3. u fileu) ovdje treća centrirana formula (dakle, ona iza rečenice "Tada je jednadžba tangente u točki [tex]D[/tex]:") treba glasiti:

[dtex]t \quad \ldots \quad y - y_0 = -\frac{x_0 + 2}{y_0 - 1}(x - x_0).[/dtex]

Nadam se da je sada jasnije. Smile


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku Pošaljite e-mail
chrsand
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 18. 03. 2020. (11:25:59)
Postovi: (7)16
Sarma = la pohva - posuda
= 0 - 0

PostPostano: 14:06 čet, 26. 3. 2020    Naslov: Citirajte i odgovorite

U dijelu vježbi 1.6, u rješenju zadatka 1.83, u prvom redu:

Kako smo dobili ove 1 i -1 uz f'(c+h) i f'(c-h), i di je -2f(c) nestao nakon primjene L'Hopitalovog pravila?
U dijelu vježbi 1.6, u rješenju zadatka 1.83, u prvom redu:

Kako smo dobili ove 1 i -1 uz f'(c+h) i f'(c-h), i di je -2f(c) nestao nakon primjene L'Hopitalovog pravila?


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
JANKRI
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 10. 07. 2008. (02:30:58)
Postovi: (10F)16
Spol: muško
Sarma = la pohva - posuda
97 = 132 - 35
Lokacija: Zagreb

PostPostano: 1:17 pet, 27. 3. 2020    Naslov: Citirajte i odgovorite

[quote="chrsand"]Kako smo dobili ove 1 i -1 uz f'(c+h) i f'(c-h), i di je -2f(c) nestao nakon primjene L'Hopitalovog pravila?[/quote]

Riječ je o zadatku 1.83 [url=https://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/analiza/files/ch1_6.pdf]ovdje[/url] (poglavlje 1.6), na kraju stranice 47. (6. u fileu).

[b]Zadatak.[/b] Neka je [tex]f[/tex] diferencijabilna u nekoj okolini točke [tex]c[/tex] i dva puta diferencijabilna u točki [tex]c[/tex]. Dokažite:
[dtex]\lim\limits_{h \to 0}\frac{f(c + h) + f(c - h) - 2f(c)}{h^2} = f''(c).[/dtex]

[b]Rješenje.[/b] Primijetimo da je
[dtex]\lim\limits_{h \to 0}(f(c + h) + f(c-h) - 2f(c)) = \lim\limits_{h \to 0}[(f(c+h) - f(c)) + (f(c - h) - f(c))] = 0 + 0 = 0.[/dtex]
To vrijedi zato što je [tex]f[/tex] diferecijabilna u nekoj okolini točke [tex]c[/tex]. Preciznije, postoji [tex]\varepsilon > 0[/tex] takav da je funkcija [tex]f[/tex] diferecijabilna na intervalu [tex]I = \langle c - \varepsilon, c + \varepsilon\rangle[/tex]. Kako je funkcija [tex]f[/tex] diferencijabilna na [tex]I[/tex], ona je i neprekidna na [tex]I[/tex]. Dakle, vrijedi da je [tex]\lim\limits_{h \to 0}f(c + h) = \lim\limits_{h \to 0}f(c - h) = f(c)[/tex].

Ključno je razumjeti (!!) da nam je [tex]h[/tex] varijabla, a [tex]c[/tex] konstanta, tj. neka čvrsta (zadana, ne-varijabilna - nazovite to kako želite) točka. Dakle, u našem limesu (kojeg gledamo po varijabli [tex]h[/tex]) izraz [tex]2f(c)[/tex] je konstanta (to je isto kao da na tom mjestu piše neki broj - i piše - samo se taj broj zove [tex]2f(c)[/tex] :) ).

Kako i brojnik i nazivnik teže u [tex]0[/tex], smijemo primijeniti L’Hôpitalovo pravilo. Prije samo računa napomenimo da deriviranje vršimo po varijabli [tex]h[/tex] (po njoj i limes promatramo)! Odnosno, trebamo biti svjesni da je [tex]f(c + h)[/tex] kompozicija funkcija [tex]h \mapsto c + h[/tex] i [tex]f[/tex] te da je [tex]f(c + h)[/tex] kompozicija funkcija [tex]h \mapsto c - h[/tex] i [tex]f[/tex]. Zato je (DERIVIRAMO PO [tex]h[/tex]):
[dtex](f(c + h))' = f'(c + h) \cdot 1 = f'(c + h), \quad (f(c - h))' = f'(c - h) \cdot (-1) = -f'(c - h) \quad \text{te} \quad (2f(c))' = 0.[/dtex]

Računamo:
[dtex]\lim\limits_{h \to 0}\frac{f(c + h) + f(c - h) - 2f(c)}{h^2} = \lim\limits_{h \to 0}\frac{f'(c + h) - f'(c - h)}{2h} = \frac{1}{2} \cdot \lim\limits_{h \to 0}\left(\frac{f'(c + h) - f'(c)}{h} + \frac{f'(c - h) - f'(c)}{-h}\right) = f''(c).[/dtex]

