Search
 
 
  Engleski
 
 
 
Open in this window (click to change)
Forum@DeGiorgi: Početna
Forum za podršku nastavi na PMF-MO
Login Registracija FAQ Smajlići Članstvo Pretražnik Forum@DeGiorgi: Početna

Rješenja 1. i 5. zadatka s pisanog ispita 21.9.2020.
WWW:

Moja sarma
 
Započnite novu temu   Odgovorite na temu   printer-friendly view    Forum@DeGiorgi: Početna -> Kolegiji 1. godine, nastavnički studiji -> Linearna algebra 1 (smjer nastavnički)
Prethodna tema :: Sljedeća tema  
Autor/ica Poruka
Juraj Siftar
Gost





PostPostano: 14:57 pon, 21. 9. 2020    Naslov: Rješenja 1. i 5. zadatka s pisanog ispita 21.9.2020. Citirajte i odgovorite

[b]1. zadatak[/b]

(a) Dovoljno je naći sve matrice koje komutiraju s antisimetričnom matricom
A = [0 1 // -1 0],
jer ona čini bazu potprostora antisimetričnih matrica.
Izravno se dobiva da su tražene matrice oblika

B = [ a b // -b a]

te očito čine potprostor dimenzije 2, linearnu ljusku [I, A]
(što je ujedno i direktna suma potprostora skalarnih i
antisimetričnih matrica).

(b)
Označimo li s K potprostor određen u (a), (K,+) već je time
Abelova grupa.
Izravno se provjeri da je K zatvoren s obzirom na množenje matrica
te da u njemu vrijedi komutativnost množenja.

Jedinična matrica I nalazi se u K, a sve ne-nul matrice u K su
regularne, budući da je det B = a^2 +b^2 .

Inverzna matrica B^(-1) ∊ K, jer B^(-1) jednaka je umnošku

1/ (a^2 +b^2) i matrice [ a -b // b a].

Svojstva asocijativnosti množenja i distributivnosti prema
zbrajanju nasljeđuju se pa je K doista polje.

[b]5. zadatak[/b]


(a) Iz 4 uvjeta oblika p(t_i ) = c_i , i = 1,2,3,4, za zadane
vrijednosti dobivamo sustav od 4 linearne jednadžbe
sa 6 nepoznanica (koeficijenata traženih polinoma stupnja
najviše 5), odnosno odmah se svodi na
3 jednadžbe s 5 nepoznanica, budući da je slobodni
koeficijent p(0) = -1.

Nakon malo sređivanja dobiva se sustav:

a1 + a2 + a3 + a4 + a5 = 1

a1 - a2 + a3 - a4 + a5 = -1

a1 + sqrt(2) a2 + 2 a3 + 2 sqrt(2)a4 + 4 a5 = 4 .

Sustav ima 2-parametarsko rješenje. Ako se za slobodne parametre izaberu a2 i a5 ,
dobiva se opće rješenje

p(t) = -1 – 2t + 3 t^3 + a2 (-sqrt(2) t + t^2 + sqrt(2)t^3 – t4) +
a5 (2t - 3t^3 + t^5 ) .

Npr. za a2 =0, a5 = 1 partikularno rješenje je p(t) = -1 + t^5 .
Izborom a5 = 0 dobiva se skup svih rješenja stupnja strogo manjeg od 5.

Prije rješavanja sustava može se lako vidjeti da je rang matrice
sustava jednak 3, dakle proširena matrica ne može imati veći rang
pa je sustav rješiv i ima 2-parametarsko rješenje.

(Općenito, poznati teorem govori da je polinom n-tog stupnja
jednoznačno određen svojim vrijednostima u n+1 različitih točaka,
jer se time dobiva Cramerov sustav za n+1 koeficijenata.
Za manje od n+1 točaka i pripadnih vrijednosti bit će beskonačno
mnogo rješenja. U ovom zadatku vidimo jedinstveno rješenje
stupnja 3, to je p(t) = -1 – 2t + 3 t^3 . )
1. zadatak

(a) Dovoljno je naći sve matrice koje komutiraju s antisimetričnom matricom
A = [0 1 // -1 0],
jer ona čini bazu potprostora antisimetričnih matrica.
Izravno se dobiva da su tražene matrice oblika

B = [ a b // -b a]

te očito čine potprostor dimenzije 2, linearnu ljusku [I, A]
(što je ujedno i direktna suma potprostora skalarnih i
antisimetričnih matrica).