U predzadnjoj jednakosti smo naprosto oduzeli i dodali [tex]f'(c)[/tex]. Zašto? Pa sjetimo se što želimo dokazati, želimo nekako doći do [tex]f''(c)[/tex]. Onda se sjetimo definirajućeg izraza za [tex]f''(c)[/tex] i nakon toga se naš postupak nameće sam od sebe:
[dtex]f''(c) = \lim\limits_{h \to 0}\frac{f'(c + h) - f'(c)}{h} = \lim\limits_{h \to 0}\frac{f'(c - h) - f'(c)}{-h}.[/dtex]

Nadam se da sam uspio razjasniti. :)
chrsand (napisa):
Kako smo dobili ove 1 i -1 uz f'(c+h) i f'(c-h), i di je -2f(c) nestao nakon primjene L'Hopitalovog pravila?


Riječ je o zadatku 1.83 ovdje (poglavlje 1.6), na kraju stranice 47. (6. u fileu).

Zadatak. Neka je [tex]f[/tex] diferencijabilna u nekoj okolini točke [tex]c[/tex] i dva puta diferencijabilna u točki [tex]c[/tex]. Dokažite:
[dtex]\lim\limits_{h \to 0}\frac{f(c + h) + f(c - h) - 2f(c)}{h^2} = f''(c).[/dtex]

Rješenje. Primijetimo da je
[dtex]\lim\limits_{h \to 0}(f(c + h) + f(c-h) - 2f(c)) = \lim\limits_{h \to 0}[(f(c+h) - f(c)) + (f(c - h) - f(c))] = 0 + 0 = 0.[/dtex]
To vrijedi zato što je [tex]f[/tex] diferecijabilna u nekoj okolini točke [tex]c[/tex]. Preciznije, postoji [tex]\varepsilon > 0[/tex] takav da je funkcija [tex]f[/tex] diferecijabilna na intervalu [tex]I = \langle c - \varepsilon, c + \varepsilon\rangle[/tex]. Kako je funkcija [tex]f[/tex] diferencijabilna na [tex]I[/tex], ona je i neprekidna na [tex]I[/tex]. Dakle, vrijedi da je [tex]\lim\limits_{h \to 0}f(c + h) = \lim\limits_{h \to 0}f(c - h) = f(c)[/tex].

Ključno je razumjeti (!!) da nam je [tex]h[/tex] varijabla, a [tex]c[/tex] konstanta, tj. neka čvrsta (zadana, ne-varijabilna - nazovite to kako želite) točka. Dakle, u našem limesu (kojeg gledamo po varijabli [tex]h[/tex]) izraz [tex]2f(c)[/tex] je konstanta (to je isto kao da na tom mjestu piše neki broj - i piše - samo se taj broj zove [tex]2f(c)[/tex] Smile ).

Kako i brojnik i nazivnik teže u [tex]0[/tex], smijemo primijeniti L’Hôpitalovo pravilo. Prije samo računa napomenimo da deriviranje vršimo po varijabli [tex]h[/tex] (po njoj i limes promatramo)! Odnosno, trebamo biti svjesni da je [tex]f(c + h)[/tex] kompozicija funkcija [tex]h \mapsto c + h[/tex] i [tex]f[/tex] te da je [tex]f(c + h)[/tex] kompozicija funkcija [tex]h \mapsto c - h[/tex] i [tex]f[/tex]. Zato je (DERIVIRAMO PO [tex]h[/tex]):
[dtex](f(c + h))' = f'(c + h) \cdot 1 = f'(c + h), \quad (f(c - h))' = f'(c - h) \cdot (-1) = -f'(c - h) \quad \text{te} \quad (2f(c))' = 0.[/dtex]

Računamo:
[dtex]\lim\limits_{h \to 0}\frac{f(c + h) + f(c - h) - 2f(c)}{h^2} = \lim\limits_{h \to 0}\frac{f'(c + h) - f'(c - h)}{2h} = \frac{1}{2} \cdot \lim\limits_{h \to 0}\left(\frac{f'(c + h) - f'(c)}{h} + \frac{f'(c - h) - f'(c)}{-h}\right) = f''(c).[/dtex]

U predzadnjoj jednakosti smo naprosto oduzeli i dodali [tex]f'(c)[/tex]. Zašto? Pa sjetimo se što želimo dokazati, želimo nekako doći do [tex]f''(c)[/tex]. Onda se sjetimo definirajućeg izraza za [tex]f''(c)[/tex] i nakon toga se naš postupak nameće sam od sebe:
[dtex]f''(c) = \lim\limits_{h \to 0}\frac{f'(c + h) - f'(c)}{h} = \lim\limits_{h \to 0}\frac{f'(c - h) - f'(c)}{-h}.[/dtex]

Nadam se da sam uspio razjasniti. Smile


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku Pošaljite e-mail
pero149
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 30. 03. 2020. (11:30:28)
Postovi: (1)16
Sarma = la pohva - posuda
= 0 - 0

PostPostano: 11:47 pon, 30. 3. 2020    Naslov: Citirajte i odgovorite

pozdrav!
mozete li rijesiti ovaj zadatak?

Izracunajte f(200)(1) za funkciju

f(x) = (x − 1) arctg(x − 1).

(prvi zadatak iz kolokvija 2016./17.)

probala sam na sto nacina, ali ovaj arctg se vec u trecoj derivaciji uzasno zakomplicira i ne znam vise sto da radim.
pozdrav!
mozete li rijesiti ovaj zadatak?

Izracunajte f(200)(1) za funkciju

f(x) = (x − 1) arctg(x − 1).

(prvi zadatak iz kolokvija 2016./17.)

probala sam na sto nacina, ali ovaj arctg se vec u trecoj derivaciji uzasno zakomplicira i ne znam vise sto da radim.


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
medallion
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 30. 03. 2020. (12:18:43)
Postovi: (1)16
Sarma = la pohva - posuda
= 0 - 0

PostPostano: 12:25 pon, 30. 3. 2020    Naslov: Citirajte i odgovorite

Možete li objaviti rješenje zadatka iz skripte za vježbe?

[quote][b]Zadatak 1.118[/b] Dva hodnika sirine 320 cm i 135 cm se sijeku pod pravim kutem. Odredite najvecu duljinu tankog nesavitljivog stapa koji se moze prenijeti iz jednog hodnika u
drugi.[/quote]
Možete li objaviti rješenje zadatka iz skripte za vježbe?

Citat:
Zadatak 1.118 Dva hodnika sirine 320 cm i 135 cm se sijeku pod pravim kutem. Odredite najvecu duljinu tankog nesavitljivog stapa koji se moze prenijeti iz jednog hodnika u
drugi.


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
JANKRI
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 10. 07. 2008. (02:30:58)
Postovi: (10F)16
Spol: muško
Sarma = la pohva - posuda
97 = 132 - 35
Lokacija: Zagreb

PostPostano: 16:29 pon, 30. 3. 2020    Naslov: Citirajte i odgovorite

[quote="pero149"]pozdrav!
mozete li rijesiti ovaj zadatak?
(prvi zadatak iz kolokvija 2016./17.)
[/quote]

[b]Zadatak.[/b] (1. [url=https://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/analiza/kolokviji/analiza2_1617_kol1.pdf]ovdje[/url]) Izračunajte [tex]f^{(200)}(1)[/tex] za funkciju
[dtex]f(x) = (x-1)\,\text{arctg}(x-1).[/dtex]
[b]Rješenje.[/b] Odmah računamo:
[dtex]f^{(200)}(x) = \sum\limits_{k = 0}^{200}\binom{200}{k}(x-1)^{(k)}(\text{arctg}(x-1))^{(200-k)} = (x - 1)(\text{arctg}(x-1))^{(200)} + 200 \cdot 1 \cdot (\text{arctg}(x - 1))^{(199)}.[/dtex]
U točki [tex]x = 1[/tex] vrijedi da je [tex]x - 1 = 0[/tex], stoga zaključujemo da je
[dtex]f^{(200)}(1) = 200 \cdot \left.(\text{arctg}(x-1))^{(199)}\right|_{x = 1}.[/dtex]
U ovom trenutku stajemo. Te godine je na kolokviju došlo do propusta, ovaj zadatak iako izgleda standardno, nije lagan. Zapravo, težak je i nije dio standardnog gradiva.
Ne sjećam se točno što se zbilo s tim zadatkom prilikom ocjenjivanja, ali mislim da su na njemu svi dobili sve bodove, ili tako nešto...
Uglavnom, pogledajte npr. [url=http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/EMIS/journals/AMEN/2010/090408-2.pdf]ovdje[/url] za više derivacije funkcije [tex]\text{arctg}\,x[/tex].


[quote="medallion"]Možete li objaviti rješenje zadatka iz skripte za vježbe?
[b]Zadatak 1.118[/b][/quote]

Rješenja svih zadataka (osim onih za vježbu) su u procesu pisanja.
Cijeli poglavlje [url=https://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/analiza/files/ch1_7.pdf]1.7[/url] je napisano i objavljeno na [url=https://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/analiza/materijali.php?ma2]stranici[/url]. Uskoro će biti popunjena i ostala poglavlja. :)

Rješenja zadataka za vježbu nećemo pisati. Svakako od vas očekujemo da ih sami rješavate. Naravno, za sve nejasnoće stojimo na raspolaganju! :)
pero149 (napisa):
pozdrav!
mozete li rijesiti ovaj zadatak?
(prvi zadatak iz kolokvija 2016./17.)