(b)
Označimo li s K potprostor određen u (a), (K,+) već je time
Abelova grupa.
Izravno se provjeri da je K zatvoren s obzirom na množenje matrica
te da u njemu vrijedi komutativnost množenja.

Jedinična matrica I nalazi se u K, a sve ne-nul matrice u K su
regularne, budući da je det B = a^2 +b^2 .

Inverzna matrica B^(-1) ∊ K, jer B^(-1) jednaka je umnošku

1/ (a^2 +b^2) i matrice [ a -b // b a].

Svojstva asocijativnosti množenja i distributivnosti prema
zbrajanju nasljeđuju se pa je K doista polje.

5. zadatak


(a) Iz 4 uvjeta oblika p(t_i ) = c_i , i = 1,2,3,4, za zadane
vrijednosti dobivamo sustav od 4 linearne jednadžbe
sa 6 nepoznanica (koeficijenata traženih polinoma stupnja
najviše 5), odnosno odmah se svodi na
3 jednadžbe s 5 nepoznanica, budući da je slobodni
koeficijent p(0) = -1.

Nakon malo sređivanja dobiva se sustav:

a1 + a2 + a3 + a4 + a5 = 1

a1 - a2 + a3 - a4 + a5 = -1

a1 + sqrt(2) a2 + 2 a3 + 2 sqrt(2)a4 + 4 a5 = 4 .

Sustav ima 2-parametarsko rješenje. Ako se za slobodne parametre izaberu a2 i a5 ,
dobiva se opće rješenje

p(t) = -1 – 2t + 3 t^3 + a2 (-sqrt(2) t + t^2 + sqrt(2)t^3 – t4) +
a5 (2t - 3t^3 + t^5 ) .

Npr. za a2 =0, a5 = 1 partikularno rješenje je p(t) = -1 + t^5 .
Izborom a5 = 0 dobiva se skup svih rješenja stupnja strogo manjeg od 5.

Prije rješavanja sustava može se lako vidjeti da je rang matrice
sustava jednak 3, dakle proširena matrica ne može imati veći rang
pa je sustav rješiv i ima 2-parametarsko rješenje.

(Općenito, poznati teorem govori da je polinom n-tog stupnja
jednoznačno određen svojim vrijednostima u n+1 različitih točaka,
jer se time dobiva Cramerov sustav za n+1 koeficijenata.
Za manje od n+1 točaka i pripadnih vrijednosti bit će beskonačno
mnogo rješenja. U ovom zadatku vidimo jedinstveno rješenje
stupnja 3, to je p(t) = -1 – 2t + 3 t^3 . )


[Vrh]
Juraj Siftar
Gost





PostPostano: 18:04 pet, 25. 9. 2020    Naslov: Citirajte i odgovorite

Ispravak (pogrešnog predznaka):

U 5. zadatku, druga od tri jednadžbe sustava glasi

a1 - a2 + a3 - a4 + a5 = 1

(na desnoj strani je 1, a ne -1).

J. Š.
Ispravak (pogrešnog predznaka):

U 5. zadatku, druga od tri jednadžbe sustava glasi

a1 - a2 + a3 - a4 + a5 = 1

(na desnoj strani je 1, a ne -1).

J. Š.


[Vrh]
Prethodni postovi:   
Započnite novu temu   Odgovorite na temu   printer-friendly view    Forum@DeGiorgi: Početna -> Kolegiji 1. godine, nastavnički studiji -> Linearna algebra 1 (smjer nastavnički) Vremenska zona: GMT + 01:00.
Stranica 1 / 1.

 
Forum(o)Bir:  
Možete otvarati nove teme.
Možete odgovarati na postove.
Ne možete uređivati Vaše postove.
Ne možete izbrisati Vaše postove.
Ne možete glasovati u anketama.
You cannot attach files in this forum
You can download files in this forum


Powered by phpBB © 2001, 2002 phpBB Group
Theme created by Vjacheslav Trushkin
HR (Cro) by Ančica Sečan