Zadatak. (1. ovdje) Izračunajte [tex]f^{(200)}(1)[/tex] za funkciju
[dtex]f(x) = (x-1)\,\text{arctg}(x-1).[/dtex]
Rješenje. Odmah računamo:
[dtex]f^{(200)}(x) = \sum\limits_{k = 0}^{200}\binom{200}{k}(x-1)^{(k)}(\text{arctg}(x-1))^{(200-k)} = (x - 1)(\text{arctg}(x-1))^{(200)} + 200 \cdot 1 \cdot (\text{arctg}(x - 1))^{(199)}.[/dtex]
U točki [tex]x = 1[/tex] vrijedi da je [tex]x - 1 = 0[/tex], stoga zaključujemo da je
[dtex]f^{(200)}(1) = 200 \cdot \left.(\text{arctg}(x-1))^{(199)}\right|_{x = 1}.[/dtex]
U ovom trenutku stajemo. Te godine je na kolokviju došlo do propusta, ovaj zadatak iako izgleda standardno, nije lagan. Zapravo, težak je i nije dio standardnog gradiva.
Ne sjećam se točno što se zbilo s tim zadatkom prilikom ocjenjivanja, ali mislim da su na njemu svi dobili sve bodove, ili tako nešto...
Uglavnom, pogledajte npr. ovdje za više derivacije funkcije [tex]\text{arctg}\,x[/tex].


medallion (napisa):
Možete li objaviti rješenje zadatka iz skripte za vježbe?
Zadatak 1.118


Rješenja svih zadataka (osim onih za vježbu) su u procesu pisanja.
Cijeli poglavlje 1.7 je napisano i objavljeno na stranici. Uskoro će biti popunjena i ostala poglavlja. Smile

Rješenja zadataka za vježbu nećemo pisati. Svakako od vas očekujemo da ih sami rješavate. Naravno, za sve nejasnoće stojimo na raspolaganju! Smile


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku Pošaljite e-mail
chrsand
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 18. 03. 2020. (11:25:59)
Postovi: (7)16
Sarma = la pohva - posuda
= 0 - 0

PostPostano: 12:35 uto, 14. 4. 2020    Naslov: Citirajte i odgovorite

kaj znaci {x}, u vjezbama 2.1, zad 2.3 c) ?
kaj znaci {x}, u vjezbama 2.1, zad 2.3 c) ?


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
JANKRI
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 10. 07. 2008. (02:30:58)
Postovi: (10F)16
Spol: muško
Sarma = la pohva - posuda
97 = 132 - 35
Lokacija: Zagreb

PostPostano: 14:18 uto, 14. 4. 2020    Naslov: Citirajte i odgovorite

[quote="chrsand"]kaj znaci {x}, u vjezbama 2.1, zad 2.3 c) ?[/quote]

to je takozvani [i]razlomljeni dio od [tex]x[/tex][/i], dakle "necijeli" dio od [tex]x[/tex]. To je uvijek realni broj iz intervala [tex][0, 1\rangle[/tex].

Precizna definicija je
[dtex]\{x\} = x - \lfloor x\rfloor,[/dtex]
gdje je [tex]\lfloor x\rfloor[/tex] najveće cijelo od [tex]x[/tex], tj. [b]najveći cijelo broj koji nije veći od[/b] [tex]x[/tex].

Kroz primjere se najbolje učio pa zato:
[dtex]\lfloor 1\rfloor = 1, \quad \lfloor 1.3\rfloor = 1, \quad \lfloor \pi\rfloor = 3, \quad \lfloor -100\rfloor = -100, \quad \lfloor -\pi\rfloor = -4, \quad \lfloor -0.000000001\rfloor = -1, \quad \lfloor 0.000000001\rfloor = 0.[/dtex]

[dtex]\{ 1\} = 0, \quad \{ 1.3\} = 0.3, \quad \{\pi\} = \pi - 3 \approx 0.14159, \quad \{ -100\} = 0, \quad \{ -\pi\} = 4 - \pi \approx 0.84851, \quad \{ -0.000000001\} = 0.999999999, \quad \{ 0.000000001\} = 0.000000001.[/dtex]

Primijetite da je
[dtex]x = \lfloor x \rfloor + \{x\} = \text{cijeli dio} + \text{razlomljeni dio}.[/dtex]
chrsand (napisa):
kaj znaci {x}, u vjezbama 2.1, zad 2.3 c) ?


to je takozvani razlomljeni dio od [tex]x[/tex], dakle "necijeli" dio od [tex]x[/tex]. To je uvijek realni broj iz intervala [tex][0, 1\rangle[/tex].

Precizna definicija je
[dtex]\{x\} = x - \lfloor x\rfloor,[/dtex]
gdje je [tex]\lfloor x\rfloor[/tex] najveće cijelo od [tex]x[/tex], tj. najveći cijelo broj koji nije veći od [tex]x[/tex].

Kroz primjere se najbolje učio pa zato:
[dtex]\lfloor 1\rfloor = 1, \quad \lfloor 1.3\rfloor = 1, \quad \lfloor \pi\rfloor = 3, \quad \lfloor -100\rfloor = -100, \quad \lfloor -\pi\rfloor = -4, \quad \lfloor -0.000000001\rfloor = -1, \quad \lfloor 0.000000001\rfloor = 0.[/dtex]

[dtex]\{ 1\} = 0, \quad \{ 1.3\} = 0.3, \quad \{\pi\} = \pi - 3 \approx 0.14159, \quad \{ -100\} = 0, \quad \{ -\pi\} = 4 - \pi \approx 0.84851, \quad \{ -0.000000001\} = 0.999999999, \quad \{ 0.000000001\} = 0.000000001.[/dtex]

Primijetite da je
[dtex]x = \lfloor x \rfloor + \{x\} = \text{cijeli dio} + \text{razlomljeni dio}.[/dtex]


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku Pošaljite e-mail
chrsand
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 18. 03. 2020. (11:25:59)
Postovi: (7)16
Sarma = la pohva - posuda
= 0 - 0

PostPostano: 19:00 pon, 20. 4. 2020    Naslov: Citirajte i odgovorite

u poglavlju 2.3, zadatak 2.31 pod c) dio di piše "još treba izračunati:"

<zmijica>(dt/(t^2 + 1)^2) = <zmijica>((1+t^2-1)/(t^2 + 1)^2 dt)

kak smo gore ubacili 1+t^2-1 ?
u poglavlju 2.3, zadatak 2.31 pod c) dio di piše "još treba izračunati:"

<zmijica>(dt/(t^2 + 1)^2) = <zmijica>((1+t^2-1)/(t^2 + 1)^2 dt)

kak smo gore ubacili 1+t^2-1 ?


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
JANKRI
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 10. 07. 2008. (02:30:58)
Postovi: (10F)16
Spol: muško
Sarma = la pohva - posuda
97 = 132 - 35
Lokacija: Zagreb

PostPostano: 23:49 uto, 21. 4. 2020    Naslov: Citirajte i odgovorite

[quote="chrsand"]u poglavlju 2.3, zadatak 2.31 pod c) dio di piše "još treba izračunati:"

<zmijica>(dt/(t^2 + 1)^2) = <zmijica>((1+t^2-1)/(t^2 + 1)^2 dt)

kak smo gore ubacili 1+t^2-1 ?[/quote]

Kriva je prva jednakost, no već iduća je točna :-)
Naime, treba ubaciti [tex]1 + t^2 - t^2[/tex], tj. dodati i oduzeti [tex]t^2[/tex].

[dtex]\int\frac{\text{d}\, t}{(t^2 + 1)^2} = \int\frac{1 + t^2 - t^2}{(t^2 + 1)^2}\text{d}\, t = \int\frac{\text{d}\, t}{1+t^2} - \int\frac{t^2}{(t^2 + 1)^2}\text{d}\, t = \ldots[/dtex]

Dalje isto kao u rješenju.
chrsand (napisa):
u poglavlju 2.3, zadatak 2.31 pod c) dio di piše "još treba izračunati:"

<zmijica>(dt/(t^2 + 1)^2) = <zmijica>((1+t^2-1)/(t^2 + 1)^2 dt)

kak smo gore ubacili 1+t^2-1 ?


Kriva je prva jednakost, no već iduća je točna Smile
Naime, treba ubaciti [tex]1 + t^2 - t^2[/tex], tj. dodati i oduzeti [tex]t^2[/tex].

[dtex]\int\frac{\text{d}\, t}{(t^2 + 1)^2} = \int\frac{1 + t^2 - t^2}{(t^2 + 1)^2}\text{d}\, t = \int\frac{\text{d}\, t}{1+t^2} - \int\frac{t^2}{(t^2 + 1)^2}\text{d}\, t = \ldots[/dtex]

Dalje isto kao u rješenju.


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku Pošaljite e-mail
chrsand
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 18. 03. 2020. (11:25:59)
Postovi: (7)16
Sarma = la pohva - posuda
= 0 - 0

PostPostano: 15:28 sri, 22. 4. 2020    Naslov: Citirajte i odgovorite

poglavlje 2.4, zad 2.38, a)

nakon supstitucije:

<zmijica> (t + 1/2)^2 sqrt(1/4 - t^2) dt =
= <zmijica> (t^2 + 1/4)^2 sqrt(1/4 - t^2) dt

kak to?
poglavlje 2.4, zad 2.38, a)

nakon supstitucije:

<zmijica> (t + 1/2)^2 sqrt(1/4 - t^2) dt =
= <zmijica> (t^2 + 1/4)^2 sqrt(1/4 - t^2) dt

kak to?


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
chrsand
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 18. 03. 2020. (11:25:59)
Postovi: (7)16
Sarma = la pohva - posuda
= 0 - 0

PostPostano: 18:54 sri, 22. 4. 2020    Naslov: Citirajte i odgovorite

ispravak:

u prethodnoj jednakosti nema kvadrata s druge strane jednakosti

<zmijica> (t + 1/2)^2 sqrt(1/4 - t^2) dt =
= <zmijica> (t^2 + 1/4) sqrt(1/4 - t^2) dt
ispravak:

u prethodnoj jednakosti nema kvadrata s druge strane jednakosti

<zmijica> (t + 1/2)^2 sqrt(1/4 - t^2) dt =
= <zmijica> (t^2 + 1/4) sqrt(1/4 - t^2) dt


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
JANKRI
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 10. 07. 2008. (02:30:58)
Postovi: (10F)16
Spol: muško
Sarma = la pohva - posuda
97 = 132 - 35
Lokacija: Zagreb

PostPostano: 20:10 sri, 22. 4. 2020    Naslov: Citirajte i odgovorite

Samo jedna zamolba, možete li, molim vas linkati pdf koji vas zanima, tako znatno olakšavate! Hvala! :-)

Linkanje:
[code:1][url=tu_ide_link_koji_želite]tu_ide_tekst_koji_se_vidi[/url][/code:1]
a možete i samo jednostavno
[code:1][url]tu_ide_link_koji_želite[/url][/code:1]

Onda bi vaše pitanje izgledalo ovako:

Poglavlje [url=https://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/analiza/files/ch2_4.pdf]2.4[/url], može li pojašnjenje u zadatku 2.38 dio a), u drugom retku, zašto vrijedi prva jednakost?


Sada vam ja kažem da je pitanje izvrsno (ne radi forme pitanja :D ), nego naprosto zato što je. Naime, u toj jednakosti je "skriveno" nešto suptilno, a to je sljedeće:

[dtex]\int\limits_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}(2t)\sqrt{\frac{1}{4} - t^2}\text{d}\, t = \underbrace{\int\limits_{-\frac{1}{2}}^{0}(2t)\sqrt{\frac{1}{4} - t^2}\text{d}\, t}_{=A} + \underbrace{\int\limits_{0}^{\frac{1}{2}}(2t)\sqrt{\frac{1}{4} - t^2}\text{d}\, t}_{=B}.[/dtex]

Sljedeća činjenica za integral [tex]A[/tex] vrijedi naprosto zato što je podintegralna funkcija neparna - možete li to dokazati za općenitu funkciju? Preciznije, možete li dokazati da ako je [tex]a >0[/tex] realan broj i ako je [tex]f \colon [-a, a] \to \mathbb{R}[/tex] integrabilna funkcija, onda je
[dtex]\int\limits_{-a}^{0}f(x)\text{d}\,x = \left\lbrace \begin{array}{c} +\int\limits_{0}^{a}f(x)\text{d}\,x\text{, ako je } f\text{ parna funkcija,} \\ -\int\limits_{0}^{a}f(x)\text{d}\,x\text{, ako je } f\text{ neparna funkcija.} \end{array} \right.[/dtex]

Vratimo se na naš [tex]A[/tex]:
[dtex]A = \int\limits_{-\frac{1}{2}}^{0}(2t)\sqrt{\frac{1}{4} - t^2}\text{d}\, t = \left\lbrace\begin{array}{c} u = -t \\ \text{d}\, u = -\text{d}\, t \\ 0 \to 0 \\ -\frac{1}{2} \to \frac{1}{2} \end{array}\right\rbrace = \int\limits_{\frac{1}{2}}^{0}(-2u)\sqrt{\frac{1}{4} - u^2}(-\text{d}\, u) = \int\limits_{\frac{1}{2}}^{0}2u\sqrt{\frac{1}{4} - u^2}\text{d}\, u = -\int\limits_{0}^{\frac{1}{2}}2u\sqrt{\frac{1}{4} - u^2}\text{d}\, u = -B.[/dtex]
(Isti je dokaz za proizvoljnu neparnu funkciju.) Dakle, vrijedi da je
[dtex]\int\limits_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}(2t)\sqrt{\frac{1}{4} - t^2}\text{d}\, t = -B + B = 0.[/dtex]

Sada se vratimo na poglavlje [url=https://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/analiza/files/ch2_4.pdf]2.4[/url] i dio (a) zadatka 2.38:
[dtex]\int\limits_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}\left(t + \frac{1}{2}\right)^2\sqrt{\frac{1}{4} - t^2}\text{d}\, t = \int\limits_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}\left(t^2 + 2t + \frac{1}{4}\right)\sqrt{\frac{1}{4} - t^2}\text{d}\, t = \int\limits_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}\left(t^2 + \frac{1}{4}\right)\sqrt{\frac{1}{4} - t^2}\text{d}\, t + \int\limits_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}\left(2t\right)\sqrt{\frac{1}{4} - t^2}\text{d}\, t = \int\limits_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}\left(t^2 + \frac{1}{4}\right)\sqrt{\frac{1}{4} - t^2}\text{d}\, t = 2\int\limits_{0}^{\frac{1}{2}}\left(t^2 + \frac{1}{4}\right)\sqrt{\frac{1}{4} - t^2}\text{d}\, t = \ldots[/dtex]
Dalje isto kao u rješenju... Ova zadnja jednakost vrijedi jer je podintegralna funkcija parna - probajte to sami dokazati općenito, dokaz je skoro pa isti kao i ovo gore što sam za neparne napisano (napravite ga za općenitu funkciju!) Za parne je još malo lakše jer se ne treba "paziti" na minuse. :-)

Ako je bilo što nejasno - samo pitajte! :-)

Nadam se da sam uspio razjasniti!
Sretno! :-)
Samo jedna zamolba, možete li, molim vas linkati pdf koji vas zanima, tako znatno olakšavate! Hvala! Smile

Linkanje:
Kod:
[url=tu_ide_link_koji_želite]tu_ide_tekst_koji_se_vidi[/url]

a možete i samo jednostavno
Kod:
[url]tu_ide_link_koji_želite[/url]


Onda bi vaše pitanje izgledalo ovako:

Poglavlje 2.4, može li pojašnjenje u zadatku 2.38 dio a), u drugom retku, zašto vrijedi prva jednakost?


Sada vam ja kažem da je pitanje izvrsno (ne radi forme pitanja Very Happy ), nego naprosto zato što je. Naime, u toj jednakosti je "skriveno" nešto suptilno, a to je sljedeće:

[dtex]\int\limits_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}(2t)\sqrt{\frac{1}{4} - t^2}\text{d}\, t = \underbrace{\int\limits_{-\frac{1}{2}}^{0}(2t)\sqrt{\frac{1}{4} - t^2}\text{d}\, t}_{=A} + \underbrace{\int\limits_{0}^{\frac{1}{2}}(2t)\sqrt{\frac{1}{4} - t^2}\text{d}\, t}_{=B}.[/dtex]

Sljedeća činjenica za integral [tex]A[/tex] vrijedi naprosto zato što je podintegralna funkcija neparna - možete li to dokazati za općenitu funkciju? Preciznije, možete li dokazati da ako je [tex]a >0[/tex] realan broj i ako je [tex]f \colon [-a, a] \to \mathbb{R}[/tex] integrabilna funkcija, onda je
[dtex]\int\limits_{-a}^{0}f(x)\text{d}\,x = \left\lbrace \begin{array}{c} +\int\limits_{0}^{a}f(x)\text{d}\,x\text{, ako je } f\text{ parna funkcija,} \\ -\int\limits_{0}^{a}f(x)\text{d}\,x\text{, ako je } f\text{ neparna funkcija.} \end{array} \right.[/dtex]

Vratimo se na naš [tex]A[/tex]:
[dtex]A = \int\limits_{-\frac{1}{2}}^{0}(2t)\sqrt{\frac{1}{4} - t^2}\text{d}\, t = \left\lbrace\begin{array}{c} u = -t \\ \text{d}\, u = -\text{d}\, t \\ 0 \to 0 \\ -\frac{1}{2} \to \frac{1}{2} \end{array}\right\rbrace = \int\limits_{\frac{1}{2}}^{0}(-2u)\sqrt{\frac{1}{4} - u^2}(-\text{d}\, u) = \int\limits_{\frac{1}{2}}^{0}2u\sqrt{\frac{1}{4} - u^2}\text{d}\, u = -\int\limits_{0}^{\frac{1}{2}}2u\sqrt{\frac{1}{4} - u^2}\text{d}\, u = -B.[/dtex]
(Isti je dokaz za proizvoljnu neparnu funkciju.) Dakle, vrijedi da je
[dtex]\int\limits_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}(2t)\sqrt{\frac{1}{4} - t^2}\text{d}\, t = -B + B = 0.[/dtex]

Sada se vratimo na poglavlje 2.4 i dio (a) zadatka 2.38:
[dtex]\int\limits_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}\left(t + \frac{1}{2}\right)^2\sqrt{\frac{1}{4} - t^2}\text{d}\, t = \int\limits_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}\left(t^2 + 2t + \frac{1}{4}\right)\sqrt{\frac{1}{4} - t^2}\text{d}\, t = \int\limits_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}\left(t^2 + \frac{1}{4}\right)\sqrt{\frac{1}{4} - t^2}\text{d}\, t + \int\limits_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}\left(2t\right)\sqrt{\frac{1}{4} - t^2}\text{d}\, t = \int\limits_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}\left(t^2 + \frac{1}{4}\right)\sqrt{\frac{1}{4} - t^2}\text{d}\, t = 2\int\limits_{0}^{\frac{1}{2}}\left(t^2 + \frac{1}{4}\right)\sqrt{\frac{1}{4} - t^2}\text{d}\, t = \ldots[/dtex]
Dalje isto kao u rješenju... Ova zadnja jednakost vrijedi jer je podintegralna funkcija parna - probajte to sami dokazati općenito, dokaz je skoro pa isti kao i ovo gore što sam za neparne napisano (napravite ga za općenitu funkciju!) Za parne je još malo lakše jer se ne treba "paziti" na minuse. Smile

Ako je bilo što nejasno - samo pitajte! Smile

Nadam se da sam uspio razjasniti!
Sretno! Smile


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku Pošaljite e-mail
rhldj
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 22. 05. 2020. (22:48:45)
Postovi: (2)16
Sarma = la pohva - posuda
= 0 - 0

PostPostano: 22:58 pet, 22. 5. 2020    Naslov: Citirajte i odgovorite

Poštovani,
zanimalo bi me, ako može, rješenje zadatka 10 [url=https://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/analiza/files/ma2-0708-dodatni.pdf]odavde[/url].
Poštovani,
zanimalo bi me, ako može, rješenje zadatka 10 odavde.


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
JANKRI
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 10. 07. 2008. (02:30:58)
Postovi: (10F)16
Spol: muško
Sarma = la pohva - posuda
97 = 132 - 35
Lokacija: Zagreb

PostPostano: 18:10 sub, 23. 5. 2020    Naslov: Citirajte i odgovorite

Neka je [tex]g(x) = \text{arctg}(f(x))[/tex], tada je [tex]g'(x) = \dfrac{f'(x)}{1 + f^2(x)}[/tex], iz čega vidimo da je [tex]g'(x) + 1 = \dfrac{f'(x) + f^2(x) + 1}{1 + f^2(x)} \geq 0[/tex], odnosno [tex]g'(x) \geq -1[/tex].

Iz toga najprije zaključimo da je
[dtex]\int\limits_a^bg'(x)\text{d}x \geq \int\limits_a^b(-1)\text{d}x = a - b,[/dtex]
dok je s druge strane
[dtex]\int\limits_a^bg'(x)\text{d}x = \left.g(x)\right|_a^b = \dfrac{-\pi}{2} - \dfrac{\pi}{2} = -\pi .[/dtex]
Stoga je [tex]-\pi \geq a - b[/tex], odnosno [tex]b - a \geq \pi[/tex].

Ako ima nekih nejasnoća, rado ću pojasniti. :)

Nekako mislim da je nakon prvog koraka "neka je [tex]g(x) = \text{arctg}(f(x))[/tex]" sve čisto (ili bi barem trebalo biti).
Pitanje je "od kud da se sjetim arkus tangensa??".

Imate vezu između [tex]f'(x)[/tex] i [tex]f^2(x)[/tex], što se točno pojavljuje kada deriviramo [tex]\text{arctg}(f(x))[/tex]. Također, morate od nekud "izvuć" onaj [tex]\pi[/tex]. Nema ga nigdje, a baš je nekako zgodno da je arkus tanges u [tex]\pm\infty[/tex] jednak [tex]\pm\dfrac{\pi}{2}[/tex], a nama upravo to i treba. :)

Uglavnom, kao i uvijek - odgovor je vježba.
Neka je [tex]g(x) = \text{arctg}(f(x))[/tex], tada je [tex]g'(x) = \dfrac{f'(x)}{1 + f^2(x)}[/tex], iz čega vidimo da je [tex]g'(x) + 1 = \dfrac{f'(x) + f^2(x) + 1}{1 + f^2(x)} \geq 0[/tex], odnosno [tex]g'(x) \geq -1[/tex].

Iz toga najprije zaključimo da je
[dtex]\int\limits_a^bg'(x)\text{d}x \geq \int\limits_a^b(-1)\text{d}x = a - b,[/dtex]
dok je s druge strane
[dtex]\int\limits_a^bg'(x)\text{d}x = \left.g(x)\right|_a^b = \dfrac{-\pi}{2} - \dfrac{\pi}{2} = -\pi .[/dtex]
Stoga je [tex]-\pi \geq a - b[/tex], odnosno [tex]b - a \geq \pi[/tex].

Ako ima nekih nejasnoća, rado ću pojasniti. Smile

Nekako mislim da je nakon prvog koraka "neka je [tex]g(x) = \text{arctg}(f(x))[/tex]" sve čisto (ili bi barem trebalo biti).
Pitanje je "od kud da se sjetim arkus tangensa??".

Imate vezu između [tex]f'(x)[/tex] i [tex]f^2(x)[/tex], što se točno pojavljuje kada deriviramo [tex]\text{arctg}(f(x))[/tex]. Također, morate od nekud "izvuć" onaj [tex]\pi[/tex]. Nema ga nigdje, a baš je nekako zgodno da je arkus tanges u [tex]\pm\infty[/tex] jednak [tex]\pm\dfrac{\pi}{2}[/tex], a nama upravo to i treba. Smile

Uglavnom, kao i uvijek - odgovor je vježba.


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku Pošaljite e-mail
rhldj
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 22. 05. 2020. (22:48:45)
Postovi: (2)16
Sarma = la pohva - posuda
= 0 - 0

PostPostano: 19:09 sub, 23. 5. 2020    Naslov: Citirajte i odgovorite

Hvala.
Hvala.


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku
Prethodni postovi:   
Započnite novu temu   Odgovorite na temu   printer-friendly view    Forum@DeGiorgi: Početna -> Kolegiji 1. godine, preddiplomski studij Matematika -> Matematička analiza 1 i 2 Vremenska zona: GMT + 01:00.
Stranica 1 / 1.

 
Forum(o)Bir:  
Ne možete otvarati nove teme.
Ne možete odgovarati na postove.
Ne možete uređivati Vaše postove.
Ne možete izbrisati Vaše postove.
Ne možete glasovati u anketama.
You can attach files in this forum
You can download files in this forum


Powered by phpBB © 2001, 2002 phpBB Group
Theme created by Vjacheslav Trushkin
HR (Cro) by Ančica Sečan